BBP公式に関して（その２） - 相対性理論を学びたい人のために

　現在２０２０年３月１１日１４時５６分である。

私「今日、３．１１なんだね。Yahoo! JAPAN で、『3.11』と、検索したよ」

麻友「太郎さんは、阪神淡路大震災とか、ニューヨーク同時多発テロとか、色々見てきたでしょうけど、私に取って、東日本大震災は、２０１１年。もうすぐで１７歳というときの大災害だった。AKB48 は、何度も被災地を訪れ、コンサート。１０年桜の植樹もした。

『こんなことが、本当に起きるんだ。いつもの日常は、当たり前じゃないんだ』

と、初めて知ったときだった」

私「まあ、私に取っては、『いつもの日常は、当たり前じゃないんだ』と、思い知らされたのは、やっぱり、統合失調症を発病して、ほとんどすべてのものを、失ったときだったね。あれ以上のショックは、私の人生で、なかった。２度の大きな失恋より、遥かに大きな衝撃を受けたのは、確かだね」

麻友「と、思い出話に浸るのも良いけど、昨日の約束の証明」

私「そうだったね。BBP公式の証明」

結弦「お父さんたら、お母さんとしゃべりだすと、数学忘れそうになるからな」

若菜「今日は、証明、見届けますよ」

私「昨日の回想から始めて、証明に切り込むよ」

π―πの計算アルキメデスから現代まで

作者:竹之内脩,伊藤隆
発売日: 2007/03/22
メディア: 単行本

という本の１４９ページから。

私「３人は、積分というものを知らないから、分からないところがあるのは、しょうが無いと、思って欲しい。始めるよ」

　定理　BBP公式

　次の式が成立する。

$\pi = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{16^n} \biggl(\frac{4}{8n+1}-\frac{2}{8n+4}-\frac{1}{8n+5}-\frac{1}{8n+6} \biggr)$

　証明

　本の証明では、いきなり積分を持ち出しているが、なるべく麻友さんたちの分かり易い話から始める。

　高校で、等比数列というものを、やらなかっただろうか？　これの、一番簡単な例が、現れる。

${1+x^8+(x^8)^2+(x^8)^3+(x^8)^4+ \cdots }$

という数列（正確には、級数）の和は、求められるだろうか？

麻友「知ってる。初項が、 ${a}$ だったら、 ${1}$ 引く公比分の ${a}$ となる。この場合、初項が ${1}$ だから、

$1+x^8+(x^8)^2+(x^8)^3+(x^8)^4+ \cdots =\frac{1}{1-x^8}$

となる。ただし、公比の絶対値が、 ${1}$ 未満でなければ、いけない」

　完全に先生の前で、講義している感じだな。

若菜「そういう経験あるのですか？」

　私が、中学３年生のとき、１学期中間、１学期期末、２学期中間の数学のテストは、満点だった。先生の、お気に入りだった。あるとき、先生がプリントを配って、皆にやらせた後、黒板で、模範解答を、書いた。私は、もちろんその問題は、解けていた。先生が、綺麗に証明を書き終わって、私の方を見たとき、私は、

『合ってます』

と言った。

　それで、後に一緒に横浜翠嵐高校へ行くことになる、科学部天文班での親友が、

『えっ、どっちが、先生？』

と、慌てたほどだった。

結弦「２学期期末で、１個間違えるんだよね。どんな問題で、間違えたの？」

　式の展開か、因数分解で、ちょっと勘違いをしたようなんだよね。

若菜「学年末は、また満点？」

　一応、満点にしてくれたけど、本当は２カ所、

${(x+2)(x-2}$

${(x^2+3x+4)(x-3}$

みたいに、括弧閉じの括弧を、書き忘れていた。先生が、赤のマジックで、閉じ括弧を書いて、満点にしてくれた。

麻友「また、正直に。それで、上の級数が求まると、どうなるの？」

　麻友さんも、初項が、 ${1}$ でない場合について、言及しているように、次のようなことが、分かる。

$1+x^8+(x^8)^2+(x^8)^3+(x^8)^4+ \cdots =\frac{1}{1-x^8}$

$x+x \cdot x^8+x(x^8)^2+x(x^8)^3+x(x^8)^4+ \cdots =\frac{x}{1-x^8}$

$x^2+x^2 \cdot x^8+x^2(x^8)^2+x^2(x^8)^3+x^2(x^8)^4+ \cdots =\frac{x^2}{1-x^8}$

$x^3+x^3 \cdot x^8+x^3(x^8)^2+x^3(x^8)^3+x^3(x^8)^4+ \cdots =\frac{x^3}{1-x^8}$

　一般に、 ${k=1,2,\cdots ,7}$ で、

$x^{k-1}+x^{k-1} \cdot x^8+x^{k-1}(x^8)^2+x^{k-1}(x^8)^3+x^{k-1}(x^8)^4+ \cdots =\frac{x^{k-1}}{1-x^8}$

が、成り立つ。

　これより、こういう書き方に慣れていないかも知れないが、

$\sum_{n=0}^{\infty} x^{k-1+8n}=\sum_{n=0}^{\infty} x^{k-1} \cdot (x^8)^n = x^{k-1} ( 1+x^8+(x^8)^2+(x^8)^3+ \cdots) =\frac{x^{k-1}}{1-x^8}$

となる。

結弦「お父さんの、記号使うときのやり方、段々読めてきた。同じようなものを足すときとかに、このシグマの記号を使う。これに、慣れないことには、お父さんの説明は、分からないんだね」

