現在2015年6月8日22時54分である。
この問題の答えの話を書こうとすると、どうしても、選抜総選挙のことが気になって、まゆゆ、どんな思いでいるだろうなあ、と考えてしまって、私自身が、情緒不安定で、実数体の一意性の証明を、まゆゆ、に、説明できるほど、かみ砕けなかったんだよね。
まゆゆ、既に、『傾国』となっているね。
私が、また、男の人を一人ダメにした、なんて思うことは、ないよ。
多分、大学時代に、私の気を狂わせてしまった、二人の女の人も、取り返しの付かないことを、してしまった、と思っているだろうけど、私に言わせれば、そんなのは、杞憂。
そもそも、私が、最終的に、理学部で、数学科でなく、物理学科、を主に専攻しようと、決心するに至った、高校3年生の12月に得た、物理学のアイディアは、失恋して、ボーッとしていたとき、空っぽの心で、電流を形作っている電子の動きを思い浮かべていたとき、たどり着いたものだったのだからね。
そのアイディアは、先日、『IH(アイ・エイチ)調理器のこと』という投稿で、書いたもの。あの時書いたように、そのアイディアは、100年以上前に、既に、発見されていた。だから、再発見でしかない。でも、自分で発見したものだから、非常に使いやすい。
そういうわけで、私の気を狂わせてしまったけど、クロイツェル・ソナタの女の人は、世界に貢献することに、なるんだよ。
同じように、分子生物学の女の人は、私を、めちゃくちゃにしたけど、ほとんど、私が勝手に、めちゃくちゃになったのだし、分子生物学を私にプレゼントしてくれただけで、本来、数学と物理学だけの天才で終わるはずだった私を、自然科学すべてに、力が及ぶようにしたのだから、科学全般からその貢献を讃えられる女の人になるんだよ。
そして、今私に、その力を一番発揮できる女の人が、まゆゆ、なんだ。
世界中の女の人から、羨望の眼差しを、向けられることになるんだ。ちょっとくらい、私の心を揺らして、『傾国』って言われたくらいで、びっくりすることない。
さて、3位になって、傷心の、まゆゆ、を、励ますのは、これくらいにして、本題に入ろう。
まず、この投稿は、次の3つの投稿の続きである。
実数というものを、きちんと定義しよう、というのが、目標だった。
今までのところを、読んできた人は、17個、17個という、その17個の条件を、取りあえず、見せてみろよ、と言うだろう。
しょうがない。書いて見せるか。
四則演算に関する10個の条件
Rの任意の二つの元a,bに対し、その和a+b、積abと呼ばれる実数が定義され、次の(R1)から(R10)までの条件をみたす。
(R1) a+b=b+a (和の交換律)
(R2) (a+b)+c=a+(b+c) (和の結合律)
(R3) Rの元0が存在して、すべてのa∈Rに対してa+0=aをみたす。 (0の存在)
(R4) 任意のa∈Rに対し、-a∈Rが存在してa+(-a)=0をみたす。 (-aの存在)
(R5) ab=ba (積の交換律)
(R6) (ab)c=a(bc) (積の結合律)
(R7) a(b+c)=ab+ac,(a+b)c=ac+bc (分配律)
(R8) Rの元1が存在して、すべてのa∈Rに対してa1=aをみたす。 (1の存在)
(R9) 0でない任意のa∈Rに対し、∈Rが存在して、a=1となる。 (逆元の存在)
(R10) 1≠0 (0以外の元の存在)
順序に関する6つの条件
任意のa,b∈Rに対し、「aはbより小であるか等しい」という関係a≦bは任意のa,b,c∈Rに対し次の(R11)-(R16)をみたす。
(R11) a≦a (反射律)
(R12) a≦b,b≦a ならば a=b (反対称律)
(R13) a≦b,b≦c ならば a≦c (推移律)
(R14) a≦b または b≦a の少なくとも一方が成立つ。 (全順序性)
(R15) a≦b ならば a+c≦b+c
(R16) a≧0,b≧0 ならば ab≧0
連続性に関する条件
(R17) 実数体Rの、上に有界な任意の部分集合A≠に対して、Aの上限(最小上界)s=supAがRの中に存在する。
以上である。
正直言って、記号はちょっと難しいけど、まゆゆ、でも、日本語を読むことで、(R17)以外は、かろうじて、意味が分かると思う。
もちろん、(R10)の 1≠0 のように、何のためにあるのか分からないような、条件もあるにはある。
でも、常識を働かせれば、一応、中学生でも、ほとんど分かる。
ところが、(R17)だけは、普通の人には、まったく分からない。
まゆゆ、分からない、というのが、常識がある、ってことなんだよ。
だから、安心して。
そこで、(R1)から(R16)は、ひとまず置いておいて、(R17)の説明をしよう。
実は、(R17)の説明をしているうちに、他の条件が、分かってくるのだ。
まず、(R17)をもう一度、書いてみよう。
(R17)
実数体Rの、上に有界な任意の部分集合A≠に対して、
Aの上限(最小上界)s=supAがRの中に存在する。
