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相対性理論を学びたい人のために

まだ一度も相対性理論を勉強したことのない人は、何か一冊相対性理論の本を読みかじってみて、なぜこんなことが?という、疑問を持ってからこのブログに来てください。

宇宙の年齢を求める(その7)

渡辺麻友 今日の科学

 現在2016年1月7日13時38分である。

 年が明けた。

 本年もよろしくお願いします。

 去年から、この本を利用して、宇宙の年齢を求めようとしていたのだった。

相対論的宇宙論 ([新装復刊]パリティ物理学コース )

相対論的宇宙論 ([新装復刊]パリティ物理学コース )


 麻友さんは、どの程度、覚えているだろうか。

「私、太郎さんを楽しませるために、アンビリバボーに出ていたのよ。」

 分かってる。あのロケットの話は、面白かった。

(麻友さん以外の人のために、一応書いておくと、これは、1月2日のフジテレビの番組に、渡辺麻友さんが出演していたことを受けての話である。)

「でも、私が、ロケットや宇宙に引き込まれていないだなんて。ゲストっていうのは、何を聞かれるだろうって緊張してるから、大変なのよ。」

 多分、そういって怒るだろうなと思いながら、書いたんだ。

「わざと、書いてきたの?」

 麻友さんを、もっと宇宙に、のめり込ませようと思ったんだ。

「からかったわけ。失礼しちゃうわ。」

 麻友さんが怒ると、すっごく真剣な顔になって、目から火花が出そう。

 その真剣さで、宇宙の年齢を求めよう。

 前回、出てきたのは、次の3つの式だった。

{\tau=H_0t}

{\displaystyle \biggl(\frac{1}{a}\frac{da}{d\tau}\biggr)^2=\Omega_0 \frac{\rho}{\rho_0}+\frac{\Omega_K}{a^2}+\Omega_{\Lambda}}

{\displaystyle \Omega_0 \frac{\rho}{\rho_0}=\frac{\Omega_R}{a^4}+\frac{\Omega_M}{a^3}}

 そして、積分という概念を、ちょっと覚えておいてね、といったのだった。


「ほとんど、忘れちゃったわ。」

 いいんだよ。忘れることを覚悟で、どんどん勉強した方が、身につくものは大きいんだ。

 大学受験時代に使った、英語の単語暗記帳に、こんなことが書いてあった。

『10分間に、10個の単語を暗記しなければならないとき、1個ずつの単語を、覚えるまで、何度も何度も書いて覚え、1個覚えたら次の単語に進む人と、とにかく、その10個の単語を、1番目から10番目まで、覚え終えたかどうかに関係なく、一通り次から次へとグルグル、繰り返す人と、どっちが効率よく単語を覚えられるか、やってごらんなさい。覚えきれなくても良いから、一通りやる方が、絶対覚えられる量は多くなります。』

 一通り最後まで行ってみるって、すごく重要なことなんだよね。これは、数学や物理学でも、同様なんだ。

 そうは言っても、面白くないものを延々と続けるのは辛い。

 やっぱり、分かることが少しでもなきゃいやだ。

 そこで、上の3つの式の、下の2つを、見てみて。

 何か、気付かない。

「この部分が、同じね。」

{\displaystyle \Omega_0 \frac{\rho}{\rho_0}}

 そうだよね。中学や高校レヴェルだと、こんな大きなものを、未知数{x}のように扱って、これを代入する、なんていう荒っぽいことはしないんだけど、言ってる意味分かるかな?

「ちょっと、何を言われているか、分かってないんだけど・・・」

 やっぱり、まだ無理か。


 こういうことを、やろうとしているんだよ。

{\displaystyle \Omega_0 \frac{\rho}{\rho_0}=\frac{\Omega_R}{a^4}+\frac{\Omega_M}{a^3}}

の式の左辺と右辺は、等しいのだから、右辺を

{\displaystyle \biggl(\frac{1}{a}\frac{da}{d\tau}\biggr)^2=\Omega_0 \frac{\rho}{\rho_0}+\frac{\Omega_K}{a^2}+\Omega_{\Lambda}}