　さて、いよいよ、積分が、登場するのだが、最初は、穏やかに、攻めてくる。

　麻友さん。微分というものは、どういうものだっけ？

麻友「微分？　例えば、 ${x^2}$ の微分は、肩の数字が降りて、 ${2x}$ となるとか、太郎さんが２通りの方法で求めて、教えてくれた」

　じゃあさ、微分して、 ${2x}$ となるものは、求められるかな？

麻友「だって、 ${x^2}$ を微分したら ${2x}$ だと言ったんだから、 ${x^2}$ よ」

　まあ、そうなんだけどね。微分というのは、その瞬間の接線の傾きなんだよね。だから、関数 ${x^2}$ に、定数 ${C}$ を加えても、微分したら、 ${2x}$ になるんだよ。

麻友「じゃあ、 ${x^2+C}$ を微分しても、 ${2x}$ になるということ？　あっ、そうか、放物線が、上下するだけだから、各 ${x}$ での傾きは、同じなんだ」

　そう素直に、誰でもが、納得できないだろうけど、この事実を、

$\int 2x dx=x^2+C$

と書く。読み方は、『インテグラル　にー　エックス　ディーエックス　イコール　エックスのにじょう　たす　シー』だ。

麻友「とうとう、インテグラルを、使うときが来たか。『宇宙の年齢を求める』の頃からの、問題よね」

　そうだ。あれからもうすぐ５年になる。もう積分を、学び始めて、良いだろう。

麻友「『微分・積分入門』の、連載は？」

　あの本で、丁寧にやるつもりだったが、自分の勉強を、学校が追い越すということもある。取り敢えず、付け刃で良いから、積分に慣れよう。

若菜「分かってますよ。このインテグラルの記号と、 ${dx}$ で挟まれた関数の次数を１だけ上げて、微分してその関数になる関数を見つけ、積分定数と呼ばれる、 ${C}$ を、付けることを、『積分する』と、言うのですよね」

　若菜、飲み込みが速い。『微分・積分入門』を、少し読んだか？

若菜「お父さん。もたもたやってるから、もう１３０ページくらい、読みましたよ」

結弦「本当は、今日この後、出てくる、対数関数も、逆三角関数も、知ってるんだけどね」

麻友「知らないの、私だけ？」

　まあ、子供に追い越されるというのは、親にとって、嬉しいことではあるな。

　じゃあ、結弦。

$\int x^n dx=?$

は？

結弦「微分して、 ${x^n}$ となるのは、どうせ、 ${n+1}$ 次式で、微分すると肩の数が降りてくるから、このままだと、 ${(n+1)x^n}$ になっちゃう。だから、 ${n+1}$ で割って、 $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ のはずだが、さっきの積分定数のことを、忘れてはいけない。最終的解答は、

$\int x^n dx= \displaystyle \frac{x^{n+1}}{n+1} +C$

だ」

　良く勉強できてるな。中学１年生で、それなら、『特殊相対論とは何か』書けるぞ。

麻友「それで、取り敢えず、これを、認めると、どうなるの？」

　いきなり、今の、不定積分を飲み込めた段階で、次のステップ、定積分を、突きつけるのは、酷なのだが、数学では、いきなりどんどん、進まなければならないことがある。

麻友「定積分って、もっと難しいの？」

　そんなに、もの凄いギャップじゃない。さっきの ${x^2}$ の場合で、説明しよう。

$\int 2x dx =x^2 + C$

だった。これに、お約束の記号を付けるんだ。

麻友「お約束の記号？」

$\int_0^2 2x dx = \biggl[ x^2 + C \biggr]_0^2=2^2+C-0^2-C=2^2=4$

麻友「ひとつの数字になったということが、重要なの？」

　まあそうだね。きちんというと、 ${2x}$ を、 ${0}$ から ${2}$ まで、積分するって、言うんだけど、 ${2x}$ を不定積分した ${x^2}$ に、まずインテグラルの上に付いている、 ${2}$ を代入し、次にこれから、インテグラルの下に付いている、 ${0}$ を代入したものを、引くんだ。

麻友「積分定数は？」

　同じ、 ${C}$ を足した後、引くから、結局ゼロになるので、積分定数は、考えなくていいんだ。

麻友「ちょっと、安心したわ」

　それでは、早速実践。

　本では、いきなり最初から、『これを示すために、次の積分を考える』となっていたが、やっとその積分を考えよう。

$\int_0^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \frac{x^{k-1}}{1-x^8} dx~~(k=1,2,\cdots ,7)$

麻友「これー、あっでも、さっきの等比級数で、表せる。さっきのは、等比級数の和を求めたのではなく、積分を、等比級数で表すためだった？」

　実は、その通り。

$\sum_{n=0}^{\infty} x^{k-1+8n}=\sum_{n=0}^{\infty} x^{k-1} \cdot (x^8)^n = x^{k-1} ( 1+x^8+(x^8)^2+(x^8)^3+ \cdots) =\frac{x^{k-1}}{1-x^8}$

だったから、

$\int_0^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \frac{x^{k-1}}{1-x^8} dx =\int_0^{\frac{1}{\sqrt{2}}} x^{k-1} ( 1+x^8+(x^8)^2+ \cdots) dx =\int_0^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \sum_{n=0}^{\infty} x^{k-1+8n} dx$