『数学』というゲーム（その１１） - 相対性理論を学びたい人のために

　現在２０１９年８月１４日２０時１６分である。

麻友「取り敢えず、証明、書いちゃいなさいよ」

私「その方が、良さそうだね」

　６．５　定理（Lindemann）

　実数 ${\pi}$ は超越数である．

　証明

　矛盾を導くために， ${\pi}$ はある ${0}$ でない ${\mathbb{Q}}$ 上の多項式の根であると仮定しよう．そのとき， ${i \pi}$ も同じ性質をもつ．ただし ${i=\sqrt{-1}}$ ．そこで ${\theta_1 (x) \in \mathbb{Q} [x] }$ を，その根が ${\alpha_1=i \pi ,\alpha_2 , \cdots ,\alpha_n}$ であるような多項式とする．Euler の有名な定理により

${e^{i \pi}+1=0}$

であるから

${(e^{\alpha_1}+1)(e^{\alpha_2}+1) \cdots (e^{\alpha_n}+1)=0.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(2)}$

　次に整数を係数とする多項式で，その根が積 ${(2)}$ を展開したときに現われる ${e}$ の指数 ${\alpha_{i_1}+\cdots +\alpha_{i_r}}$ であるようなものを構成しよう．たとえば

${e^{\alpha_s}\cdot e^{\alpha_t} \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cdots 1}$

なる項は指数 ${\alpha_s +\alpha_t}$ を与える．対 ${s,t}$ をすべてとって ${\alpha_1+\alpha_2,\cdots ,\alpha_{n-1}+\alpha_n}$ が得られる．これらの基本対称式は， ${\alpha_1,\cdots ,\alpha_n}$ の対称式ともなるから，定理２．９　より，それらは ${\alpha_1, \cdots ,\alpha_n}$ の基本対称式の多項式として表される．するとこれらは ${\alpha_1, \cdots \alpha_n}$ を根としてもつ多項式 ${\theta_1}$ の係数で表現される．よって対 ${s,t}$ からつくられた和 ${\alpha_s+\alpha_t}$ は，ある方程式 ${\theta_2(x)=0}$ を満たす．ここで ${\theta_2}$ は有理数を係数とする多項式である．同様にして ${\alpha_i}$ の ${k}$ 個の和の全体は， ${\mathbb{Q}}$ 上のある多項式 ${\theta_k(x)}$ の根となる．そのとき

${\theta_1(x) \theta_2(x) \cdots \theta_n(x)}$

は ${\mathbb{Q}}$ 上の多項式で，その根は ${(2)}$ の展開式における ${e}$ の指数である． ${x}$ のある適当なべきで割り，そしてある適当な整数をかけると，根が ${(2)}$ の展開式における ${0}$ でない指数 ${\beta_1, \cdots \beta_r}$ であるような ${\mathbb{Z}}$ 上の多項式 ${\theta (x)}$ が得られる．ところで ${(2)}$ は次の形

${e^{\beta_1}+\cdots +e^{\beta_r}+e^0+ \cdots e^0=0}$

すなわち

${e^{\beta_1}+\cdots +e^{\beta_r}+k=0}$

の形に書かれる。ここで ${k \in \mathbb{Z}}$ ． ${(2)}$ の展開式には、 ${1 \cdot 1 \cdot 1 \cdots 1}$ なる項が現れるから ${k>0}$ である．

私「途中なんだけど、眠くてもう書けない。無理に書き切ろうする習慣をなくすためにも、ここまでで、一旦切ろうと思う」

麻友「太郎さん。本当に、よく眠れるように、なってるのね」

私「これは、根拠が分からないから、話してなかったんだけど、ヤクルト４００と、ヤクルトのはっ酵豆乳を飲むようになってから、便秘止めを必要としなくなったんだ」

麻友「どういうこと？　７月９日の『病巣の膿』でも書いていたけれど』

私「今まで、飲んできた、向精神薬というのは、非常に強い薬なので、便秘する患者も多くて、先生の側も、当然のこととして、今まで、２５年間、便秘止めを処方してくれていた。ところが、５月３０日から、ヤクルトを飲み始めて、便が緩くなり、１つずつ便秘薬を抜いていった。そして、とうとうなくて良くなってしまったんだよ」

麻友「ヤクルトが、原因なら、先生の言うように、奇跡かも知れないわね」

私「奇跡が起きたとき、それが、奇跡だと分かるかどうかが、重要なんだろうね」

麻友「そして、よく眠れてもいるのね」

私「そうなんだよ」

麻友「太郎さんの健康に、貢献できて、嬉しいわ」

私「じゃあ、おやすみ」

麻友「おやすみ」

　現在２０１９年８月１４日２２時２１分である。おしまい。