相対性理論を学びたい人のために

まだ一度も相対性理論を勉強したことのない人は、何か一冊相対性理論の本を読みかじってみて、なぜこんなことが?という、疑問を持ってからこのブログに来てください。

解析入門Ⅰ 附録1 その2

 現在2006年8月8日21時08分です。

 どうも実家へ帰ると、勉強が出来ない。

 解析入門Ⅰ、続けます。395ページの5行目まで進んでいたのだった。

A⊂BでA≠BのときAはBの真部分集合といい、

A⊂B
 ≠

とかく。

 

 読者注)

 今までも何気なく使ってきましたが、≠というのは=ではないということを表す記号です。つまり、等しくない、ということです。

 上の

 ⊂
 ≠

というのは、本当は一つの記号なのですが、フォントがないので、2行に分けて書きました。

                 注終わり)

 

 

我々の記号では、A⊂BはA=Bの場合を含むことを注意しておく。

 

 読者注)

 こんなことが書いてあるのは、A⊂Bと表したら、AはBよりも真に小さいということにしている本もあるからである。

 ところで、部分集合という概念はうまくつかめただろうか?

{2,3}という集合は、{2,3,5}という集合の部分集合である、と書いてあるとき、そうだな、うん、と思えればそれでよい。

 2∈{2,3}についても2∈{2,3,5}

だし、

 3∈{2,3}についても3∈{2,3,5}

となるからである。だから、

 {2,3}⊂{2,3,5}

と書ける。

 こういうことを言いたいだけである。

              注終わり)

 

 

 元を含まぬ集合φも集合である。

 

 読者注)

 上のφは、本当は間違った字である。本当は、○を書いて、右斜め上から線を入れるのだ。Φこんな感じだが、これはφ(ファイと読む)の大文字である。ファイと読む字を使うことになっているのだが、これは本当は、ノルウェー語のアルファベットの一文字なのだそうだ。アンドレ・ヴェイユが、自伝の中でそう書いている。

 「アンドレ・ヴェイユ自伝」は、私が持っているのは一冊のものだが、その後、上・下に別れた文庫になった。文庫の方は知らないが、一冊の本の方では、137ページに書いてある。

                  注終わり)

 

φを空集合という。

 

 読者注)

 どうもφがちゃんとした文字でないと、説得力がないのだが、中味のない集合も、集合の一つと考えて、空集合と呼ぶのである。空集合の元の個数を0個(ゼロこ)と数え、0という数を導入する。1から10までしか知らない人でも、0個という概念にこの段階で触れることになる。

                  注終わり)

 

 集合Xの部分集合の全体は一つの集合P(X)を作る。

 

 読者注)

 集合というものの、パラドックスを聞かされたことのある人なら、集合の集合というものを考えて良いんだろうか、と疑問に思うかも知れないが、この場合は大丈夫なのである。

 すべての集合からなる集合、なんていう大きなものを考えようとすると、おかしな事が起こるが、ここに集合Xがあって、それの部分集合を考えて、それらの全体といっているのだから、ある程度、限定されているのである。

                 注終わり)

 

P(X)をXの冪集合という。

 

 読者注)

 冪集合はべきしゅうごうと読む。集合論の公理の中に、Xが集合であるとき、Xの冪集合も集合である、というものがあるのである。

            注終わり)

 

A∈P(X)に対し

(A)={x∈X|¬(x∈A)}

をXに関するAの補集合という。

 

 読者注)

 さて困った、この本では、上の¬(x∈A)のところが、∈に縦に線を入れて、含まれていない、という否定を表す記号で書かれているのだが、そんなフォントがない。仕方なしに、附録2を先取りして、否定記号“¬”、を使わせてもらった。

 今後も、元として含まれていない、ということを表すこの記号が現れたら、上のように、¬を用いて、書き直していくことにする。

                注終わり)

 

 Xが定まっているとき、C(A)をC(A),Aなどとも記す。

 

 読者注)

 いきなりA∈P(X)に対し・・・、なんていう説明をされて、補集合というものが分かっただろうか? 要するに、Xの部分集合Aが与えられたとき、Xの中で、Aに含まれていないものの全体、というわけである。

            注終わり)

 

 特にC(X)=φである。

 読者注)

 これが当たり前と思えるようになったら、空集合というものが分かった、といえる。XのなかでXに含まれないものというのはないから、そういうものの集合は、空集合になるのである。

 こういう議論には、慣れるしかない。

              注終わり)

 

 二つの集合A,Bに対し、その合併A∪B,共通部分(または交わり)A∩B,A-Bを

 A∪B={x|x∈Aまたはx∈B}

 A∩B={x|x∈Aかつx∈B}

 A-B={x|x∈Aかつ¬(x∈B)}

によって定義する。

 

 読者注)

 これらの記号は、今後頻繁に出てくる。だから、無理に覚えようとしなくても、自然に覚えられる。A-Bを本によっては、

A\B

と書く場合もある。解析入門Ⅰでは、差という言葉通りに、マイナスの記号を用いている。

 一つ気をつけて欲しいのは、B⊂Aとは限らないことである。BがAに含まれていなくても、A-Bは考えて良い。Aの中で、Bに含まれないものというわけである。

 数字だと、3-5のようなものを考えているようで、気持ちが悪いかも知れない。これも慣れるしかない。

                注終わり)

 

 aのみを元とする集合を{a}と記す。元 a,b に対し

{a,b}={a}∪{b}

とおく。

 

 読者注)

 上の方で、{2,3}と書いたのは、この意味です。

             注終わり)

 

{a,b}={b,a}が成り立つ(a=bでもよい)。

 

 読者注)

 これを証明しろ、といわれたらどうします? そういう当たり前なことを疑問に思った人のために、このブログはあります。

{a,b}={a}∪{b}

{b,a}={b}∪{a}

であり、{a}∪{b}というのは、

{a}∪{b}={x|x∈{a}またはx∈{b}}

である。これは、

{x|x∈{b}またはx∈{a}}

としても日本語として同じだから、

{a}∪{b}={b}∪{a}

である。従って、

{a,b}={b,a}

が成り立つというわけである。

 a=bならば、

{a,b}={a,a}={b,a}

だから、やっぱり成り立つ。

           注終わり)

 

 今日はここまでにしようか。

 現在2006年8月8日23時36分です。おしまい。