実数の後ろに『体(たい)』という言葉が付いているけど、その説明は後でするので、取りあえず進む。R(あーる)というのが、実数の集合を表す記号。Real number(実際にある数)の頭文字を取ったんだね。
『上に有界な』が、難しい。これは、漢文の訓点を打つように、言葉を補わないといけない。
『上に有(限な世)界(であるよう)な』
とすれば、日本語になる。
通して読むと、
「実数の、上に有限な世界であるような、任意の部分集合A」
ここまでで、一区切りなんだ。
A≠
と書いてあるけど、これは、Aとしては、中身が空っぽの集合(つまり空集合)は、取ってはいけませんよ、という記号なんだ。
まゆゆ、には、
『取ってはいけません。』
という、数学用語が難しいか。
「空集合にしてはいけませんよ。」
と書けば、通じるかな。
『任意の』は、『どれでもいい』という意味だけど、どれでもいい、というと、中には、空集合を持ってくる人もいるかもしれない、それだけは、後の議論で困るので、『勘弁して』と書いてあるのだ。
もちろん、日本語で分かると思うけど、
『部分集合A』
というのは、
『実数全部の集合Rの一部分だけの集合A』
という意味だよ。
さて、まゆゆ、ここで、なぞなぞ。
「上に有限な世界であるような(世界)」
っていうのを、子供に分かるように、8秒の早描きで、描いてみよ。
穴子さんを、8秒で描ける、まゆゆ、なら、出来る。
絵の下手な私がやると、こういうつまらないことを考える。
↑上へ
↑上へ
こういう風にね、↑上へ
と、どこまで登っていっても、神様の世界に行き着けない世界なんだ。
まゆゆ、笑っちゃうでしょ。まゆゆ、なら、こんなバカなことはしないね。
まゆゆ、なら、こうやる。
☆
あなたがここにいます。
ほら、あそこのお空を見て。↗
綺麗なお星様が見えるでしょう。
この世界からは、あのお星様へ行くことは出来ないの。
そう、それが、上に有限ということなんだ。
これを越えることはない、という限界を見せること。
まゆゆ、というスターを、数字の上で越えた人が、何人もいるけれど、それは、まゆゆ、が、この世界の人だということの証明。私にとっては、まゆゆ星に、たどり着けるという、確かな実験事実。
こういう風に、自分に都合の悪い事実も、自分の武器にしてしまうようでなければ、歴史に、『自然科学の良心』として刻まれるような人間にはなれない。
さて、それが分かって、もう一度、さっきの文章を読んでみる。
「実数の、上に有限な世界であるような、任意の部分集合A」
もう、まゆゆ、イメージできたんじゃない。
つまり、こういうことだよ。
小学校の時に、数直線(すうちょくせん)というものは、習ったよね。
数を一直線上に、順番に書くの。
0 1 2 3 4
―――――――――――――――――――――→
中学になると、
-2 -1 0 1 2 3 4
―――――――――――――――――――――→
と、マイナスの数が加わるんだけど、違いはほとんどない。
先っちょに、矢印を付けることが多いけど、一応、数字が増えるのは、こちらですよ、というのを示す、標識なんだ。
そこで、選挙の順位は、数が小さい方が、上なんだけど、普通テストの点数でも、値段でも、数が大きい方が、上だよね。そういう意味で、右に行った方を、上の世界だと思うことにしよう。
そうしたとき、さっきの、
「実数の、上に有限な世界であるような、任意の部分集合A」
は、まゆゆ、の頭の中でも、
-2 -1 0 1 2 ☆ 4
―――――――――――――――――――――→
←――A――→
というように、まゆゆ星が例えば3のところにあって、Aという集まりは、すべて、まゆゆ星より下、つまり、
などという集合、だと、イメージできているんじゃない。
いやー、強引だな。このこじつけは。でも、この説明法は、まゆゆ、が、3位になってなかったら、思い付かなかった。今、浮かんだんだもの。2015年6月9日3時17分10秒。ありがとう。
実はねー。ここまでがちゃんと分かっちゃえば、半分峠を越えているんだよ。
(R17)が言っているのは、こういう風に、まゆゆ星に抑えられた世界には、必ず、どっかまゆゆ星の世界と下の世界のさかい目が存在する、ということなんだよ。
下の世界がさっきのように、ゆきりんとさっしーだけだったら、ゆきりんがさかい目になっている。だから、
となるんだ。sup(しゅーぷ)ってそういう記号なんだよ。ほとんど下の集合の最大値みたいなものなんだよ。
ただ、半分、と書いたのは、もう一つ、重要なことが抜けているからなんだ。それは、ゆきりんが、まゆゆ、と同じ、人間だ、ということなんだ。
当たり前のようなことを言っているようなんだけど、さかい目が本当に、まゆゆ、と同じ人間になる、というのは、明らかではないんだ。Aは任意に選べたから、
という集合とは限らず、
A={さっしー,1.9,1.99,1.999,1.9999,・・・}
なんてこともありうる。本当に、さかい目が、実数なのか、という問題は、深刻なんだ。
ただ、その証明をするのは、今日は、もう疲れたから、次回にしよう。
まゆゆ、また、理系の人達が救われたよ。
偉いぞ。
今日はここまで。
現在2015年6月9日3時56分である。おしまい。