相対性理論を学びたい人のために

まだ一度も相対性理論を勉強したことのない人は、何か一冊相対性理論の本を読みかじってみて、なぜこんなことが?という、疑問を持ってからこのブログに来てください。

πは無理数である

 現在2006年2月2日22時32分である。

 「博士の愛した数式」は面白かった。数学の話が面白いのではなく、小説として十分面白かったのだ。私が今までに読んだ中で、最初から最後までずっと面白かったのは、「嵐が丘」ただ一冊だったが、その記録が破られる日が来た。「博士の愛した数式」もまた、最初から最後までずっと面白かったのだ。

 幸せな3日間を過ごさせてもらった。

 そのお礼と言っては何だが、この小説の中に登場した数式、

πi+1=0

について、そこに現れる、自然対数の底eと円周率πの超越性を証明する。この小説の中では、こんな繰り返しもない数字の並んだ数が、なんで自然なのだろう、と疑問を表明している。確かに、自然が秩序のあるものなら、こんな何の脈絡もなく、小数点以下に、数字の並ぶ数が、重要な数であるというのは不思議だ。

 だが、私達が証明しようとしていることを知ったら、もっと、不思議さが増すだろう。そしてむしろ、自然の奥深さに頭を垂れたいという気になることだろう。

 

 超越数とは何か。それは、整数を係数とする、代数方程式の根にならない数。のことである。

 もう少し、丁寧に説明しよう。例えば√2 は、

-2=0

の根である。この時、

の係数は1、定数項は-2である。だから、係数は整数だ。整数とは、・・・,-3,-2,-1,0,1,2,3,・・・というような数であることは、覚えているだろう。

 もし整数を係数とする、という条件を外して、ただ、代数方程式の根にならない、といったのだったら、おかしなことになる。

 例えば、

x-π=0

という方程式は、πを根に持つ。

 しかし、係数が整数ではないのだ。

 代数方程式というのは、aかけるxのn乗たすbかけるxのn-1乗たす・・・=0

という方程式のことである。微分方程式とか、

sinx=0

というようなものは含まれない。実際、

sinx=0

の根には、πが入っている。

 じゃあなんで、整数を係数とする代数方程式だけ特別扱いするのか。それに答えるのは、実は私の手に余る。有理数の代数拡大の中に含まれない。ということが、代数的整数論という分野では、重要な意味を持つのだが、それを皆さんに分かるように説明することが出来ないのだ。

 だから、とにかく、普通の方程式の根にならないような、特別な数なんだ、ということが証明された、というだけで、喜んでもらうしかない。私にとっては、それだけでも、十分嬉しいことだった。

 今日一日で、πの超越性まで到達するのは無理である。まず手始めに、πが無理数であることを証明しよう。無理数とは、有理数のように、整数a,bを用いて、a/bと表されない数である。私達が既に知っている無理数は、√2である。これは証明した。

 今日は、πが無理数であることを証明するのだ。証明は、イアン・スチュワート著 永尾 汎(ながお ひろし)監訳 新関 章三(にいぜき しょうぞう)訳 「ガロアの理論」(共立全書) を参考にして行う。この本には、数学に慣れている者なら、分かる程度に、省略をされた証明が書かれているので、私が、一般の人でも分かるように、大幅に書き加える。

 それでは始めよう。

 

 定理

 πは無理数である。

 証明

 

 ここで一つ補題を用意する。意味を理解すれば難しいものではないので、大丈夫。

 

 補題

 整数を値にとる数列が、0に収束するならば、その数列の、あるところから先は、すべて0である。

 補題の証明

 これは、本当は、当たり前である。

imf(n)=0

n→∞

なのだから、もし、どこまで行っても、f(n)が0にならないのだったら、0に収束することにはならないからだ。

 ε-δ論法を用いて厳密に証明すると、0に収束するとは、任意のε>0に対し、ある自然数Nが存在し、n>Nとなるすべてのnについて

|f(n)-0|<ε

となるということである。そこで、εとして1/2をとってみよう。そうすると、あるNが存在し、n>Nとなるすべてのnについて、

|f(n)-0|<1/2

である。f(n)は整数を値にとるのであったから、1/2より0に近い整数は、0だけなので、f(n)=0となる。

 n>Nとなるすべてのnについてf(n)=0なのであるから、あるところから先は、すべて0である、という補題が証明された。

 

