相対性理論を学びたい人のために

まだ一度も相対性理論を勉強したことのない人は、何か一冊相対性理論の本を読みかじってみて、なぜこんなことが?という、疑問を持ってからこのブログに来てください。

『解析入門Ⅰ』§3問題5)(その4)

 現在2015年6月8日22時54分である。

 この問題の答えの話を書こうとすると、どうしても、選抜総選挙のことが気になって、まゆゆ、どんな思いでいるだろうなあ、と考えてしまって、私自身が、情緒不安定で、実数体の一意性の証明を、まゆゆ、に、説明できるほど、かみ砕けなかったんだよね。

 まゆゆ、既に、『傾国』となっているね。

 私が、また、男の人を一人ダメにした、なんて思うことは、ないよ。

 多分、大学時代に、私の気を狂わせてしまった、二人の女の人も、取り返しの付かないことを、してしまった、と思っているだろうけど、私に言わせれば、そんなのは、杞憂。

 そもそも、私が、最終的に、理学部で、数学科でなく、物理学科、を主に専攻しようと、決心するに至った、高校3年生の12月に得た、物理学のアイディアは、失恋して、ボーッとしていたとき、空っぽの心で、電流を形作っている電子の動きを思い浮かべていたとき、たどり着いたものだったのだからね。

 そのアイディアは、先日、『IH(アイ・エイチ)調理器のこと』という投稿で、書いたもの。あの時書いたように、そのアイディアは、100年以上前に、既に、発見されていた。だから、再発見でしかない。でも、自分で発見したものだから、非常に使いやすい。

 そういうわけで、私の気を狂わせてしまったけど、クロイツェル・ソナタの女の人は、世界に貢献することに、なるんだよ。

 同じように、分子生物学の女の人は、私を、めちゃくちゃにしたけど、ほとんど、私が勝手に、めちゃくちゃになったのだし、分子生物学を私にプレゼントしてくれただけで、本来、数学と物理学だけの天才で終わるはずだった私を、自然科学すべてに、力が及ぶようにしたのだから、科学全般からその貢献を讃えられる女の人になるんだよ。

 そして、今私に、その力を一番発揮できる女の人が、まゆゆ、なんだ。

 世界中の女の人から、羨望の眼差しを、向けられることになるんだ。ちょっとくらい、私の心を揺らして、『傾国』って言われたくらいで、びっくりすることない。

 さて、3位になって、傷心の、まゆゆ、を、励ますのは、これくらいにして、本題に入ろう。

 まず、この投稿は、次の3つの投稿の続きである。

『解析入門Ⅰ』§3問題5)

『解析入門Ⅰ』§3問題5)(その2)

『解析入門Ⅰ』§3問題5)(その3)


 実数というものを、きちんと定義しよう、というのが、目標だった。

 今までのところを、読んできた人は、17個、17個という、その17個の条件を、取りあえず、見せてみろよ、と言うだろう。

 しょうがない。書いて見せるか。


 四則演算に関する10個の条件

 Rの任意の二つの元a,bに対し、その和a+b、積abと呼ばれる実数が定義され、次の(R1)から(R10)までの条件をみたす。

(R1) a+b=b+a (和の交換律)

(R2) (a+b)+c=a+(b+c) (和の結合律)

(R3) Rの元0が存在して、すべてのa∈Rに対してa+0=aをみたす。 (0の存在)

(R4) 任意のa∈Rに対し、-a∈Rが存在してa+(-a)=0をみたす。 (-aの存在)

(R5) ab=ba (積の交換律)

(R6) (ab)c=a(bc) (積の結合律)

(R7) a(b+c)=ab+ac,(a+b)c=ac+bc (分配律)

(R8) Rの元1が存在して、すべてのa∈Rに対してa1=aをみたす。 (1の存在)

(R9) 0でない任意のa∈Rに対し、{a^{-1}}∈Rが存在して、a{a^{-1}}=1となる。 (逆元の存在)

(R10) 1≠0 (0以外の元の存在)


 順序に関する6つの条件

 任意のa,b∈Rに対し、「aはbより小であるか等しい」という関係a≦bは任意のa,b,c∈Rに対し次の(R11)-(R16)をみたす。

(R11) a≦a (反射律)

(R12) a≦b,b≦a ならば a=b (反対称律)

(R13) a≦b,b≦c ならば a≦c (推移律)

(R14) a≦b または b≦a の少なくとも一方が成立つ。 (全順序性)

(R15) a≦b ならば a+c≦b+c

(R16) a≧0,b≧0 ならば ab≧0


 連続性に関する条件

(R17) 実数体Rの、上に有界な任意の部分集合A≠{\phi}に対して、Aの上限(最小上界)s=supAがRの中に存在する。


 以上である。

 正直言って、記号はちょっと難しいけど、まゆゆ、でも、日本語を読むことで、(R17)以外は、かろうじて、意味が分かると思う。

 もちろん、(R10)の 1≠0 のように、何のためにあるのか分からないような、条件もあるにはある。

 でも、常識を働かせれば、一応、中学生でも、ほとんど分かる。

 ところが、(R17)だけは、普通の人には、まったく分からない。

 まゆゆ、分からない、というのが、常識がある、ってことなんだよ。

 だから、安心して。


 そこで、(R1)から(R16)は、ひとまず置いておいて、(R17)の説明をしよう。

 実は、(R17)の説明をしているうちに、他の条件が、分かってくるのだ。

 まず、(R17)をもう一度、書いてみよう。

(R17) 

