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相対性理論を学びたい人のために

まだ一度も相対性理論を勉強したことのない人は、何か一冊相対性理論の本を読みかじってみて、なぜこんなことが?という、疑問を持ってからこのブログに来てください。

『解析入門Ⅰ』§3問題5)(その2)

 現在2015年5月8日23時04分である。

 まゆゆ、昨日の話は、どれくらい分かったかな。

 まったく理解不能な部分もあっただろうけど、実数とはなんだっけ、という問いかけに、今なら答える余裕ができてきたんじゃない。

 そこまでで、良いよ。

 背理法のことだの、矛盾のことだの、難しいことまで分からなくて、大丈夫。


 では、実数って、どんな数だ?

有理数無理数を合わせたもの。」

と、中学生や高校生なら、答えるよね。

 でも、無理数って、どんな数だった?

有理数でない数」

だよね。

 これだと、初めから、数っていうものが、決まってないと、鶏が先か卵か先かってことに、なっちゃうよね。

 だから、

「そもそも、数って何よ。」

という問いかけをしないと、いけない。


 もう思いだしてきたかも知れないけど、分数で表せない数でも、小数を使えば表せたよね。

 小数というのは、言葉だけ聞いていると、

0.5

とか、

0.21

などのように、小数点の左側が、0の場合だけのように思えるけど、

42.195

などのような、小数点の左側が、0でないものも、小数って言うんだ。

 そして、中学生が扱う『数』っていうのは、この、『小数で表せる数』のことなんだ。

 なんでかというと、小数よりも強力な、数を表す方法を習わないから。

 だから、結論を言うと、

「実数とは、小数で表せる数のことである。」

となる。

 まゆゆ、納得した?


 ところがね、まゆゆ、は、今は、納得してるかも知れないけど、段々怪しくなってくるんだぞ。

 私が衝撃を持って受け止めたことがあったから、そんなことを言うんだ。


 2月くらい前、私が通っているトントン工房という作業所で、数学をやっていたとき、

「数学って、完全じゃないわよね。だって、1リットルのジュースをコップに分けて3等分するでしょう。それを、もう一回、合わせれば、元の1リットルに戻るじゃない。なのに、1割る3をやると、0.333333・・・・ってなるから、それに3をかけても、0.999999・・・・で、1に戻らないじゃない、おかしいわよね。」

と、質問を受けたのだ。

 私は、あまりのショックで、5秒ほど、答えられなかった。

 なぜかというと、その人は、優秀な大学の理系の学部を卒業していて、トントン工房のメンバーではなく、作業を手伝いに来ている、精神に障害のない、立派な人だったからだ。

 この人のような素晴らしい人でも、こんな易しいことが、分かっていないなんて、世の中のほとんどの人は、計算機で、1÷3とやって、

0.33333333

となって、それに、3をかけて、

0.99999999

となるのを、

「数学はきちんとしてない、1にならないじゃないか。」

ととらえているということだ。これは、ゆゆしき自体だ。なんとかせねば、と思ったのである。

 まゆゆ、この謎、解ける?

 解けなくても、恥ずかしくないよ。あんな立派な人でも分かってないんだもの。


 私が、こんな易しいこと、という理由を書くと、実は私は、中学2年の時から、この謎の解き方を知っていたからなんだ。

 神奈川県では、中学2年生で、アチーブメント・テストというものがあって、それで、良い点数を取っておかないと、目指す高校に行かれないんだ。それで、私の母が、中学2年生の時、私を、代々木ゼミナールに通わせたんだ。そして、大船校のハイレベルなクラスの講習を受けていたとき、数学の先生が、

「君たち、有理数というのは、分数で表せる数だよな。ところで、1割る3は、


_

だけど、0.33333333・・・・とも、書けるよな。この2つが、同じ数だって、証明できるか?」

と、聞いたんだ。私は、答えられなかった。

「どうやったらいいんだろう。」

と、分からなかった。

 そうしたら、先生が、こうやったのだ。

「まず、0.33333333・・・・が、なんだか分からないのだから、これを、エックスとおく。」

x=0.33333333・・・・

「次に、両辺に、10をかける。」

10x=3.33333333・・・・

 ここで、まゆゆ、は、ついて来られないかも知れない。

「0.33333333・・・・に10をかけたら、3.33333333・・・・となる。」

というのを、丁寧に説明すると、ひとつひとつのケタを、バラバラに考えるのだ。

 まず、0.3に10をかけると、3でしょう。

 次に、0.03に10をかけると、0.3でしょう。

 その次に、0.003に10をかけると、0.03でしょう。

 ここまでを書くと、0.333に10をかける場合、

0.333×10=(0.3+0.03+0.003)×10

となって、分配して、

=0.3×10+0.03×10+0.003×10

ここで、今計算したことを使って、

=3+0.3+0.03

これを足し算して、

=3.33

 これを見て分かるように、3がいくつ並んでいても、小数点が一つずれるだけなのは、分かるよね。だから、

「0.33333333・・・・に10をかけたら、3.33333333・・・・となる。」

 さて、

10x=3.33333333・・・・

というのと、

x=0.33333333・・・・

というのから、こういう荒っぽいことをする。

 上から下を引くんだ。

 左辺は、10x-xで9xになる。

 右辺はどうなる?

