相対性理論を学びたい人のために

まだ一度も相対性理論を勉強したことのない人は、何か一冊相対性理論の本を読みかじってみて、なぜこんなことが?という、疑問を持ってからこのブログに来てください。

ゼータ(3)は遠く・・・

 現在2005年10月30日0時16分です。

 前回、ゼータ(3)、すなわちζ(3)が、簡単に求まるようなことを書いた。だが、これは問題が悪すぎた。難しすぎたのだ。

 どういうことか説明しよう。まず、岩波の数学公式でも何でもいいから。

         x-1

ζ(x)=2 *π    

 

     πx

*sin───*Γ(1-x)*ζ(1-x)

     2

 

という関数等式が成り立つことを認めて欲しい。これで、x=3としても、Γ(1-3)=(-3)!が求まらない。

 そこで、ガンマ関数についての関数等式、

             π

Γ(x)Γ(1-x)=───────

           sinπx

も認めて変形しよう。sinについての倍角の公式から、

      s-1  

ζ(s)=2   π

 

     1

*─────────ζ(1-s)

        πs

 Γ(s)cos──

        2

となる。ここで、後のために、変数をxからsに変えた。

 さてここで、s=3としても、私が前回説明した式、

=(-n)ζ(1-n)

の式を用いて、b=0と、cosの0とで、0/0となって、値が求まらないのだ。

 そこで一工夫する。

 s=2n+1+x と少し、sを奇数からずらす。

前回解析入門IIをみて欲しいといった式、

  x        b    

───── =  Σ ──── x

       n=0  n!

e  -1

 

の両辺にxをかけて、

   

  x        b    n+1

───── =  Σ ──── x

       n=0  n!

e  -1

 

として、これを用いると、一つ上の式から、

     

   d        x      

=─────(────────) |x=0

           

   dx     e  -1

 

となる。これをもう少し丁寧にみると、

               

   d     1    x

=─────(──*────────)

              

   dx    x    e  -1

とみることが出来る。そこでこれにライプニッツの公式を適用する。積の導関数だ。

 そうすると、

                

    1  d       x

=───*─────(────────)

               

    x  dx     e  -1

 

 

+残りの項

となる。ここで注目して欲しい。

 何と、この第一項は、

 b

────

 x

で、xを0へ飛ばしたものになっているではないか。

 だから、残りの項も有限の値にとどまれば、この極限が求まる。実際やってみると、

 

 1

───

 x

 

微分から現れた、xの負のベキの分子は、xの5次式で、4次以下の項が0となる。その計算のためには、私のベルヌーイ数 bn の実際の値を代入し、計算する。n=4まで必要になる。そして、注意しておくと、b-1と置きたくなるところは、0となることだ。それは、解析入門IIを見て欲しいといった式にxをかけた式の、0次の項が0だからである。

 さてその計算をして、

 

 1

────

  

 x

の分子の5次以上の式とで、xを0へ持って行くと、29*b となる。だから、求めたい極限は、-28b となる。

 さて、

     π(2n+1+x)

cos(──────────)

        2

     n+1      π

=(-1)   sin(───x)

             2

であるから、n=1ならζの関数等式は分母にこれが来ることになる。これがxを0へ持って行く極限で、どうなるか。今、分母に一個余分にxをかけたので分子にもxをかけられる。そして、それをπ/2倍すると、xを0へ持って行ったとき、1になる。これは、この本を読み始めたばかりの頃に、確かめた。だから、

          2(-28b

ζ(3)=4*π   ───────

          π2!3!  

となる。計算して、

      

ζ(3)=π  *112/180

となる。ここで、b=(-1/30)を使った。

 これを計算すると、6.141087183・・・となる。ζの3の正しい値は、1.2020569032・・・である。

 全然違う。やはり、ζ(3)を求めるのは難しいようである。

 今日はまたアイディアを示しただけで終わった。

 現在2005年10月30日2時11分である。おしまい。