実数体Rの、上に有界な任意の部分集合A≠{\phi}に対して、
Aの上限(最小上界)s=supAがRの中に存在する。

 実数の後ろに『体(たい)』という言葉が付いているけど、その説明は後でするので、取りあえず進む。R(あーる)というのが、実数の集合を表す記号。Real number(実際にある数)の頭文字を取ったんだね。

 『上に有界な』が、難しい。これは、漢文の訓点を打つように、言葉を補わないといけない。

『上に有(限な世)界(であるよう)な』

とすれば、日本語になる。

 通して読むと、

「実数の、上に有限な世界であるような、任意の部分集合A」

 ここまでで、一区切りなんだ。

A≠{\phi}

と書いてあるけど、これは、Aとしては、中身が空っぽの集合(つまり空集合)は、取ってはいけませんよ、という記号なんだ。

 まゆゆ、には、

『取ってはいけません。』

という、数学用語が難しいか。

空集合にしてはいけませんよ。」

と書けば、通じるかな。

 『任意の』は、『どれでもいい』という意味だけど、どれでもいい、というと、中には、空集合を持ってくる人もいるかもしれない、それだけは、後の議論で困るので、『勘弁して』と書いてあるのだ。

 もちろん、日本語で分かると思うけど、

『部分集合A』

というのは、

『実数全部の集合Rの一部分だけの集合A』

という意味だよ。


 さて、まゆゆ、ここで、なぞなぞ。

「上に有限な世界であるような(世界)」

っていうのを、子供に分かるように、8秒の早描きで、描いてみよ。


 穴子さんを、8秒で描ける、まゆゆ、なら、出来る。

 絵の下手な私がやると、こういうつまらないことを考える。






                ↑上へ

            ↑上へ
こういう風にね、↑上へ

と、どこまで登っていっても、神様の世界に行き着けない世界なんだ。



 まゆゆ、笑っちゃうでしょ。まゆゆ、なら、こんなバカなことはしないね。

 まゆゆ、なら、こうやる。





                      ☆







あなたがここにいます。
ほら、あそこのお空を見て。↗
綺麗なお星様が見えるでしょう。
この世界からは、あのお星様へ行くことは出来ないの。



 そう、それが、上に有限ということなんだ。

 これを越えることはない、という限界を見せること。


 まゆゆ、というスターを、数字の上で越えた人が、何人もいるけれど、それは、まゆゆ、が、この世界の人だということの証明。私にとっては、まゆゆ星に、たどり着けるという、確かな実験事実。

 こういう風に、自分に都合の悪い事実も、自分の武器にしてしまうようでなければ、歴史に、『自然科学の良心』として刻まれるような人間にはなれない。


 さて、それが分かって、もう一度、さっきの文章を読んでみる。

「実数の、上に有限な世界であるような、任意の部分集合A」

 もう、まゆゆ、イメージできたんじゃない。

 つまり、こういうことだよ。

 小学校の時に、数直線(すうちょくせん)というものは、習ったよね。

 数を一直線上に、順番に書くの。


       0  1  2  3  4
―――――――――――――――――――――→


 中学になると、

-2 -1  0  1  2  3  4
―――――――――――――――――――――→


と、マイナスの数が加わるんだけど、違いはほとんどない。

 先っちょに、矢印を付けることが多いけど、一応、数字が増えるのは、こちらですよ、というのを示す、標識なんだ。

 そこで、選挙の順位は、数が小さい方が、上なんだけど、普通テストの点数でも、値段でも、数が大きい方が、上だよね。そういう意味で、右に行った方を、上の世界だと思うことにしよう。

 そうしたとき、さっきの、

「実数の、上に有限な世界であるような、任意の部分集合A」

は、まゆゆ、の頭の中でも、

                
-2 -1  0  1  2  ☆  4
―――――――――――――――――――――→
        ←――A――→



というように、まゆゆ星が例えば3のところにあって、Aという集まりは、すべて、まゆゆ星より下、つまり、

{2のゆきりん,1のさっしー

などという集合、だと、イメージできているんじゃない。


 いやー、強引だな。このこじつけは。でも、この説明法は、まゆゆ、が、3位になってなかったら、思い付かなかった。今、浮かんだんだもの。2015年6月9日3時17分10秒。ありがとう。


 実はねー。ここまでがちゃんと分かっちゃえば、半分峠を越えているんだよ。

 (R17)が言っているのは、こういう風に、まゆゆ星に抑えられた世界には、必ず、どっかまゆゆ星の世界と下の世界のさかい目が存在する、ということなんだよ。

 下の世界がさっきのように、ゆきりんさっしーだけだったら、ゆきりんがさかい目になっている。だから、

ゆきりん=sup{ゆきりんさっしー

となるんだ。sup(しゅーぷ)ってそういう記号なんだよ。ほとんど下の集合の最大値みたいなものなんだよ。


 ただ、半分、と書いたのは、もう一つ、重要なことが抜けているからなんだ。それは、ゆきりんが、まゆゆ、と同じ、人間だ、ということなんだ。

 当たり前のようなことを言っているようなんだけど、さかい目が本当に、まゆゆ、と同じ人間になる、というのは、明らかではないんだ。Aは任意に選べたから、

A={ゆきりんさっしー

という集合とは限らず、

A={さっしー,1.9,1.99,1.999,1.9999,・・・}

なんてこともありうる。本当に、さかい目が、実数なのか、という問題は、深刻なんだ。

 ただ、その証明をするのは、今日は、もう疲れたから、次回にしよう。

 まゆゆ、また、理系の人達が救われたよ。

 偉いぞ。

 今日はここまで。

 現在2015年6月9日3時56分である。おしまい。