 3はどこまでも並んでいる。10倍しても並んでいることには変わりはない。だから、

 3.33333333・・・・
-0.33333333・・・・
_______________
 3

と、なる。

 先生は、こう書いて、

「9x=3だ。だから、両辺を9で割って、

  1
x=_
  3

と、求まる。だから、0.33333333・・・・と、


_

は、同じ数だと証明できた。」

と言った。

 中学時代の私は、学校で習わないことを教わって、

「これは、良いことを教わった。」

と、嬉しかった。

 だが本当は、これは、高校で習うことなのだった。


 もう、まゆゆ、は、さっきの謎が解けるよね。

 0.33333333・・・・に3をかけると、0.99999999・・・・だけど、この、

0.99999999・・・・

というのは、途中までで止めて、

0.99999999

としたら、1じゃないけど、どこまでも続けたら、ちゃんと1になると、証明できるよね。


 こういう時、大学の教科書だと、証明するのは読者の演習問題とする、と書くんだけど、まゆゆ、に、そんなことはしないよ。

 まず、

y=0.99999999・・・・

とおく。両辺に、10をかける。

10y=9.99999999・・・・

 下から上を引く。

 10y =  9.99999999・・・・
-  y =  0.99999999・・・・
______________________
  9y =  9

 9y=9だから、両辺を9で割って、y=1。

 つまり、

1=0.99999999・・・・

であることが、証明された。

 だから、計算機で計算が合わないのは、有限のケタで計算しているからなんだね。

 これで、最初のジュースの問題に答えられた。

 数学は、きちんと3等分したジュースが、元の1リットルに戻ることを、計算出来るのである。


 ところで、まゆゆ、は、ここで、重要なことに気付いたかな。

 1という数には、

という小数での表し方の他に、

0.99999999・・・・

という小数の表し方もあるということ。

 小数での表し方が、2通りある数が、他にもあるんだよ。

 例えば、さっきの

0.21

は、

0.2099999999・・・・

と、できるし、

42.195

も、

42.19499999999・・・・

とできる。

 要するに、

1=0.99999999・・・・

なのだから、最後のケタを1つ減らして、後ろに9を並べても、同じ数になるんだ。

 例えば

42.195

で証明すると、まず、

x=42.19499999999・・・・

とおく。

 小数点以下に9を並べるために、1000倍する。

1000x=42194.99999999・・・・

 これをさらに、10倍する。

10000x=421949.99999999・・・・

 下から上を引く。

 10000x = 421949.99999999・・・・
- 1000x =  42194.99999999・・・・
_____________________________
  9000x = 421949-42194

 これを、このまま計算すると大変なので、分解する。

  9000x =(42194×10+9)-42194

 順番を入れ換える。

  9000x = 42194×10-42194+9

 10個あるものから、1個引くので、9個になる。

  9000x = 42194×9+9

 後ろの9に細工をする。

  9000x = 42194×9+1×9

 因数分解と同じように、分配してあったものを、まとめる。

  9000x =(42194+1)×9

 両辺を9で割る。

  1000x = 42195

 両辺を1000で割る。

      x = 42.195

 ちゃんと、

42.195=42.1949999999・・・・

であることが、証明できた。

 ちょっと、長い証明で、まゆゆ、は、疲れたでしょう。

 普通の人にとって、数学の証明を読むというのは、ものすごく、辛いことなんだよね。

 実は、数学者にとっても、証明をきちんと読むっていうのは、ものすごく大変な作業なんだよ。でも、それで食べているんだから、嫌とは言わないんだよ。それに、最後まで一点のギャップも許さず証明を読み切って、理解したときは、そりゃースカッとするものね。


 今日は、数学の話は、ここまでにするよ。

 さて、そうやって、代々木ゼミナールに通って受けたアチーブメント・テストだったのだけど、数学は、99点だった。

 なぜ1問、間違えたんだと思う?

 私が、体操が苦手だったからなんだよ。

 こういうまるばつ問題があったんだよ。

「A君は、1学期100m走が12秒6でした。2学期は、12秒3でした。3学期は、12秒1でした。」

問.A君の運動能力は、上がってきている。まるかばつか。

 まゆゆ、は、迷わず、まる、とするだろうけど、私は、

「あっ、段々遅くなっている。運動能力下がってるんだ、ばつ。」

とやってしまったんだ。

 どういうことか分かる?

 私は、スポーツ選手が必死になってタイムを縮めようとしているんだ、ということを、中学2年になるまで意識したことなかったんだよ。

 だって、私、ものすごく運動神経、鈍くって、50m走で、10秒かかるような人間なんだもの、タイムなんて縮めようなんて、一度も思ったことなかったんだ。

 信じられないことだけど、本当の話なんだ。

 そのテストで、私は、理科と英語が100点だった。数学も満点なら、三冠王になれたのに。

 悔しくって、悔しくって、30年前のことなのに、今でも覚えている。

 まゆゆ、も、うんと嬉しかったことと、うんと悔しかったことと、うんと悲しかったことと、うんと辛かったことと、うんと恥ずかしかったことは、何十年経っても、覚えていると思うよ。

 嬉しかったことが、いっぱい思い出の中にある人になってね。

 今日はここまで。

 現在2015年5月9日1時30分である。おしまい。