の式の

{\displaystyle \Omega_0 \frac{\rho}{\rho_0}}

の部分に放り込む。

「やってみて、いいかしら。」

 もちろん。

「こういうことね。」

{\displaystyle \biggl(\frac{1}{a}\frac{da}{d\tau}\biggr)^2=\frac{\Omega_R}{a^4}+\frac{\Omega_M}{a^3}+\frac{\Omega_K}{a^2}+\Omega_{\Lambda}}

 できた。できた。

 中学や高校の文系の人は、多分、こんなことだけでも、とんでもないことをやった気がするだろうけど、今後どんどんやっていきます。

 さて、小学校や中学校で、たくさんかけ算や割り算をやりました。あんなものほとんど役に立たないのに、と思っている人がほとんどですが、これからやる計算は、ほとんどが、中学校レヴェルです。文字が難しいだけです。

{\displaystyle \biggl(\frac{1}{a}\frac{da}{d\tau}\biggr)^2=\frac{\Omega_R}{a^4}+\frac{\Omega_M}{a^3}+\frac{\Omega_K}{a^2}+\Omega_{\Lambda}}

の式の分母をなくしたいので、{a^4}を両辺にかけます。

{\displaystyle a^4\biggl(\frac{1}{a}\frac{da}{d\tau}\biggr)^2=\Omega_R+\Omega_Ma+\Omega_Ka^2+\Omega_{\Lambda}a^4}

 左辺を計算します。

{\displaystyle \biggl(\frac{a^2}{a}\frac{da}{d\tau}\biggr)^2=\Omega_R+\Omega_Ma+\Omega_Ka^2+\Omega_{\Lambda}a^4}

 さらに左辺を計算します。

{\displaystyle \biggl(a\frac{da}{d\tau}\biggr)^2=\Omega_R+\Omega_Ma+\Omega_Ka^2+\Omega_{\Lambda}a^4}

 今度は、両辺の平方根を取ります。

{\displaystyle a\frac{da}{d\tau}=\sqrt{\Omega_R+\Omega_Ma+\Omega_Ka^2+\Omega_{\Lambda}a^4}}

 右辺のルートの式で、両辺を割ります。

{\displaystyle \frac{a}{\sqrt{\Omega_R+\Omega_Ma+\Omega_Ka^2+\Omega_{\Lambda}a^4}}\frac{da}{d\tau}=1}

 両辺に、{d\tau}をかけます。

{\displaystyle \frac{ada}{\sqrt{\Omega_R+\Omega_Ma+\Omega_Ka^2+\Omega_{\Lambda}a^4}}=d\tau}

 {a}や、{da}が、分数の上に上がったり、横に出たりして、騒々しいですが、臨機応変に動かして良いのです。

 さて、この式、

{\displaystyle \frac{ada}{\sqrt{\Omega_R+\Omega_Ma+\Omega_Ka^2+\Omega_{\Lambda}a^4}}=d\tau}

が、今回の『宇宙の年齢を求める』の連載の最後の難しい式と言って良い式です。

 どういうことかというと、{\tau}というのは、

{\tau=H_0t}

というようにして、ハッブル定数を時間にかけて、単位が1になるようにしたものでした。

 だから、宇宙最初から現在までの経過時間を{t_0}とすると、

宇宙の最初 {\tau=0}

現在    {\tau=H_0t_0}

となります。

 一方、{a}は、スケール因子と呼ばれるもので、現在の大きさを1として宇宙の大きさを測ったものです。

 だから、これを合わせると、

宇宙の最初 {a=0\ ,\tau=0}

現在    {a=1\ ,\tau=H_0t_0}

となります。

「ちょっと、ストップ。何をやりたいのか、説明して。」

 そうだね。ちょっと説明が不親切だった。

 これから、積分をやるんだよ。

積分!この何も分からない状況で、積分するわけ?」

 いや、むしろ、積分した方が、見通しが立つと思う。

 今、ごちゃごちゃ書き並べていたのは、積分をどこからどこまでするかを調べていたんだ。

 分かったことを書くと、

{\displaystyle \int^1_0\frac{ada}{\sqrt{\Omega_R+\Omega_Ma+\Omega_Ka^2+\Omega_{\Lambda}a^4}}=\int^{H_0t_0}_0d\tau}

