現在２００５年１０月２３日２時３２分です。
さていきなりこの式はなんだ！
これは前回私が失敗した試みの話をしたが、あの失敗から生まれた等式である。
実はこれを発表しても、数学者は誰も喜ばない。なぜなら今までに分かっていることを言い換えただけだから。
だが、私にとっては意味がある。それは、高校時代に解けなかった問題。Ｔｎ すなわち ベルヌーイ数 Ｂｎ をｎの関数で表すという問題が解けたから。
では順を追って説明しよう。
前回、
１
ζ（０）＝－──
２
であり、
ｎ Ｂｎ
ζ（－２ｎ＋１）＝（－１） ────
２ｎ
であることを書いた。そして、ｎが１／２の場合に、これらの式を統合できないと書いた。
しかし、良く考えてみると、ｎを１／２などにする必要はなかったのだ。また、現れたマイナスの符号を取る必要もなかった。そのまま、
ｂ０＝１，ｂ１＝１／２，ｂ２＝１／６，
ｂ３＝０，ｂ４＝－（１／３０）・・・
と定めれば、これがそのまま、
ｂｎ＝－２ｎζ（－２ｎ＋１）
と表されるのだ。マイナスは、交互にちゃんと現れるのだ。
そこで、ｎ＝０の場合が問題になる。右辺は０になるような気がするからだ。ところがこの場合も大丈夫なのだ。
実は前回書かなかったが、ζ（ｘ）というのは、
∞ －ｘ
ζｘ）＝ Σ ｎ
ｎ＝１
１ １ １
＝１＋─ ＋─ ＋─ ＋・・・
ｘ ｘ ｘ
２ ３ ４
という関数であり、ｘ＝－１の時、
ζ（－１）＝１＋２＋３＋４＋・・・
＝＋∞
となるのだが、これとｎ＝０をかけて差し引き、１になるという勘定である。
つまり、１＝ｌｉｍ｛－２ｎζ（－２ｎ＋１）｝
ｎ→０
となるようになっている。言い換えると、ｎ→０の極限で、
１
ζ（１）＝ｌｉｍ ────
ｘ→１ ｘ－１
という大きくなり方をするというわけである。これは、ｘが複素数を動くとすると、ちょっとまゆつばものである。しかし、
ｂ０＝１
というのが、それを正しいといっているのだ。
以上が、写真の２番目の式。
３番目の式は、
ｘ ∞ ｂｎ ｎ
───── ＝ Σ ──── ｘ
ｘ ｎ＝０ ｎ！
ｅ －１
という等式が成り立つことから分かるのである。この式が成り立つのは、例えば解析入門ＩＩの３３５ページの（１０．１９）式をみてもらえば分かる。ここで、ｘについて両辺微分を取って、ｘ＝０での値を比べれば分かる。
さてここまで来て、何か新しいことが分かったのか。
分かったのである。
私がそもそもこの冒険を始めたとき、
ｎ ｒ
Σ ｋ
ｋ＝１
を問題にしていた。この式の係数を求めるのが課題だったのである。今やそこに新しい風が吹き込んだ。
２番目の式から、
ｂｎ＝－２ｎζ（－２ｎ＋１）
であり、３番目の式から、
ｎ
ｄ ｘ
ｂｎ＝──── （────────） ｜ｘ＝０
ｎ ｘ
ｄｘ ｅ －１
である。ここで、ｎ＝１／２としよう。
まず先の式から、
ｂ１／２＝－１ζ（０）
これは、ζ（０）＝－（１／２）を使うと、
ｂ１／２＝１／２
であることを意味する。ｂｎの定義に戻ってみると、
ｎ ｒ
Σ ｋ
ｋ＝１
において、ｒ＝１／２としたときの、ｎの１次の項の係数が、
ｂ１／２
である。そしてまた、１／２回微分するというものが定義できるものなら、
ｎ
ｄ ｘ
ｂｎ＝──── （────────） （ｘ＝０）
ｎ ｘ
ｄｘ ｅ －１
で、ｎ＝１／２としたものが、１／２となると言うことである。
同様に考えると、ｎ＝－１とおくと、－１回の微分が積分だろうと想像して、
ｂ－１＝２ζ（３）
であろうと思われる。ζ（３）は、
３
π ／２５．７９４３６
ぐらいの数と言われているようだが、この私の議論が正当化されれば、求まるわけである。
もう遅いので、今日はここまでにする。今日はアイディアを示しただけで終わった。
現在２００５年１０月２４日１時１２分である。
