相対性理論を学びたい人のために

まだ一度も相対性理論を勉強したことのない人は、何か一冊相対性理論の本を読みかじってみて、なぜこんなことが?という、疑問を持ってからこのブログに来てください。

『解析入門Ⅰ』§3問題5)(その3)

 現在2015年5月15日21時49分である。

 さて、まゆゆ、小数で表される数が、実数だ、ということだったけど、まだ、知っておかなければならないことが、あるんだ。

 それは、この前も出てきたように、小数には、

42.195

のように、どこかで止まっている小数と、

0.33333333・・・・

のように、どこまでも続いている小数がある、ということ。

 中学や高校では、それぞれを、

有限小数

無限小数

と呼んで、区別する。

 こうやって区別するのは、それはそれで、いいんだけど、大学では、もうちょっと効率の良いやり方をする。

 なぜかというと、前回やったように、

有限小数

42.195

無限小数

42.19499999999・・・・

が、同じ数だったように、有限小数でありながら、無限小数でもあるものが、あるからなんだ。

 そこで、いっそのこと、全部、無限小数にしちゃえ、と考えるのだ。

 だから、

0.33333333・・・・

は、もともと無限小数だけど、

0.4

とかは、それと同じ数である、

0.399999999・・・・

として、扱うとするのだ。

 計算するとき、いつもそうするわけではないけど、有限小数と、無限小数の、区別を、普通しないんだ。

 ところで、1つだけ、やっかいなものがある。0だ。これは、

0.00000000・・・・

と、0がずーっと並んでいる小数だとして一通りに表されているとする。

 これを、別な無限小数で表すことはできないから、大丈夫でしょう。一通りに表したいのが、一番の目的なのだから。

「3通りになるものは、ないの?」

と、思うかも知れないけど、

0.33333333・・・・

と、

0.44444444・・・・

のようなものが、同じ数だった場合、2つの数の差が0じゃないんだよ。

42.19499999999・・・・

と、

42.195

が、同じ数になったのは、その差、

42.195-42.19499999999・・・・

が、

0.00000000・・・・

となって、差が0だったからなんだもの。


 以上で、すべての数は、無限小数で、表されることになった。

 これにより、実数というものを、定義できる。


「実数とは、無限小数で表される数である。」


 これで、実数が定義できた。良かったね。

 それが、普通の数学の本だ。


 ところが、普通でないのが、『解析入門Ⅰ』なのだ。

 この本では、実数というものの定義に小数というものが、顔を出さない。なんか、意味不明なことばかり、書いてある。

 ちょっと読んでみると、

(R1) a+b=b+a (和の交換律)

(R2) (a+b)+c=a+(b+c) (和の結合律)

(R3) Rの元0が存在して、すべてのa∈R対してa+0=aをみたす。(0の存在)


 まゆゆ、は、もしかしたら、

『足し算の交換法則』

とか、

『足し算の結合法則

という言葉を、理由も分からず、覚えさせられた記憶があるかも知れない。

 もう忘れちゃってるかな?

