現在２００６年８月８日２１時０８分です。
どうも実家へ帰ると、勉強が出来ない。
解析入門Ⅰ、続けます。３９５ページの５行目まで進んでいたのだった。
Ａ⊂ＢでＡ≠ＢのときＡはＢの真部分集合といい、
Ａ⊂Ｂ
≠
とかく。
読者注）
今までも何気なく使ってきましたが、≠というのは＝ではないということを表す記号です。つまり、等しくない、ということです。
上の
⊂
≠
というのは、本当は一つの記号なのですが、フォントがないので、２行に分けて書きました。
注終わり）
我々の記号では、Ａ⊂ＢはＡ＝Ｂの場合を含むことを注意しておく。
読者注）
こんなことが書いてあるのは、Ａ⊂Ｂと表したら、ＡはＢよりも真に小さいということにしている本もあるからである。
ところで、部分集合という概念はうまくつかめただろうか？
｛２，３｝という集合は、｛２，３，５｝という集合の部分集合である、と書いてあるとき、そうだな、うん、と思えればそれでよい。
２∈｛２，３｝についても２∈｛２，３，５｝
だし、
３∈｛２，３｝についても３∈｛２，３，５｝
となるからである。だから、
｛２，３｝⊂｛２，３，５｝
と書ける。
こういうことを言いたいだけである。
注終わり）
元を含まぬ集合φも集合である。
読者注）
上のφは、本当は間違った字である。本当は、○を書いて、右斜め上から線を入れるのだ。Φこんな感じだが、これはφ（ファイと読む）の大文字である。ファイと読む字を使うことになっているのだが、これは本当は、ノルウェー語のアルファベットの一文字なのだそうだ。アンドレ・ヴェイユが、自伝の中でそう書いている。
「アンドレ・ヴェイユ自伝」は、私が持っているのは一冊のものだが、その後、上・下に別れた文庫になった。文庫の方は知らないが、一冊の本の方では、１３７ページに書いてある。
注終わり）
φを空集合という。
読者注）
どうもφがちゃんとした文字でないと、説得力がないのだが、中味のない集合も、集合の一つと考えて、空集合と呼ぶのである。空集合の元の個数を０個（ゼロこ）と数え、０という数を導入する。１から１０までしか知らない人でも、０個という概念にこの段階で触れることになる。
注終わり）
集合Ｘの部分集合の全体は一つの集合Ｐ（Ｘ）を作る。
読者注）
集合というものの、パラドックスを聞かされたことのある人なら、集合の集合というものを考えて良いんだろうか、と疑問に思うかも知れないが、この場合は大丈夫なのである。
すべての集合からなる集合、なんていう大きなものを考えようとすると、おかしな事が起こるが、ここに集合Ｘがあって、それの部分集合を考えて、それらの全体といっているのだから、ある程度、限定されているのである。
注終わり）
Ｐ（Ｘ）をＸの冪集合という。
読者注）
冪集合はべきしゅうごうと読む。集合論の公理の中に、Ｘが集合であるとき、Ｘの冪集合も集合である、というものがあるのである。
注終わり）
Ａ∈Ｐ（Ｘ）に対し
ＣＸ（Ａ）＝｛ｘ∈Ｘ｜¬（ｘ∈Ａ）｝
をＸに関するＡの補集合という。
読者注）
さて困った、この本では、上の¬（ｘ∈Ａ）のところが、∈に縦に線を入れて、含まれていない、という否定を表す記号で書かれているのだが、そんなフォントがない。仕方なしに、附録２を先取りして、否定記号“¬”、を使わせてもらった。
今後も、元として含まれていない、ということを表すこの記号が現れたら、上のように、¬を用いて、書き直していくことにする。
注終わり）
Ｘが定まっているとき、ＣＸ（Ａ）をＣ（Ａ），Ａｃなどとも記す。
読者注）
いきなりＡ∈Ｐ（Ｘ）に対し・・・、なんていう説明をされて、補集合というものが分かっただろうか？ 要するに、Ｘの部分集合Ａが与えられたとき、Ｘの中で、Ａに含まれていないものの全体、というわけである。
注終わり）
特にＣＸ（Ｘ）＝φである。
読者注）
これが当たり前と思えるようになったら、空集合というものが分かった、といえる。ＸのなかでＸに含まれないものというのはないから、そういうものの集合は、空集合になるのである。
こういう議論には、慣れるしかない。
注終わり）
二つの集合Ａ，Ｂに対し、その合併Ａ∪Ｂ，共通部分（または交わり）Ａ∩Ｂ，差Ａ－Ｂを
Ａ∪Ｂ＝｛ｘ｜ｘ∈Ａまたはｘ∈Ｂ｝
Ａ∩Ｂ＝｛ｘ｜ｘ∈Ａかつｘ∈Ｂ｝
Ａ－Ｂ＝｛ｘ｜ｘ∈Ａかつ¬（ｘ∈Ｂ）｝
によって定義する。
読者注）
これらの記号は、今後頻繁に出てくる。だから、無理に覚えようとしなくても、自然に覚えられる。Ａ－Ｂを本によっては、
Ａ＼Ｂ
と書く場合もある。解析入門Ⅰでは、差という言葉通りに、マイナスの記号を用いている。
一つ気をつけて欲しいのは、Ｂ⊂Ａとは限らないことである。ＢがＡに含まれていなくても、Ａ－Ｂは考えて良い。Ａの中で、Ｂに含まれないものというわけである。
数字だと、３－５のようなものを考えているようで、気持ちが悪いかも知れない。これも慣れるしかない。
注終わり）
ａのみを元とする集合を｛ａ｝と記す。元 ａ，ｂ に対し
｛ａ，ｂ｝＝｛ａ｝∪｛ｂ｝
とおく。
読者注）
上の方で、｛２，３｝と書いたのは、この意味です。
注終わり）
｛ａ，ｂ｝＝｛ｂ，ａ｝が成り立つ（ａ＝ｂでもよい）。
読者注）
これを証明しろ、といわれたらどうします？ そういう当たり前なことを疑問に思った人のために、このブログはあります。
｛ａ，ｂ｝＝｛ａ｝∪｛ｂ｝
｛ｂ，ａ｝＝｛ｂ｝∪｛ａ｝
であり、｛ａ｝∪｛ｂ｝というのは、
｛ａ｝∪｛ｂ｝＝｛ｘ｜ｘ∈｛ａ｝またはｘ∈｛ｂ｝｝
である。これは、
｛ｘ｜ｘ∈｛ｂ｝またはｘ∈｛ａ｝｝
としても日本語として同じだから、
｛ａ｝∪｛ｂ｝＝｛ｂ｝∪｛ａ｝
である。従って、
｛ａ，ｂ｝＝｛ｂ，ａ｝
が成り立つというわけである。
ａ＝ｂならば、
｛ａ，ｂ｝＝｛ａ，ａ｝＝｛ｂ，ａ｝
だから、やっぱり成り立つ。
注終わり）
今日はここまでにしようか。
現在２００６年８月８日２３時３６分です。おしまい。