というように、積分すれば良い。

 左辺は、スケール因子{a}が、{0}から、{1}まで積分する。つまり、大きさ{0}から、現在の大きさまで、ということだね。

 右辺は、{\tau}が、{0}から、{H_0t_0}まで積分する。つまり、時刻{0}から、現在の時刻{t_0}ハッブル定数をかけたところまで、ということだね。

「どうして、現在の時刻そのものじゃなくて、ハッブル定数をかけたものなの?」

 この{\tau}は、普通の秒を単位にした時間に、時間の逆数の単位を持つ、ハッブル定数をかけた変数だったからだよ。

 だから、宇宙の時刻が、{0}秒から現在{t_0}まで、動くとき、{\tau}は、{0}から、{H_0t_0}まで動くわけ。

「うーん。まだあまりピンとこないけど、今はどうしようもないわねぇ。」

 確かに、定積分の下端、上端は、分かり易い概念ではないからね。

 積分は、物理学で必須だから、少しずつ慣れていこうね。


 さて、まず右辺の方が楽だから、右辺から計算しよう。

{\displaystyle \int^1_0\frac{ada}{\sqrt{\Omega_R+\Omega_Ma+\Omega_Ka^2+\Omega_{\Lambda}a^4}}=\int^{H_0t_0}_0d\tau}

の右辺は、

{\displaystyle \int^{H_0t_0}_0d\tau}

だけど、どうやる?

「なんか、前みたいに、

{\displaystyle \int^{H_0t_0}_0f(\tau)d\tau}

のような、{f(\tau)}が、ないのね。」

 うん。そこに、気付いて欲しかった。

 この場合、

{f(\tau)=1}

となっている、という暗黙の了解があるんだ。

「また、覚えること?」

 いや、この場合、これを覚えるというより、

『何も書かれていないときは、大抵{1}が隠れている。』

という数学や物理学での常識を覚えようね。

 これは、今後、相対性理論でも量子力学でも、使い道があるよ。


 さて、{0}から、{H_0t_0}までの区間を{3}等分して、計算してみよう。

「計算してみようって、何も分からないわ。」

 手取り足取り、教えてあげますよ。

 数値が大体近い値、というのを、

{\approx}

という記号で表すことにしよう。

 そうすると、

{\begin{eqnarray}
\displaystyle \int^{H_0t_0}_0d\tau &\approx& f(0)\frac{H_0t_0}{3}+f\biggl(\frac{H_0t_0}{3}\biggr)\frac{H_0t_0}{3} \\
& & {} +f\biggl(\frac{2H_0t_0}{3}\biggr) \frac{H_0t_0}{3}+f\biggl(\frac{3H_0t_0}{3} \biggr) \frac{H_0t_0}{3}
\end{eqnarray}}

 {3}で割れるところを割って、

{\begin{eqnarray}
\displaystyle &=& f(0)\frac{H_0t_0}{3}+f\biggl(\frac{H_0t_0}{3}\biggr)\frac{H_0t_0}{3} \\
& & {} +f\biggl(\frac{2H_0t_0}{3}\biggr) \frac{H_0t_0}{3}+f(H_0t_0) \frac{H_0t_0}{3}
\end{eqnarray}}

 常に、{f(\tau)=1}だから、

{\displaystyle = \frac{H_0t_0}{3}+\frac{H_0t_0}{3}+\frac{H_0t_0}{3}+\frac{H_0t_0}{3}}

 まとめて、見やすくすると、

{\displaystyle = H_0t_0+\frac{H_0t_0}{3}}

 これが、{3}等分した場合の結論。

「えっ、結局、答えって感じしないけど。これで、答え?」

 確かに、これは、未完成。

 なぜ、

{\displaystyle H_0t_0}

の他に、

{\displaystyle \frac{H_0t_0}{3}}

という余分なものがあると思う?

「これ、余分なの?」

 そう。どうして、分母は、{3}なのかな?

