相対性理論を学びたい人のために

まだ一度も相対性理論を勉強したことのない人は、何か一冊相対性理論の本を読みかじってみて、なぜこんなことが?という、疑問を持ってからこのブログに来てください。

いよいよ積分

 現在2005年11月20日14時28分である。

 

 久しぶりの更新である。この15日間というものは、リンクの張ってある、やっぱり物理が好きというブログのさとみ様に、上つきの添え字の書き方を教わったり、お気に入りブログにリンクが張ってある、学校では教えてくれない数学というブログのcalcさんのところにコメントを書いたりしていたが、私自身のブログは更新しなかった。会社から帰ってきて、とても疲れていて、18時半頃から寝てしまう日も多く、ゆっくりブログを書く暇もなかった。

 

 さて、それではいよいよ、第4章の積分にはいるのだが、その前に、第3章の演習問題の4番で、グラフの概形を描け、と書いてありながら、解答にグラフがないのを、不親切だよね、と書いたのを思い出した。

 

 不親切だよね、といいながら、私も、描かなかったので、やはり私も不親切だ。そこで、4番の(a)と(b)について私自身が、mathemathicaを用いてグラフを描いたので、載せておく。

y=x^4-4x^3これが、y=x4+4x3

 

のグラフ。大体の感じがつかめればいいでしょ。ほら、さとみ様に教わった、上つきの添え字が入っている。大分読みやすくなったでしょ。でも、これを入れるのは一苦労なんだよね。上つきの添え字を入れた後、その後の文字まで、上つきになってしまったりして、なかなか慣れるまで大変。

 

 

 

 

 

 

y=xe^(-x)

 

次が、(b)のy=xe-x

のグラフ。背景にある、「・・・からの演習」というのは、私がmathemathicaの使い方を勉強している、

「Mathematica基礎からの演習」というサイエンティスト社の本。まだ最初の方しかちゃんと読んでないので、せっかくの素晴らしい数学のツール、mathemathicaも宝の持ち腐れだね。

 

 それでは、いよいよ、第4章に入ろう。

 まず、83ページ。積分とは、微分の操作の逆であると書いてある。このイメージ自体は正しい。ある関数を微分するのに対し、微分して、この関数になるのは、どんな関数なのか、と問うのが、積分の一つの位置づけ。高校でも、そう習ったように思う。

 だが、積分とは、この本にあるように、定積分を、まず定義して、それが、微分の逆操作になることを、後から証明するのが、少し分かりにくいが、今後のためである。そういう定義を知っておかないと、この本では名前しか出てこないが、ルベーグ積分などを学ぶとき、なんでこんなものをやらなきゃならないのか分からなくなってしまう。

 

 とはいうものの、積分の定義が分からなくて、悩むよりも、実際に、演習問題を解いて、なんだ、積分ってこんなに簡単なものだったのかと、納得してもらう方が、本当は重要である。

 

 84ページに進んで、リーマン和というものが出てくる。ξというものをちゃんと固定しないでおいて、そこでの関数値を使って、和を求めておいて、それに名前を付けちゃったりして良いのだろうかと、心配になるかも知れないが、これは大丈夫なのである。

 

 私は大学1回生の時、解析入門Ⅰの207ページで、いきなり、一般のn次元の場合のリーマン積分の定義を読んで、非常に苦労したのを覚えている。皆さんは、1次元なのだから、少しは、イメージを持ちやすいと思われる。

 

 84ページの図4-1良く見ながら、85ページのリーマン積分の定義を読んで欲しい。

 

 85ページの例1は、良く理解すること。ここで、Σ の計算が、かなりどんどん現れてくる。一言注意しておこう。

Σ(k-2k+1)

=Σk-2Σk+Σ1

と、バラバラにして、定数を前に出せるのは、このΣ が有限和だからだ。有限個の数の足し算なので、順番を入れ替えたり、することが出来るのだ。これが、無限級数だと、いつも必ず、この様に自由に出来るとは限らないことを覚えていて欲しい。

 

 実際に計算した人は分かったと思うが、85ページの下から5行目のRの計算で、

2*n(n+1)/2+1}→1/3

となっている、“}”の最後の1はnの誤植だ。

2*n(n+1)/2+n}→1/3

が、正しい。

 

 86ページで、区分的に連続、という言葉が出てくる。あまり「区分的に」ということにこだわらない方が良い。どうせ、物理では、不連続点があるとしても、一カ所だけであることが多く、その場合を含めるために、こんな言葉が使われているのだ。

 複素解析に進むと、区分的に微分可能な閉曲線などというものが出てきて、もっと一般化できないか、などと私などは考えて、そこで立ち止まってしまって、先へ進めなかったものだが、こういう数学の落とし穴は、至る所にある。

 

 このブログの目的は、そういう落とし穴を、少しでもふさぐことにある。

 

 87ページの二つのグラフを見て、納得してもらえば、それでよい。

 88ページでディリクレ関数というものが出てくる。これがリーマン可積分でないというのは、数学の得意な人には、明らかなのだが、物理的センスだけでやってきた人は、こういうのがすぐにはピンと来なかったりする。例え分からなくても悲観しないように。

 今日は、88ページのルベーグ積分という言葉が出てきたところまでで、終わりとしよう。

 現在2005年11月20日16時34分である。おしまい。