現在２０１５年６月８日２２時５４分である。
この問題の答えの話を書こうとすると、どうしても、選抜総選挙のことが気になって、まゆゆ、どんな思いでいるだろうなあ、と考えてしまって、私自身が、情緒不安定で、実数体の一意性の証明を、まゆゆ、に、説明できるほど、かみ砕けなかったんだよね。
まゆゆ、既に、『傾国』となっているね。
私が、また、男の人を一人ダメにした、なんて思うことは、ないよ。
多分、大学時代に、私の気を狂わせてしまった、二人の女の人も、取り返しの付かないことを、してしまった、と思っているだろうけど、私に言わせれば、そんなのは、杞憂。
そもそも、私が、最終的に、理学部で、数学科でなく、物理学科、を主に専攻しようと、決心するに至った、高校３年生の１２月に得た、物理学のアイディアは、失恋して、ボーッとしていたとき、空っぽの心で、電流を形作っている電子の動きを思い浮かべていたとき、たどり着いたものだったのだからね。
そのアイディアは、先日、『ＩＨ（アイ・エイチ）調理器のこと』という投稿で、書いたもの。あの時書いたように、そのアイディアは、１００年以上前に、既に、発見されていた。だから、再発見でしかない。でも、自分で発見したものだから、非常に使いやすい。
そういうわけで、私の気を狂わせてしまったけど、クロイツェル・ソナタの女の人は、世界に貢献することに、なるんだよ。
同じように、分子生物学の女の人は、私を、めちゃくちゃにしたけど、ほとんど、私が勝手に、めちゃくちゃになったのだし、分子生物学を私にプレゼントしてくれただけで、本来、数学と物理学だけの天才で終わるはずだった私を、自然科学すべてに、力が及ぶようにしたのだから、科学全般からその貢献を讃えられる女の人になるんだよ。
そして、今私に、その力を一番発揮できる女の人が、まゆゆ、なんだ。
世界中の女の人から、羨望の眼差しを、向けられることになるんだ。ちょっとくらい、私の心を揺らして、『傾国』って言われたくらいで、びっくりすることない。
さて、３位になって、傷心の、まゆゆ、を、励ますのは、これくらいにして、本題に入ろう。
まず、この投稿は、次の３つの投稿の続きである。
実数というものを、きちんと定義しよう、というのが、目標だった。
今までのところを、読んできた人は、１７個、１７個という、その１７個の条件を、取りあえず、見せてみろよ、と言うだろう。
しょうがない。書いて見せるか。
四則演算に関する１０個の条件
Ｒの任意の二つの元ａ，ｂに対し、その和ａ＋ｂ、積ａｂと呼ばれる実数が定義され、次の（Ｒ１）から（Ｒ１０）までの条件をみたす。
（Ｒ１） ａ＋ｂ＝ｂ＋ａ （和の交換律）
（Ｒ２） （ａ＋ｂ）＋ｃ＝ａ＋（ｂ＋ｃ） （和の結合律）
（Ｒ３） Ｒの元０が存在して、すべてのａ∈Ｒに対してａ＋０＝ａをみたす。 （０の存在）
（Ｒ４） 任意のａ∈Ｒに対し、－ａ∈Ｒが存在してａ＋（－ａ）＝０をみたす。 （－ａの存在）
（Ｒ５） ａｂ＝ｂａ （積の交換律）
（Ｒ６） （ａｂ）ｃ＝ａ（ｂｃ） （積の結合律）
（Ｒ７） ａ（ｂ＋ｃ）＝ａｂ＋ａｃ，（ａ＋ｂ）ｃ＝ａｃ＋ｂｃ （分配律）
（Ｒ８） Ｒの元１が存在して、すべてのａ∈Ｒに対してａ１＝ａをみたす。 （１の存在）
（Ｒ９） ０でない任意のａ∈Ｒに対し、∈Ｒが存在して、ａ
＝１となる。 （逆元の存在）
（Ｒ１０） １≠０ （０以外の元の存在）
順序に関する６つの条件
