相対性理論を学びたい人のために

まだ一度も相対性理論を勉強したことのない人は、何か一冊相対性理論の本を読みかじってみて、なぜこんなことが?という、疑問を持ってからこのブログに来てください。

数学者はなぜ、数学が美しいというのか(その2)

 現在2018年4月18日21時15分である。

「前回の続きね」

 うん。

 今日は、月一度の通院だったんだ。

「入院なんてことには、ならなかったのね」

 もちろん。

 先日書いたように、なぜ薬を飲み続ける必要があるかが、分かったから、きちんと薬を飲んでるからね。

「あんな投稿を、私以外の人は、面白いと思うのかしら?」

 私のブログは、少ないときでも1日、50回くらい見られている。

「それは、50人ということ?」

 いや、50個の記事を読んだということだから、もう少し少ない。

 ただ、謎なんだけど、今年の3月23日に、1103回アクセスされているんだ。

 なぜ、1000回も、アクセスされたのか、今でも謎だ。

「1000人ではないにしても、200人くらいは、見たかもね」

 うん。

 すごい数だ。


「前回の最後にいったように、ユークリッド幾何学というものの説明から始めて」

 分かった。

 ユークリッドというのは、紀元前300年頃のギリシアの数学者なんだ。

「そんなに昔から、数学があったの?」

 四大文明というのは、どれも、今から4000年くらい前から始まっている。

 文明があれば、数学は必要になる。

「商売のため?」

 それもあるけど、商売だけなら、足し算引き算かけ算割り算だけあればいい。数学が必要になるのは、土地の面積を求めるために、測量をするからと、天体の動きを調べる占星術のためだよ。

「測量なんて、きちんとやってたの?」

 四大文明が、エジプト(ナイル川)、メソポタミアチグリス川、ユーフラテス川)、インド(インダス川)、中国(黄河)と、大河の流域で生まれているのは、毎年川が氾濫して、測量をやり直さなければならなかったからなんだ。

「氾濫のために、技術が進んだの?」

 いつ頃氾濫するかを予測しようとして、星を観測した。

 それが、占星術となった。

「昔の星占いって、命がけだったのね」

 そうだよ。

 それくらい真剣にやったから、後に天文学となった。

 ただね、数学は、4000年前からあったけど、数学に証明という概念を持ち込んだのは、ギリシャ人のようなんだ。

「それは、いつ頃?」

 紀元前550年頃の、ピタゴラスの頃からなんだ。

ピタゴラスの定理は、証明知ってる」

 そうだよね。


 さて、紀元前300年頃、ユークリッドが何をやったかというと、数学、特に幾何学を、ストイケイアという13巻からなる本で、23個の定義、5個の公準、5個の公理だけから、三段論法だけを用いて、証明したんだ。

「全部、証明したの?」

 そのときまでに、分かっていたことは、ほぼ全部証明した。

「それは、すごいわねぇ」

 この本、ストイケイア(日本語では、『幾何学原論』または、簡単に『原論』と訳される)は、聖書についでよく読まれたといわれている。

「聖書って、最大のベストセラーなんでしょ。その次って、数学の本なのに、ずいぶん読まれたのね」

 これは、ひとつには、さっきいった5個の公準というのが、


(1)2点を線分で結ぶことができる。

(2)線分は直線にいくらでも延長できる。

(3)任意の点を中心とした任意の半径の円を描くことができる。

(4)直角はすべて互いに相等しい。

(5)二つの直線 {l,l'} が他の直線 {l''} と交わってできる交角 {\alpha,\beta} が {\alpha + \beta <180^{\circ}} を満たすならば、{l} と {l'} とは交角 {\alpha,\beta} のある側に延長するとかならず交わる。


の5つなんだけど、この5番目の公準、これを平行線公準と呼ぶんだけど、これだけがすごく複雑なので、これが、それより前の4つの公準を使って証明できるのではないかと、思われたんだ。

 それで、数学者という数学者が、これを証明しようとした。

「そういう場合って、大抵、証明できないのよね。そういえば、太郎さんが前に、『自然淘汰だなんて』という投稿で、『平行線は交わらない』という定理は、2000年間残ってきた定理だったけど、正しいとはいえなかった、といってたわね」

 これは、まだ証明してあげられないけど、その通りなんだ。平行線が交わったりする幾何学や、平行線が何本も引ける幾何学が、存在するんだ。

「じゃあ、それは、ユークリッド幾何学では、ないのね」

 まさに、そうだよ。非ユークリッド幾何学だ。

「じゃあ、ユークリッド幾何学は、矛盾してるの?」

 そういうことじゃあないんだ。

 ユークリッド幾何学が、矛盾を含まないことは、ダヴィッド・ヒルベルトという素晴らしい数学者が、1899年『幾何学基礎論』という本の中で、証明した。

 現在では、1930年の第7版が、日本語に訳されている。

幾何学基礎論 (ちくま学芸文庫)

幾何学基礎論 (ちくま学芸文庫)