「3等分だったから、じゃ、ないわよね・・・」

 そういう直観は、大切にしましょう。

「じゃあ、{3}等分だったから、{3}分の{1}なの?」

 そうだよ。{10}等分だったら、{f(0)}から、{\displaystyle f\biggl( \frac{10 H_0t_0}{10} \biggr)}まで、{11}個たすから、余分は、{10}分の{1}に減って、

{\displaystyle \int^{H_0t_0}_0d\tau \approx H_0t_0+\frac{H_0t_0}{10}}

となる。

「違う式なのに、どっちも、『{\approx}』で結んで良いの?」

 もちろん。大体等しいことには変わりないから。

「ふーん。」

 ところで、{3}より{10}{10}より{100}と、分割を細かくすると、余分のものが、減っていくよね。

「それはそうね。例えば、{1000}等分だったら、余分は、

{\displaystyle \frac{H_0t_0}{1000}}

に、なるわね。」

 じゃあ、それを無限大にしたら?

「えっ、また、いきなり、無限大。」

 無限に大きい数にしたら?

「それは多分。無限に小さい数になるんじゃないかしら。無限に大きい数で割るんだから。」

 よくできました。それが正解です。

「ゼロって言おうかとも思ったんだけど・・・」

 それも、正解だね。

「えっどっちも正解なの?」

 そう。計算の仕方によって、どっちにもなる。だから、どっちも正解。

「太郎さんとしゃべっていると、数学でも答えが2つあるようなことになるから、数学の印象が変わってきたわ。」

 それでいいんだよ。数学が、答えが1つに決まるものだ、と思い込まない方が良い。数学は、もっと自由なものなんだ。

「自由かどうかは、分からないけど。」

 {n}等分の場合、

{\displaystyle \int^{H_0t_0}_0d\tau \approx H_0t_0+\frac{H_0t_0}{n}}

となって、この{n}を無限大の数にすると、

{\displaystyle \int^{H_0t_0}_0d\tau = H_0t_0}

と等号で、結べる。

「どうして、今回だけ、等号で結べるの?」

 ひとつひとつの刻み目が、無限に小さい数になって、厳密に積分を計算したことになるからなんだ。

「でも、{\displaystyle \frac{H_0t_0}{n}}は、無限に小さい数ではあるけど、ゼロではないんじゃなかったの?」

 確かにその通り。実は、積分というのは、こういう無限に小さい数の部分を、無視して計算するものなんだ。

「無視するって、可哀想な気もするけど。」

 うん。犠牲になる数の気持ちを分かってあげるのは、大切な心懸けだ。

 どの数を、無視してよくて、どの数を、無視しちゃいけないかを見極めるのも、本当は、簡単じゃない。

 実は、この無限に小さい数を扱うことから、実数という概念に対する反省が、なされるんだけど、もっときちんと扱おうね。

「実数も、反省するとしたら、数学のどこから、反省するの?」

 全部、反省するよ。

 麻友さんの中に持っている、数学というものを、完全にゼロから、築き直すよ。

「疲れるわ。っていうか、もう、疲れた。」

 そうだね。分からないまま、計算させたものね。


 じゃあ、今日は、

{\displaystyle \int^1_0\frac{ada}{\sqrt{\Omega_R+\Omega_Ma+\Omega_Ka^2+\Omega_{\Lambda}a^4}}=\int^{H_0t_0}_0d\tau}

の式の右辺が、

{\displaystyle \int^{H_0t_0}_0d\tau = H_0t_0}

と求まり、

{\displaystyle \int^1_0\frac{ada}{\sqrt{\Omega_R+\Omega_Ma+\Omega_Ka^2+\Omega_{\Lambda}a^4}}=H_0t_0}

