現在２００６年９月１４日５時０９分です。
今日の３時頃、新しい新鮮な発見があった。
なぜ私達は、３次元の世界に住んでいるのか。その本当の理由は分からない。だが、最も自然な世界として、空間３次元、時間１次元の、４次元の世界がある、ということに気付いたのだ。
ファインマンとヒッブスの「量子力学と経路積分」の最後のページに、クオータニオンを用いれば、経路積分で、スピンが扱える、と書いてあって、ピンときたのだ。
この世界は、クオータニオン、すなわち四元数一次元の多様体であり、私達の体は、その中の一つ一つの点からなってるのだ。
つまりこういう事だ。
時間をｔとし、空間の座標が、（ｘ，ｙ，ｚ）の点は、
ｑ＝ｔ＋ｘｉ＋ｙｊ＋ｚｋ
と表される、四元数の世界の一点として表される。
これは、平面上の点、（ｘ，ｙ）が、複素平面という世界の
ｚ＝ｘ＋ｙｉ
と表されるのに似ている。
ここで、四元数の四則演算を、説明しておく。ｉ，ｊ，ｋは、虚数単位と同じように振る舞うと思って良い。だから、
（ｘ＋ｙｉ）＋（ａ＋ｂｋ）＝（ｘ＋ａ）＋ｙｉ＋ｂｋ
であり、
（ａ＋ｂｋ）（ｃ＋ｄｋ）
＝（ａｃ－ｂｄ）＋（ａｄ＋ｂｃ）ｋ
となる。
問題は、ｉ，ｊ，ｋのかけ算が混じった場合だ。これは
ｉ２＝ｊ２＝ｋ２＝ｉｊｋ＝－１
ｉｊ＝ｋ，ｊｋ＝ｉ，ｋｉ＝ｊ
と定める。
約束事はこれだけである。
ｉｊｋ＝－１，ｉｊ＝ｋ
だけ覚えて、後は、ｉ，ｊ，ｋをぐるぐる回せばよい。
ところが！
ここに重要な注意事項がある。それは、ｉ，ｊ，ｋの積は互いに交換してはいけないということだ。
つまり、四元数体は、（可換）体ではなく、斜体なのだ。
乗法が可換でなくても、大部分の解析学は利用できる。だから、私達の世界が、四元数一次元（しげんすういちじげん）の多様体だとしても、おかしな事は起こらない。
時間に一次元あるので、私達の世界は、見えているところは３次元なのである。
私達の世界が、四元数多様体だとすると、ローレンツ変換は、２点Ａ（ｔ，ｘ，ｙ，ｚ）とＢ（ｔ’，ｘ’，ｙ’，ｚ’）について、
ａ＝ｔ＋ｘｉ＋ｙｊ＋ｚｋ
ｂ＝ｔ’＋ｘ’ｉ＋ｙ’ｊ＋ｚ’ｋ
と、四元数が定まり、
ａ－ｂ＝（ｔ－ｔ’）＋（ｘ－ｘ’）ｉ＋（ｙ－ｙ’）ｊ＋（ｚ－ｚ’）ｋ
について、（ａ－ｂ）２
の実数部分
Ｒｅ｛（ａ－ｂ）２｝＝（ｔ－ｔ’）２－（ｘ－ｘ’）２－（ｙ－ｙ’）２－（ｚ－ｚ’）２
が、不変な変換ということになる。
これは、今までにも、固有距離を不変にする変換、といわれてきたけれども、実際やってみると、確かにそうなっていることが分かる。
更に、四元数体を使うところの強みは、固有距離を不変にする変換（つまりローレンツ変換）を、２回続けると、一つのローレンツ変換と、空間軸についての回転の合成になることが分かる。
ここで、ローレンツ変換と空間回転の合成を、広義ローレンツ変換と呼ぶことにすると、引き続いた２回の広義ローレンツ変換の結果は、一つの広義ローレンツ変換であることが分かる。
ローレンツ変換を繰り返すことで、空間回転が生まれることは、１９２７年にＬ．Ｈ．トーマスによって発見され、特に原子の周りを回る電子のスピンについて、トーマスの歳差運動と呼ばれている。
これが、自動的に出てくるのだからすごい。
では、一般相対性理論はどうなるのか。四元数一次元の多様体の構造を決定する方程式は、アインシュタイン方程式のように、表せるのか？
無限大の発散の解決は？
果たして、四元数がどこまで有効なのか、まだ私にも分からない。
参考文献をあげておこう。
である。
また徹夜をしてしまった。物理や数学のことになると、面白くて途中でやめられない。
もう寝ることにする。
現在２００６年９月１４日７時２８分です。おしまい。