「太郎さん。これ読んだの?」

 そんなに、暇はないんだ。

「でも、内容を知ってる」

 ものすごく有名なんだ。ヒルベルトが、ユークリッド幾何学の無矛盾性を、実数論の無矛盾性を仮定して証明して、次に、実数論の無矛盾性を証明したかったというのは。

「えっ、順番が逆じゃない? まず実数論の無矛盾性を証明してから、ユークリッド幾何学の無矛盾性を証明しなきゃ」

 数学では、証明は難しそうだけど、大丈夫そうなことを、とりあえず仮定して、他のことを証明するっていうのは、よくあることなんだ。

「それで、実数論の無矛盾性というのは、証明できたの?」

 ヒルベルトの証明するときの立場、『有限の立場』では、依然として実数論の無矛盾性は、証明されていない。

 でも、数学者が十分証明と認める程度には、部分的にではあるが、証明されている。

「どういうものなの?」

 実は、次の本に証明が書いてあることは知ってるけど、読んでないんだ。

Proof Theory: Second Edition (Dover Books on Mathematics)

Proof Theory: Second Edition (Dover Books on Mathematics)

「あれっ、英語の本じゃない。日本語の本に、証明はないの?」

 日本語で、実数論の無矛盾性、丁寧にいうと、二階の述語論理の無矛盾性定理(高階論理におけるカット消去定理)の証明をしてある本は、現在ないと思う。

「じゃあ、太郎さんが訳せば?」

 これ竹内外史さんの本でしょ。日本人の本訳すのって、やりにくいよね。

「えっ、日本人? 2017年5月10日になくなった人か。そういう難しさも、あるのか」

 読みたい日本人は、ある程度はいるだろうけどね。

「でも、なんで太郎さんは、そんな風に、読んでない本の内容を、知ってるの?」

 数学の本の最後の文献のところを見ていると、これはあの本に証明がある、というような情報が、どんどん入ってくるんだ。

 この有形無形の情報も、数学者の知識として重要なんだ。

「つまり、数学の定理が美しいと思う理由になってくるのね」

 そう。


 さて、ユークリッド幾何学の話をずいぶんしたけど、やっぱりその証明をひとつやっておこう。

「どんなことを、証明するの?」

 今、『AKB48中学数学』を見たけど、証明問題は1問もないね。仕方ないから、『数学がみえてくる』から採用しよう。

数学がみえてくる―初等数学読本

数学がみえてくる―初等数学読本

「その本、姪御さんにあげたんじゃなかったの?」

 大切な本だから、もう一冊買ったんだ。

「どうして、そんなに古い本を?」

 これは、かなりすごい本なんだ。

 著者の田村二郎さんは、ワイルの『リーマン面』という物凄い本を訳した人。

リーマン面

リーマン面

 それに、この『数学がみえてくる』は、最初は小学校レヴェルのように見えるけど、行列式という大学レヴェルのことまで書いてある本なんだ。

「姪御さん、読めたかしら」

 一気に読まなくてもいいんだ。

 私自身、170ページくらいまで読んで、一度止まった。

 何ヶ月かして、確かこの辺まで読んであったな、と、再開したのを覚えている。

「そういうとき、最初に戻ったりしないの?」

 あの頃の私は、知っていることを、復習したりしなかったんだよ。

「今でもそう?」

 最近は、結構、最初から読んじゃったりする。

「不便ねえ。それで、証明するのは?」

『三角形の内角の大きさの和は {180^{\circ}} である』

をやろう。

「それって、当たり前では?」

 『証明する』という立場から、やってみよう。

「分かったわ」


『数学がみえてくる』より

 一つの三角形 {ABC} を考えましょう.これはどんな三角形でもよろしい.

 頂点 {C} を通って,辺 {AB} に平行な直線をひいてみます.そうすれば,頂点 {C} のところに,内角 {A} の錯角と,内角 {B} の錯角が現れます.

f:id:PASTORALE:20180421204952j:plain

 図についていえば、角アと角イがそれです.このとき,

{\angle A =}ア,

{\angle B =}

となりますから,

{\angle A + \angle B + \angle C =ア + イ +\angle C}

です.この等式の右辺は平角の大きさですから,{180^{\circ}} に等しい.

 これで,定理を確かめることができました.



 以上pp74~75より


「こういう証明をするのが、ユークリッド幾何学なのね。私も、中学で習ったわ」

「中学で、習った後、高校でも少しあったけど、大学の数学科ではもっとこういうのを習うの?」

 実は、私は、それを期待していたんだけど、大学で習う幾何学というものは、ほとんど全く違うものなんだ。

「太郎さん、がっかりした?」

 入学当時、非常にがっかりした。

 でも、現代の幾何学というものが分かってきて、すごく面白くなった。

 そこまで、連れて行くからね。

「非ユークリッド幾何学ね」

「それはそうと、ユークリッド幾何学は、ある程度分かったわ。次は、代数学の5次方程式のガロア物語の話を聞かせてもらう約束だったわ」

 そうだったね。

 でも、今日は、もう睡眠薬飲んじゃったし、続きは次回にしよう。

「太郎さん。ちゃんと薬飲んでるのね。じゃあ、いいわ」

 おやすみ。

「おやすみ」

 現在2018年4月21日22時32分である。おしまい。