相対性理論を学びたい人のために

まだ一度も相対性理論を勉強したことのない人は、何か一冊相対性理論の本を読みかじってみて、なぜこんなことが?という、疑問を持ってからこのブログに来てください。

転んでもただでは起きない

ベルヌーイ数とゼータ関数1 現在2005年10月23日2時32分です。

 さていきなりこの式はなんだ!

 これは前回私が失敗した試みの話をしたが、あの失敗から生まれた等式である。

 実はこれを発表しても、数学者は誰も喜ばない。なぜなら今までに分かっていることを言い換えただけだから。

 だが、私にとっては意味がある。それは、高校時代に解けなかった問題。Tn すなわち ベルヌーイ数 B をnの関数で表すという問題が解けたから。

 では順を追って説明しよう。

 前回、

      1

ζ(0)=-──

      2

 

であり、

 

              B

ζ(-2n+1)=(-1) ────

               2n

 

であることを書いた。そして、nが1/2の場合に、これらの式を統合できないと書いた。

 しかし、良く考えてみると、nを1/2などにする必要はなかったのだ。また、現れたマイナスの符号を取る必要もなかった。そのまま、

=1,b=1/2,b=1/6,

=0,b=-(1/30)・・・

と定めれば、これがそのまま、

=-2nζ(-2n+1)

と表されるのだ。マイナスは、交互にちゃんと現れるのだ。

 そこで、n=0の場合が問題になる。右辺は0になるような気がするからだ。ところがこの場合も大丈夫なのだ。

 実は前回書かなかったが、ζ(x)というのは、

    ∞    -x

ζx)= Σ n

   n=1

 

    1  1   1

 =1+─ +─  +─  +・・・

           

    2  3   4

 

という関数であり、x=-1の時、

ζ(-1)=1+2+3+4+・・・

 =+∞

となるのだが、これとn=0をかけて差し引き、1になるという勘定である。

つまり、1=lim{-2nζ(-2n+1)}

       n→0

となるようになっている。言い換えると、n→0の極限で、

          1

ζ(1)=lim ────

     x→1  x-1

という大きくなり方をするというわけである。これは、xが複素数を動くとすると、ちょっとまゆつばものである。しかし、

=1

というのが、それを正しいといっているのだ。

 以上が、写真の2番目の式。

 3番目の式は、

  x        b    

───── =  Σ ──── x

       n=0  n!

e  -1

 

という等式が成り立つことから分かるのである。この式が成り立つのは、例えば解析入門IIの335ページの(10.19)式をみてもらえば分かる。ここで、xについて両辺微分を取って、x=0での値を比べれば分かる。

 さてここまで来て、何か新しいことが分かったのか。

 分かったのである。

 私がそもそもこの冒険を始めたとき、

   

 Σ k

k=1

を問題にしていた。この式の係数を求めるのが課題だったのである。今やそこに新しい風が吹き込んだ。

 2番目の式から、

=-2nζ(-2n+1)

であり、3番目の式から、

    

   d        x      

=──── (────────) |x=0

           

   dx     e  -1

 

である。ここで、n=1/2としよう。

 まず先の式から、

1/2=-1ζ(0)

 これは、ζ(0)=-(1/2)を使うと、

1/2=1/2

であることを意味する。bの定義に戻ってみると、

 

   

 Σ k

k=1

において、r=1/2としたときの、nの1次の項の係数が、

1/2

である。そしてまた、1/2回微分するというものが定義できるものなら、

    

   d        x      

=──── (────────)   (x=0)

           

   dx     e  -1

 

で、n=1/2としたものが、1/2となると言うことである。

 同様に考えると、n=-1とおくと、-1回の微分積分だろうと想像して、

-1=2ζ(3)

であろうと思われる。ζ(3)は、

  

 π  /25.79436

ぐらいの数と言われているようだが、この私の議論が正当化されれば、求まるわけである。

 もう遅いので、今日はここまでにする。今日はアイディアを示しただけで終わった。

 現在2005年10月24日1時12分である。