相対性理論を学びたい人のために

まだ一度も相対性理論を勉強したことのない人は、何か一冊相対性理論の本を読みかじってみて、なぜこんなことが?という、疑問を持ってからこのブログに来てください。

オイラーの天才

 現在2006年1月19日0時47分である。

 昨日は解析入門Ⅰの4ページの真ん中まで読んだ。ノートはもう50ページに達している。この調子で進んでいけば、今年中にⅠ巻を読み終えられるかも知れない。

 さて昨日私は、解析入門Ⅰを読んだ後、久しぶりにブログのバックアップを取った。これまで書いてきたものが全部消えてしまったら悲しい。これは私の財産みたいなものだ。

 バックアップといっても、私の場合、紙にプリントアウトしていくのだ。原始的・・・ (^_^;)

 去年の11月からの分が、A4で、49枚になった。随分書いたものである。それ以前のものはもうプリントアウトしてあって、100枚くらいある。

 これを読んでいる皆さんは、ちゃんとご自分のブログやホームページのバックアップを取っていますか? サーバーが、ウィルスにやられることだってありますよ。そんなとき、大切な記録が消えないように、ちゃんとバックアップを取っておきましょう。

 

 ところで私は、理工系の基礎数学シリーズの「微分積分」を放棄したわけではない。ちゃんとこのシリーズも全部読んでいく。

 だって、解析入門Ⅰ・Ⅱだけでは微分方程式さえ解けるようにならないんだもの。

 

 今日は久しぶりに微分積分を進めよう。

 95ページの一番下の、定積分の計算というところからだった。

 96ページへ進んで、例6を実際に計算してみよう。定積分の代入する値を大かっこの右側の下と上に書くというのは高校でも習うが、大学ではさらに省略して、

 1     |1

───x  |

 3     |0

などと書いたりする。ただし、上の縦棒は本当は一本につながっている。フォントの関係で、ちぎれてしまっているのだ。

 大学へ行くと、高校まででやらなかったような省略をかなりする。例えば、積分は∫とdxではさんだ関数を積分する、と教わるのに、物理なんかでは、被積分関数をdxやdtの後ろに書いたりするのだ。

 どの変数について積分するのかを初めに分かった方が良いのと、積分するものを後から付け加えたりするのに良いので、物理の人は多用するが、私はこのブログでは用いないことにする。私自身があの書き方をあまり好きではないからだ。

 

 さて、例題4-1はすんなり理解できただろうか。xを定数と見て∫の前に出せる。というのは、なかなか気付かないだろう。

 私は高校時代、試験でこれに似た問題を出されて、解けなかったのを覚えている。

 

 (4.39)と(4.40)は、証明が書かれていないが、実際に使ってみると納得できたりする。特に(4.40)の置換積分の公式は、変数変換公式とも言う。

 例7と例8はちゃんと手で計算しよう。特に例8は、気付かなければそれまでだが、本当は深い結果を含んでいる。

 本文の74ページで、

 1

───

1-x

テイラー展開したのを覚えているだろうか。結果は、

1+x+x+x+・・・

となって、剰余項がついたのだった。剰余項は

  xn+1

─────

(1-θx)n+2

 

(0<θ<1)

 

である。さて、このxに-xを入れよう。そうすると、

 1

────

1+x

 

=1+(-x)+x+・・・

 

となる。だから、

 1

────

1+x

のxに1を代入すると言うことは、

 1

───=1+(-1)+1+(-1)+・・・

1+1

を意味しているのだ。つまり、

─=1+(-1)+1+(-1)+・・・

である。もちろん本当は剰余項があるので、右辺の級数が収束しなくても、ちゃんと等式は成り立つ。しかし、そんな難しいことを考えず、

1+(-1)+1+(-1)+・・・

は、1と0の間を行ったり来たりしているだけだから、その値は

 

 1

───

 2

 

だ!

と、断定した人がいる。レオンハルトオイラー(1707~1783)である。そして、1でも

 1

────

1+x

 

=1+(-x)+x+・・・

というテイラー展開の式が成り立つとして、

1+(-x)+x+・・・

を0から1まで積分することで、

     1      1       │1

x+(-───x)+───x+・・・│

     3      5       │0

 

   1 1 1

=1-─+─-─+・・・

   3 5 7

 

であり、一方左辺を積分すると、例8のようにそれは、

 π

──

 4

であるから、

  1 1 1

1-─+─-─+・・・

  3 5 7

   π

=─────

   4

という発見をした。例8ではπ/4という計算値を出したにとどまっているが、本当はこんな発見が出来る場所だったのである。

1+(-1)+1+(-1)+・・・

については、この本の19ページを読んだときに既に触れておいたので、覚えていた人は、遂にあの時の話が出てきたか。と思っただろう。ただし、19ページの数列は、

(-1)+1+(-1)+・・・

なので、本当は-1/2になるというべきだったね。でも、ココロは伝わったでしょ。

 間違った仮定から正しい結論を導く。これぞ天才でなくして何であろう。私も、こんな芸当を何時かしてみたいものだ。

 

 今日はオイラーの天才を見たところで終わることにしよう。例題4-2は計算問題なので、やっておいて欲しい。次回は広義積分の節だが、その前に、せっかく積分というものを学んだのだから、その食後のデザートを食べよう。微分の時のデザートは

Σk

の公式だった。今回は、私の自慢話ではないが、リンデマンの自慢話。πの超越性の証明である。

 πが超越数であることを知っている人は多いが、その証明を知っている人は、数学科以外では珍しい。だからここで取り上げよう。

 それは見事なものであるが、きちんとやろうとすると結構長くなるので、何回かに分けるかも知れない。

 今日はここまで。

 現在2006年1月19日3時14分。おしまい。