相対性理論を学びたい人のために

まだ一度も相対性理論を勉強したことのない人は、何か一冊相対性理論の本を読みかじってみて、なぜこんなことが?という、疑問を持ってからこのブログに来てください。

なぜこの世界は3次元か?

 現在2006年9月14日5時09分です。

 今日の3時頃、新しい新鮮な発見があった。

 なぜ私達は、3次元の世界に住んでいるのか。その本当の理由は分からない。だが、最も自然な世界として、空間3次元、時間1次元の、4次元の世界がある、ということに気付いたのだ。

 ファインマンとヒッブスの「量子力学経路積分」の最後のページに、クオータニオンを用いれば、経路積分で、スピンが扱える、と書いてあって、ピンときたのだ。

 この世界は、クオータニオン、すなわち四元数一次元の多様体であり、私達の体は、その中の一つ一つの点からなってるのだ。

 つまりこういう事だ。

 時間をtとし、空間の座標が、(x,y,z)の点は、

q=t+xi+yj+zk

と表される、四元数の世界の一点として表される。

 これは、平面上の点、(x,y)が、複素平面という世界の

z=x+yi

と表されるのに似ている。

 ここで、四元数の四則演算を、説明しておく。i,j,kは、虚数単位と同じように振る舞うと思って良い。だから、

(x+yi)+(a+bk)=(x+a)+yi+bk

であり、

(a+bk)(c+dk)

=(ac-bd)+(ad+bc)k

となる。

 問題は、i,j,kのかけ算が混じった場合だ。これは

=j=k=ijk=-1

ij=k,jk=i,ki=j

と定める。

 約束事はこれだけである。

ijk=-1,ij=k

だけ覚えて、後は、i,j,kをぐるぐる回せばよい。

 ところが!

 ここに重要な注意事項がある。それは、i,j,kの積は互いに交換してはいけないということだ。

 つまり、四元数体は、(可換)体ではなく、斜体なのだ。

 乗法が可換でなくても、大部分の解析学は利用できる。だから、私達の世界が、四元数一次元(しげんすういちじげん)の多様体だとしても、おかしな事は起こらない。

 時間に一次元あるので、私達の世界は、見えているところは3次元なのである。

 私達の世界が、四元数多様体だとすると、ローレンツ変換は、2点A(t,x,y,z)とB(t’,x’,y’,z’)について、

a=t+xi+yj+zk

b=t’+x’i+y’j+z’k

と、四元数が定まり、

a-b=(t-t’)+(x-x’)i+(y-y’)j+(z-z’)k

について、(a-b)

の実数部分

Re{(a-b)}=(t-t’)-(x-x’)-(y-y’)-(z-z’)

が、不変な変換ということになる。

 これは、今までにも、固有距離を不変にする変換、といわれてきたけれども、実際やってみると、確かにそうなっていることが分かる。

 更に、四元数体を使うところの強みは、固有距離を不変にする変換(つまりローレンツ変換)を、2回続けると、一つのローレンツ変換と、空間軸についての回転の合成になることが分かる。

 ここで、ローレンツ変換と空間回転の合成を、広義ローレンツ変換と呼ぶことにすると、引き続いた2回の広義ローレンツ変換の結果は、一つの広義ローレンツ変換であることが分かる。

 

 ローレンツ変換を繰り返すことで、空間回転が生まれることは、1927年にL.H.トーマスによって発見され、特に原子の周りを回る電子のスピンについて、トーマスの歳差運動と呼ばれている。

 

 これが、自動的に出てくるのだからすごい。

 では、一般相対性理論はどうなるのか。四元数一次元の多様体の構造を決定する方程式は、アインシュタイン方程式のように、表せるのか?

 そして、電磁気学との統一は? 量子力学との統一は?

 無限大の発散の解決は?

 果たして、四元数がどこまで有効なのか、まだ私にも分からない。

 参考文献をあげておこう。

 

天体力学講義

天体力学講義

 

 

 

 

超複素数入門 POD版

超複素数入門 POD版

 

 

である。

 また徹夜をしてしまった。物理や数学のことになると、面白くて途中でやめられない。

 もう寝ることにする。

 現在2006年9月14日7時28分です。おしまい。