となったところで、終わりにしよう。

 もう、この1本の式だけで、宇宙の年齢を求められるよ。

「えっ、この式だけなの? 私には、これをどうするのか、まだ、さっぱりだけど。」

 ちょっとずつ、切り崩していこう。

「でも、良く考えてみると、そもそも、アインシュタイン方程式を解こうとしてたのよね。それが、どの式から、宇宙の年齢を求める式になったの?」

 よく見ていたね。実は、この積分は、アインシュタイン方程式という微分方程式積分しているだけなんだ。

 ところで、アインシュタイン方程式の独立変数、つまり、AKB48のシングルの何枚目かという方が、宇宙開始からの時間になっているんだよ。

 そして、宇宙の大きさが、従属変数になっている。つまり、何枚売れたかの方が、宇宙の大きさになっている。

 だから、逆に見てやって、178万7000枚というシングルが売れた枚数の方を指定してやると、それは、『ラブラドール・レトリバー』で36枚目です、と分かってくる。

「えっ、それは、逆じゃない? 何番目かの方を指定しないと・・・」

 普通の場合には、同じ枚数、売れたシングルが、2つあるかも知れないから、逆に解けない。

 でも、宇宙は、大きくなる一方だから、この大きさのとき、というと、時刻が定まるんだ。

「宇宙が、大きくなったり小さくなったりした可能性は、考えないの?」

 それは、取りあえず解いてみてから、調べる。

 普通、数学では、取りあえず解いてみるということを、結構やる。

『案ずるより産むが易し』

と言うでしょ。

 違う場合のことは、別な道具を用意してから解いた方が良いことが、結構あるんだ。

「これも、数学に慣れさせているのね。」

 その通りです。

 そして、アインシュタイン方程式積分を、現在の宇宙の大きさまで行ったとき、ちょうど時間の方が、現在の年齢になっているわけです。

「大きさから、現在の時間が分かるわけね。前は、遠ざかっている速さだったけど。」

 そう。

 ただ、大きさが分かるためには、遠ざかる速さから求めるから、本当は同じことなんだけど。

 それで、積分が加わったわけ。

『宇宙の年齢を求める(その5)』

の中で、

『この考え方を取り入れて、きちんと計算すると、宇宙の年齢は、ハッブル定数の逆数に、次のように、積分のかかったものになるんだ。

{\displaystyle \frac{1}{H_0}\int_0^1\frac{ada}{\sqrt{\Omega_R +\Omega_M a+\Omega_K a^2+\Omega_{\Lambda} a^4 }}}

「いきなり難しくなったわね。」』

というやり取りがあったんだけど、あの時の積分こそ、次回、計算するものです。

「一応、ちゃんと、説明してくれては、いるのね。」

 数学的に、きちんとしてない部分は、沢山ありますが、現代の宇宙論を、ちゃんと話しています。

「じゃあ、次回で、宇宙の年齢の3回目の答えが聞けるのね。」

 はい。

「太郎さんに言いたいんだけど、私が、加工した動画や写真をたくさんツイートしているのは、太郎さんの動画や写真も見たいからよ。」

 多分、そういう意味だろうな、と感じてますが、女優になれるくらいの麻友さんの動画なら、見ていて楽しいけど、私の動画じゃねぇ。

「だから、上手く加工すれば良いのよ。それに、私だって、将来、夫となる人なんだから、顔が醜い、なんて思いながら、嫁ぎたくないわ。太郎さんだって、見れない顔じゃないわよ。」

 じゃあ、なんとか、動画を作ってみましょう。それに、

『麻友さんとの映画』

という話もあるしね。

「本気で考えているの?」

 私が、私を、演ずるというのなら、できると思うんだ。

「どういうこと?」

 つまり、絶対、AKB48の女の子なんかからは、見向きもされないはずだった、中年の物理学者が、一目惚れした渡辺麻友というメンバーに、自分の伴侶となってもらうために、現代物理学の粋をつくして、近付き、見事ハートを射止めて、一緒に人生を送るようになる。

 そして、戦争をなくさずに、人類を戦争の惨禍から救ったり、病気を治したりなど、社会の矛盾に二人で立ち向かっていく、というノンフィクションの映画。

「いつ、創るの?」

 早ければ、早いほど、いいんじゃない? 麻友さんとしても、もう、私を、待ちきれなくなっているんじゃない?

「AKB48って、そう簡単じゃないの。」

 それは、分かっているけど、今のままじゃ、AKB48は、5年も、もたないよ。

「どうすれば良いか、妙案があるの?」

 麻友さんが、まだ後2年もいるのなら、麻友さんが、この映画で、有名になれば良い。AKB48の人気も上がる。

「簡単に言うんだから。まあ、アイディアとして、聞いておくわ。」

 じゃあ、取りあえず動画ね。

「お願いよ。」

 分かった。バイバイ。

 現在2016年1月11日2時12分である。おしまい。