 別にすごいことじゃないんだよ。

4+8=12

というのは、順番を変えて、

8+4=12

と、計算しても、同じことだ、という、ただそれだけの法則。

 バカにするにもほどがあるって思うかも知れないけど、実は、『解析入門Ⅰ』が、やろうとしていることは、ものすごいことなんだ。

 この本がやろうとしているのは、

『実数は、無限小数で表される数です。』

という言い方をせずに、

『交換法則が成り立つ、足し算という計算が出来ます。』

とか、

『交換法則が成り立つ、かけ算という計算が出来ます。』

みたいな条件を、17個、書いて、

『この17個の条件を満たす数の集合が、実数の集合です。』

と、完璧に実数というものを、定義しきることなんだ。


「どうして、『小数で表される数が、実数です。』という定義では、ダメなの?」

と、まゆゆ、は、聞きたいだろう。

 実は、『小数で表される数が、実数です。』という定義でも、良いのだ。ただ、使いにくいことがあるのだ。

 先に進むと分かるのだが、

『17個の条件を満たす数を実数とした場合、その17個の条件を使って、その定義された数を、小数の形に表すこと。』

は、簡単なのだが、その逆、

『小数で表される数を実数とした場合、さっきから話題に出ている17個の条件を導くこと。』

が、大変なのだ。

 もうちょっと言うと、17個のうちの、最後の1個だけが、ものすごく大変なのだ。他の16個は、簡単なのだけどね。

 17個、17個、といわれたら、17番目は、どんなものなの、と聞きたくなっているだろう。

 これだ。

(R17) 実数体Rの、上に有界な任意の部分集号A≠φに対して、Aの上限(最小上界)s=supAがRの中に存在する。

 1回聞いただけで、これを理解できる人間はいない。

 だから、まゆゆ、安心して。

 丁寧に説明するところから、次回、始めよう。

 とにかく、このけったいな条件が、実数というものの、特徴なのである。


 まゆゆ、に、面白い話をして、今日は、お開きにしよう。

 第1回のときに、数学が矛盾しているってことは、ないの?という問いに、『算術の無矛盾性』は、証明されてるんです、と書いた。

 まゆゆ、は、数学をあまり知らないから、

「ふーん。すごいね。」

と、簡単に受け入れただろう。

 だけど、数学を知っている人ほど、

自然数を含む数の集まりが、無矛盾だったら、無矛盾性を証明できないはずだ。」

と、思うはずである。

 これは、まゆゆ、は、名前も知らないだろうけど(知ってたら、物知りだと、褒めてあげる)、クルト・ゲーデルという天才数学者が、ジョン・フォン・ノイマンという天才数学者に加勢してもらって証明した、『第2不完全性定理』というものなのだ。

 『第1不完全性定理』の方は、ゲーデルが、独力で証明したので、2つ合わせて、『ゲーデル不完全性定理』と呼ばれる。

 とにかく、数学って、不完全なものなのじゃないか、と思わせる定理で、哲学者達が、

「人間の叡知の限界が、証明された。」

といって、喜んだのだ。

 でも、ゲーデルが、自然数の集まりのある扱い方について、数学が不完全であることを証明した後、実数の集まりで、足し算やかけ算をやるだけなら、それは、完全であることが証明されたんだ。

 自然数は実数の一部なのに、と思うかも知れないけど、足し算とかけ算を有限回、用いるだけで、自然数を全部選び出して、自然数の集合Nを作ることは出来ないでしょう。

 そこに、キーポイントがあったんだよ。

 だから、『算術の無矛盾性』というのは、確かな定理なんだ。

 まゆゆ、の、教養の一つとして、次のことを覚えておくと、きっと将来どこかで役に立つよ。

ゲーデルの第1不完全性定理:ある程度以上強力な数学では、正しいということも、正しくないということも、証明できない事柄がある。』

ゲーデルの第2不完全性定理:ある程度以上強力な数学では、自分で自分が無矛盾だということを証明できない。』

 『強力』という言葉の意味が、分かりづらいね、足し算やかけ算だけ考えている数学は、弱いんだ。あまり多くのことを考えられないから。

 それに対し、足し算やかけ算の他に、和集合を取ったり、共通部分を取ったり、というような、集合を直接、扱う操作もできるようにした数学を、強力な数学と、いうんだ。いろんなことを考えられるからね。

 このことを知っておくと良いことは、実は、良く分かってもいないのに、この定理を、乱用したがる人が多いからなんだ。

 『数学で証明されているように』なんて言われると、まゆゆ、は、すぐ信じてしまいがちでしょう。

 「ほんとかなあ?」と、思っても、反論しにくいでしょう。

 おかしいと思ったら、きちんと確かめないとね。

 ただ、どうやって確かめるか、というと、まゆゆ、の場合、人に聞くしかないんだよね。

 とにかく、

『数学的に』

なんていうものも、結構あやしいこともあるってことは、覚えておいてね。

 私の言葉も、証明してみせたことを除けば、本当は、信じちゃいけないというくらいでいてね。

 今日は、ここまで。

 現在2015年5月15日23時46分である。おしまい。