問題５，６（その２） - 相対性理論を学びたい人のために

　現在２０１９年１２月３１日７時１１分である。

私「昨日は、眠くなってしまって、ごめん」

麻友「薬を飲まないでいて、徹夜するより、よっぽどいいわ」

若菜「お父さんは、障害者なのですから、きちんと睡眠を取らなければ」

私「でも、未完成のものを、投稿するのは、つらい」

結弦「ガウスみたいに、完成品好みになったら、駄目だよ」

私「結弦にまで、言われてしまった」

若菜「さあ、問題始めましょ」

私「前回は、問題３．のみ、解答を書いたんだったね」

麻友「中学や、高校の、教員採用試験って、あのレヴェルなの？」

私「まさか。あれは、１番易しい問題だよ」

麻友「良かった。でも、あれくらいの問題もあるのね」

私「そうなんだ。中学や高校の教員は、あの程度の易しい問題も、生徒に出題できないといけないから、試されている」

麻友「もちろん、数学の先生の採用試験よね」

私「そうだよ」

結弦「問題４．へ、進もうよ」

私「よし。まず、問題は、

問題４．

　光の速さは、大体秒速３０万キロメートルであるのを、知っているものと思う。

　現在の物理学では、真空中の光の速さは、正確に、

${2.997~924~58 \times 10^8 \mathrm{m/s}}$

であると、定義されている。

　一方で、私達は、時間は、渡辺麻友のスマホで、測るということにしている。

　これにより、渡辺麻友のスマホで、１秒間に真空中を光が進む距離として、

${299~792~458 \mathrm{m}}$

を、測り取ることが、できる。

　ここまで、分かっているとして、 ${1 \mathrm{kg}}$ というものを、粗っぽくで良いから、自分なりに定義してみよ。

　誘導に乗らずに、独自の定義をしても良い。

　なお、

${2.997~924~58 \times 10^8 \mathrm{m/s}}$

などでの３桁ごとの空白は、読みやすくするためのものであり、場合によっては、５桁ごとにすることもある。

　最後に、この真空中の光の速さを、暗記する覚え歌を、作れたら、作ってみよ。

というものだった。挑戦してみた？」

麻友「やってみたわよ。 ${1 \mathrm{kg}}$ は、１リットルの水の重さとする。ただし、１リットルとは、縦横高さが、 ${10 \mathrm{cm}}$ の立方体の体積とする」

私「粗っぽくて良いと言ってあるから、それで、正解」

若菜「それで、いいんですか？」

私「後は、私が補う」

結弦「お父さんの解答を、見たいな」

私の解答

私「一応、麻友さんのスマホで、１秒を、測れる。だが、同じことを書いてもしょうがないので、現在の物理学での定義を見せよう。理科年表より」

理科年表２０１８

理科年表平成30年

作者:
出版社/メーカー: 丸善出版
発売日: 2017/11/21
メディア: 単行本（ソフトカバー）

より、３６６ページ。

ＳＩ　基本単位

ＳＩの基本単位の大きさは、つぎのように定義される．

長さ　メートル(meter,m)は，光が真空中で ${1/299~792~458~\mathrm{s}}$ の間に進む距離である．

質量　キログラム(kilogram,kg)は質量の単位であり，国際キログラム原器の質量に等しい．

時間　秒(second,s)は， ${{}^{133} \mathrm{Cs}}$ 原子の基底状態の２つの超微細準位の間の遷移に対応する放射の ${9~192~631~770}$ 周期の継続時間である．［補則］この定義は温度 ${\mathrm{0~K}}$ のもとで静止した状態にある ${\mathrm{Cs}}$ 原子に基準を置いている．

私「となっている」

結弦「これ、古くない？　キログラム原器は、使われなくなったんじゃ、なかった？」

私「そうだ。もうキログラム原器は、使われていない」

若菜「どうなったんでしたっけ？」

私「秒の定義は、同じだ。これを利用すれば、メートルも、定義できる。その上で、プランク定数 ${h}$ を ${h=6.626~070~15 \times 10^{-34} \mathrm{J s}}$ が、正確に成り立つように、 ${\mathrm{kg}}$ を定義するというのだ」

麻友「どういうこと？」

私「この ${\mathrm{J s}}$ を、明確にしないとね。 ${\mathrm{s}}$ は、秒。一方、 ${\mathrm{J}}$ は、ジュールというエネルギーの単位で、 ${\mathrm{J=kg~m^2~s^{-2}}}$ というものなんだ」

麻友「それで？」

私「真空中の光速度 ${c}$ は、 ${c=299 792 458 \mathrm{m s^{-1}}}$ だった。だから、これの自乗で、 ${\mathrm{J=kg~m^2~s^{-2}}}$ を割ると、 ${\mathrm{J/c^2=kg / (299 792 458)^2}}$ となる。よって、 ${\mathrm{J s=kg~c^2/(299~792~458)^2~s}}$ であるから、 ${h=6.626~070~15 \times 10^{-34} \mathrm{J s}=6.626 070 15 \times 10^{-34} \mathrm{kg}~c^2/(299~792~458)^2~s}$ と、書ける。 ${\mathrm{kg}}$ だけが、定義されていないので、量子力学で、きちんと意味を持つ量 ${h}$ （ハー）を、ぴったり ${6.626~070~15 \times 10^{-34}}$ となるように、 ${\mathrm{kg}}$ を定めるというわけだ」

麻友「太郎さん。これは、ウソをつかない数学の一環で、やってるのよね」

私「うん」

麻友「誰に聞いても、騙されそうだけど、太郎さんなら、どこまでも、追求できる。これ、もし今後、プランク定数を実験で、測定していって、 ${6.626~070~151 \times 10^{-34}}$ の方が、正しいと分かったらどうするの？」

私「麻友さんなら、聞いてくると、思った」

麻友「答えられるの？」

私「私自身が、疑問に思ったから」

麻友「さすがね。それで、結論は？」

私「そもそも、秒は、セシウムという原子の実験で、定めている。メートルは、秒を使って定義されている」

麻友「それ以上、言わなくていい。ハーは、あのままで、秒を、実験しなくても定義できるようになったとき、物理学のその３つの単位が、確定するのね。それまでは、秒の方を場合によっては調整して、対処する訳ね」

私「そうだ。そもそも、理科年表に出ている光速度は、 ${299~792~458}$ だから、９桁の精度だ。これは、ある意味アマチュアのための定義だ。私は、『パリティ』（２００８年１月号）の“標準”はいまという連載で、２００８年の段階で、セシウムという原子の実験でなく、光格子時計（ひかりこうしどけい）という１８桁の精度の時間を刻める時計があることを、知った。インターネットを、ググると、こんなのも、ある」