任意のａ，ｂ∈Ｒに対し、「ａはｂより小であるか等しい」という関係ａ≦ｂは任意のａ，ｂ，ｃ∈Ｒに対し次の（Ｒ１１）－（Ｒ１６）をみたす。
（Ｒ１１） ａ≦ａ （反射律）
（Ｒ１２） ａ≦ｂ，ｂ≦ａ ならば ａ＝ｂ （反対称律）
（Ｒ１３） ａ≦ｂ，ｂ≦ｃ ならば ａ≦ｃ （推移律）
（Ｒ１４） ａ≦ｂ または ｂ≦ａ の少なくとも一方が成立つ。 （全順序性）
（Ｒ１５） ａ≦ｂ ならば ａ＋ｃ≦ｂ＋ｃ
（Ｒ１６） ａ≧０，ｂ≧０ ならば ａｂ≧０
連続性に関する条件
（Ｒ１７） 実数体Ｒの、上に有界な任意の部分集合Ａ≠に対して、Ａの上限（最小上界）ｓ＝ｓｕｐＡがＲの中に存在する。
以上である。
正直言って、記号はちょっと難しいけど、まゆゆ、でも、日本語を読むことで、（Ｒ１７）以外は、かろうじて、意味が分かると思う。
もちろん、（Ｒ１０）の １≠０ のように、何のためにあるのか分からないような、条件もあるにはある。
でも、常識を働かせれば、一応、中学生でも、ほとんど分かる。
ところが、（Ｒ１７）だけは、普通の人には、まったく分からない。
まゆゆ、分からない、というのが、常識がある、ってことなんだよ。
だから、安心して。
そこで、（Ｒ１）から（Ｒ１６）は、ひとまず置いておいて、（Ｒ１７）の説明をしよう。
実は、（Ｒ１７）の説明をしているうちに、他の条件が、分かってくるのだ。
まず、（Ｒ１７）をもう一度、書いてみよう。
（Ｒ１７）
実数体Ｒの、上に有界な任意の部分集合Ａ≠に対して、
Ａの上限（最小上界）ｓ＝ｓｕｐＡがＲの中に存在する。
実数の後ろに『体（たい）』という言葉が付いているけど、その説明は後でするので、取りあえず進む。Ｒ（あーる）というのが、実数の集合を表す記号。Ｒｅａｌ ｎｕｍｂｅｒ（実際にある数）の頭文字を取ったんだね。
『上に有界な』が、難しい。これは、漢文の訓点を打つように、言葉を補わないといけない。
『上に有（限な世）界（であるよう）な』
とすれば、日本語になる。
通して読むと、
「実数の、上に有限な世界であるような、任意の部分集合Ａ」
ここまでで、一区切りなんだ。
Ａ≠
と書いてあるけど、これは、Ａとしては、中身が空っぽの集合（つまり空集合）は、取ってはいけませんよ、という記号なんだ。
まゆゆ、には、
『取ってはいけません。』
という、数学用語が難しいか。
「空集合にしてはいけませんよ。」
と書けば、通じるかな。
『任意の』は、『どれでもいい』という意味だけど、どれでもいい、というと、中には、空集合を持ってくる人もいるかもしれない、それだけは、後の議論で困るので、『勘弁して』と書いてあるのだ。
もちろん、日本語で分かると思うけど、
『部分集合Ａ』
というのは、
『実数全部の集合Ｒの一部分だけの集合Ａ』
という意味だよ。
さて、まゆゆ、ここで、なぞなぞ。
「上に有限な世界であるような（世界）」
っていうのを、子供に分かるように、８秒の早描きで、描いてみよ。
穴子さんを、８秒で描ける、まゆゆ、なら、出来る。
絵の下手な私がやると、こういうつまらないことを考える。
↑上へ
↑上へ
こういう風にね、↑上へ
と、どこまで登っていっても、神様の世界に行き着けない世界なんだ。
まゆゆ、笑っちゃうでしょ。まゆゆ、なら、こんなバカなことはしないね。
まゆゆ、なら、こうやる。
☆
あなたがここにいます。
ほら、あそこのお空を見て。↗