                   補題証明終わり

 

 さて、次の積分を考えよう。

    +1

=∫ (1-xcosαxdx

    -1

 こういうとき、どうしてその積分を考えるのか、とか、どうやって思いついたのか、とか、気になるだろうが、ひとまずそういうことは、おいといて、これを考えると、うまくいくらしい、という期待に胸をふくらませるのが、さしあたってはよい。いろんな人が、一所懸命考えて、やっと思いついた式なのかも知れないのだから。

 さて、これを部分積分することにより、n≧2について

α=2n(2n-1)In-1

   -4n(n-1)In-2

という漸化式が得られる。

 と書いても、多くの人は、ついて来れないだろうから、やって見せよう。部分積分の公式は覚えているだろうか。

 b

∫ f(x)g’(x)dx

 a

 

 

         |b

=f(x)g(x)|

         |a

 

  b

-∫ f’(x)g(x)dx

  a

である。ここで、

f(x)=(1-x

とおき、

g’(x)=cosαx

とおく。そうすると、

 

    +1

=∫ (1-xcosαxdx

    -1

 

 

        1      |+1

=(1-x─sinαx |

        α      |-1

 

  +1             1

-∫n(1-xn-1(-2x)──sinαxdx

  -1             α

 

となる。

(1-x

微分は、まず

1-x

をひとかたまりと思って、それのn乗だから、nが前に出て、n-1乗になる。次に、

1-x

微分して、-2xが出てくる。つまり合成関数の微分法だ。

 さて、

  |+1

  |

  |-1

の部分は、-1と1を代入したとき、

(1-x

の部分が0になるので、消える。そこで、二つのマイナスをキャンセルさせて、

 

    +1          1

=∫n(1-xn-12x──sinαxdx

    -1          α

となる。ここで、くどいようだが、もう一度部分積分をする。

f(x)=n(1-xn-12x

       1

g’(x)=──sinαx

       α

とおくと、

       1

g(x)=-──cosαx

       α

であるから、

              -1      |+1

=n(1-xn-12x──cosαx |

               α     |-1

 

  +1

-∫{n(n-1)(1-xn-2(-2x)2x

  -1

 

            -1

2n(1-xn-1}──cosαxdx

            α

となる。

  |+1

  |

  |-1

の部分は、今回も0である。

 ここまでのところは、大丈夫だろうか。まだ難しい部分には入っていない。

 さて、ここでちょっと技巧を凝らす。

 上の式の(-2x)2xという部分から、

(-2x)2x=-4x

=4-4x-4

=4(1-x)-4

と、変形するのだ。これで、

(1-x

の次数が一つ上がる。従ってIは、

  +1

-∫{4n(n-1)(1-xn-1

  -1

 

-4n(n-1)(1-xn-2

 

            -1

2n(1-xn-1}──cosαxdx

            α

となる。n-1乗の項をまとめて、

  +1

-∫{2n(2n-1)(1-xn-1

  -1

 

-4n(n-1)(1-xn-2

 

 -1

}──cosαxdx

 α

となる。マイナスとマイナスをキャンセルさせて、

  +1

=∫{2n(2n-1)(1-xn-1

  -1

 

-4n(n-1)(1-xn-2

 

 1

}──cosαxdx

 α

となる。

    +1

=∫ (1-xcosαxdx

    -1

であったから、上の式より、

α=2n(2n-1)In-1

   -4n(n-1)In-2

が示されたことになる。これで、この本でやっと1行進んだことになる。この調子でいくと、夜が明けるので、今日はここまでにする。明日には、πの無理性が示せるだろうか。

 これを見ていて分かっただろうが、πが無理数であることを証明するだけでも苦労する。ましてや、超越数であることを証明するのは、ものすごくしんどい。

 しかし、それを理解できたとき、あなたはきっと、ある種の陶酔感を味わえるはずである。人間は、ここまで見事な理論を構築できるものなのか、という思いは、人間は空を飛ぶことが出来るのか、というのと同じくらいの驚きを私達に与えてくれる。

 その瞬間を目指してがんばろう。

 現在2006年2月3日1時32分。おしまい。