相対性理論を学びたい人のために

まだ一度も相対性理論を勉強したことのない人は、何か一冊相対性理論の本を読みかじってみて、なぜこんなことが?という、疑問を持ってからこのブログに来てください。ブログの先頭に戻るには表題のロゴをクリックしてください

相対論への招待(その37)

 現在2020年4月2日19時25分である。

麻友「昨日は、何も、書いてくれなかったわね」

私「後で、見せるように、一所懸命書いていたんだ。だけど眠くなり、途中で、眠らざるを得なかったんだ」

麻友「それで、いいのよ。ちゃんと、眠り薬を、21時に飲んでるのね。ちゃんと、太郎さんが寝なかったら、私、太郎さんのお母様に、合わせる顔がない」

私「ところで、今日、マックで、昼食を食べ、駅ビルのCIALのくまざわ書店で、雑誌『日経ビジネス』を見ていたとき、表紙見返しに、乃木坂46の生田絵梨花(いくた えりか)さんの顔写真のあるコマーシャルが、あったのね。なぜ、その顔を見たかというと、指原莉乃さんに、似てたんだよ。同じような人が、メンバーを選んでいるから、好みが表れる。それを、見ながら、

『あぁ、4月なんだな。受験していた学生たち、受かったのかなあ?』

と、ふと思った。そのとき、

『麻友さんは、今年の1月から、行方不明みたいだなあ、もしかして、大学受験してたんじゃない?』

と、思い付いた。落ちたら恥ずかしいから、受けることは、隠していた可能性はある。でも、今年の学生は、可哀想だなあ。麻友さん、よりによって、まずい年に、大学生になったなあ。などと、思ったんだ」

麻友「太郎さん。それは、トップシークレットよ。そういうことを、思い付けちゃう、太郎さんの頭には、敬意を表明するけど、もう少し、置いておいて」

私「秘密なのか。じゃあ、これ以上、追求しないよ」

麻友「それより、ローレンツ変換を、導いて」

私「分かった」


私「まず、昨日書いたものを、見せるね」


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 現在2020年4月1日21時14分である。

麻友「今日は、エイプリルフール。ちょっとした、冗談なら、許すわよ」

私「いや、冗談を言うつもりは、ないんだ。ただ、余りにも、麻友さんを待たせてしまったので、今、私に、どこまで分かっていて、何が不明なのかを、話した上で、取り敢えず、ローレンツ変換を、導いて見せようと、思う」

麻友「昨日のスキャン原稿の最後の、『出来た』という言葉は、成功したと言うこと?」

私「持ってこよう」

f:id:PASTORALE:20200331204405j:plain

{(b \cosh \theta,b \sinh \theta)}     {((b+a)\cosh \theta,(b+a)\sinh \theta)}



                   {a\sinh \theta}
     {a\cosh \theta}
                  \displaystyle a \sinh \theta \frac{a \sinh \theta}{a\cosh \theta}
                     {=a\sinh \theta \tanh \theta}

{a \cosh \theta-a \sinh \theta \tanh \theta}

{= a \cosh \theta (1-\tanh^2 \theta)}

{\displaystyle =a \cosh \theta \frac{\cosh^2 \theta-\sinh^2 \theta}{\cosh^2 \theta}}  ここ、ノートの {\tanh^2 \theta} でなく、{\sinh^2 \theta} の誤植です。

{\displaystyle =a \cosh \theta \frac{1}{\cosh^2 \theta}=a\frac{1}{\cosh \theta}}




f:id:PASTORALE:20200331204441j:plain

 上から6行、計算間違いです。

 7行目の

{\displaystyle \frac{v}{c}=\tanh \theta}

が、大切で、

{\displaystyle \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}=\sqrt{1-\tanh^2 \theta}}

     {\displaystyle =\sqrt{\frac{1}{\cosh^2 \theta}}}

     {\displaystyle =\frac{1}{\cosh \theta}}



麻友「こんな計算、見せられても分からない」

私「ひとつずつ、意味を取っていこう」

私「4054ページで、私は、同時刻が異なるために、加速がずれて行き、幅が狭くなっていく、電車の長さを、静止系、つまり地面にいる人は、どれだけ縮んでいると観測するかを、求めようとしている」



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ここまで、2020年4月1日の晩書いた、文章。


私「昨日、ここまで、書いて、眠っちゃったんだ」

麻友「それで、何が、導けたの?」

私「しばらく、持ち出してなかったけど、オリジナル原稿と言ってた、7枚の原稿の6枚目と7枚目で、


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で、特に今は、6枚目の方を、問題にするけど、最終的に、どうしたいのか、まず、言うね」

麻友「分かったわ」

私「麻友さんが、最後尾に乗っている、電車の長さが、縮んでいくということで、どれだけ縮むかを、計算したい。結果を言うと、静止しているとき、長さ{a} だった電車が、

{\displaystyle a \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}

と、観測されるんだよ。速さが、{v=0} でない場合、ルートの中が、{1} より小さくなるから、縮んでいるのは、確かだよね」

麻友「これを、計算したかったの?」

私「この後が、あるんだ。これが、導けたとすると、電車の長さが、{1} なら、{a=1} として、{\displaystyle \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} に縮むだろう」

麻友「そうね。そうだとすると?」

私「オリジナルのスキャン原稿の3枚目で、



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 1を往復したので、{t'}系で2秒経ったとき、{t}系で{\displaystyle \frac{2}{1-v_1^2}}秒経ったというのとも違う。

 長さも縮んでいるので、やはり、加速させて縮む量を計算しなくてはならない。


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というやり取りが、あった。

 このとき、電車が、縮まず、{1} のままだとしたのが、間違いの原因だと、指摘してあった。これに、再チャレンジする。

{\displaystyle \frac{2}{1-v_1^2}}

というのの、{v_1} というのは、本来、{\displaystyle \frac{v_1}{c}} などのように、光速度 {c} で、割らなければならない量だった。だから、{v_1}{\displaystyle \frac{v_1}{c}} で、置き換える。

 そして、速さ {v_1} なら、縮む割合が、{\displaystyle \sqrt{1-\frac{v_1^2}{c^2}}} を、掛けたものなのだから、往復するのに、

{\displaystyle \frac{2}{\displaystyle 1-\frac{v_1^2}{c^2}} \times \sqrt{1-\frac{v_1^2}{c^2}}=\frac{2}{\displaystyle \sqrt{1-\frac{v_1^2}{c^2}}}}

の時間が、かかることに、なる。長さが変わらないとした場合より、縮んでいるので、静止系からみて、麻友さんにとっての {2} 秒が、{\displaystyle \frac{2}{\displaystyle \sqrt{1-\frac{v_1^2}{c^2}}}} 秒となるので、縮まない場合より、少し減り方が小さくなる。このほんの少しの減り方の違いを、計算していたのである」

麻友「太郎さん。これで、完成したの?」

私「最後に、ひとつ、


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結果を言うと、静止しているとき、長さ{a} だった電車が、

{\displaystyle a \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}

と、観測されるんだよ。


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という部分が、あっただろう」

麻友「そうだったわね」

私「今日は、眠くなっちゃったので、ここまでにするよ。明日書けたら、書く」

麻友「太郎さんでも、相対性理論は、大変なのね」

私「予想以上に大変だった。おやすみ」

麻友「おやすみ」

 現在2020年4月2日22時00分である。