綺麗なお星様が見えるでしょう。
この世界からは、あのお星様へ行くことは出来ないの。
そう、それが、上に有限ということなんだ。
これを越えることはない、という限界を見せること。
まゆゆ、というスターを、数字の上で越えた人が、何人もいるけれど、それは、まゆゆ、が、この世界の人だということの証明。私にとっては、まゆゆ星に、たどり着けるという、確かな実験事実。
こういう風に、自分に都合の悪い事実も、自分の武器にしてしまうようでなければ、歴史に、『自然科学の良心』として刻まれるような人間にはなれない。
さて、それが分かって、もう一度、さっきの文章を読んでみる。
「実数の、上に有限な世界であるような、任意の部分集合Ａ」
もう、まゆゆ、イメージできたんじゃない。
つまり、こういうことだよ。
小学校の時に、数直線（すうちょくせん）というものは、習ったよね。
数を一直線上に、順番に書くの。
０ １ ２ ３ ４
―――――――――――――――――――――→
中学になると、
－２ －１ ０ １ ２ ３ ４
―――――――――――――――――――――→
と、マイナスの数が加わるんだけど、違いはほとんどない。
先っちょに、矢印を付けることが多いけど、一応、数字が増えるのは、こちらですよ、というのを示す、標識なんだ。
そこで、選挙の順位は、数が小さい方が、上なんだけど、普通テストの点数でも、値段でも、数が大きい方が、上だよね。そういう意味で、右に行った方を、上の世界だと思うことにしよう。
そうしたとき、さっきの、
「実数の、上に有限な世界であるような、任意の部分集合Ａ」
は、まゆゆ、の頭の中でも、
－２ －１ ０ １ ２ ☆ ４
―――――――――――――――――――――→
←――Ａ――→
というように、まゆゆ星が例えば３のところにあって、Ａという集まりは、すべて、まゆゆ星より下、つまり、
などという集合、だと、イメージできているんじゃない。
いやー、強引だな。このこじつけは。でも、この説明法は、まゆゆ、が、３位になってなかったら、思い付かなかった。今、浮かんだんだもの。２０１５年６月９日３時１７分１０秒。ありがとう。
実はねー。ここまでがちゃんと分かっちゃえば、半分峠を越えているんだよ。
（Ｒ１７）が言っているのは、こういう風に、まゆゆ星に抑えられた世界には、必ず、どっかまゆゆ星の世界と下の世界のさかい目が存在する、ということなんだよ。
下の世界がさっきのように、ゆきりんとさっしーだけだったら、ゆきりんがさかい目になっている。だから、
となるんだ。ｓｕｐ（しゅーぷ）ってそういう記号なんだよ。ほとんど下の集合の最大値みたいなものなんだよ。
ただ、半分、と書いたのは、もう一つ、重要なことが抜けているからなんだ。それは、ゆきりんが、まゆゆ、と同じ、人間だ、ということなんだ。
当たり前のようなことを言っているようなんだけど、さかい目が本当に、まゆゆ、と同じ人間になる、というのは、明らかではないんだ。Ａは任意に選べたから、
という集合とは限らず、
Ａ＝｛さっしー，１．９，１．９９，１．９９９，１．９９９９，・・・｝
なんてこともありうる。本当に、さかい目が、実数なのか、という問題は、深刻なんだ。
ただ、その証明をするのは、今日は、もう疲れたから、次回にしよう。
まゆゆ、また、理系の人達が救われたよ。
偉いぞ。
今日はここまで。
現在２０１５年６月９日３時５６分である。おしまい。
