相対性理論を学びたい人のために

まだ一度も相対性理論を勉強したことのない人は、何か一冊相対性理論の本を読みかじってみて、なぜこんなことが?という、疑問を持ってからこのブログに来てください。ブログの先頭に戻るには表題のロゴをクリックしてください

キラキラ星変奏曲(変奏12)

 現在2020年8月21日19時22分である。

麻友「いよいよね」

私「いよいよだ。今日、ポートで、もう一度、式を書いて、チェックした」

若菜「お父さんでも、式変形で、詰まることって、あるの?」

私「いつだって、頻繁にあるよ。今日だって、せっかく計算したのに、間違いが見つかって、1ページまるまる、斜線を引いて、消したページもある」

結弦「消しゴムで、消すわけに、行かなかったの?」

私「あまりに、深刻な間違いだったので、どうしようもなかったんだ」

麻友「じゃあ、その成果を見せてもらいましょう」

私「計算したのに、まだ使ってなかったのは、この式だね。

{\displaystyle \cot x=\frac{1}{\tan x}=\frac{1}{x} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2x}{x^2-(n \pi)^2}}

が、留数解析の結果として、一応、得られているのだった」

麻友「そうだったわね」

私「これを、導くときは、実数で考えたけど、複素数体 {\mathbb{C}} へ、解析接続して、複素数 {z} の関数として、考えよう」

若菜「そういうことをするのが、解析接続でしたね」

結弦「そうすると、

{\displaystyle \cot z=\frac{1}{\tan z}=\frac{1}{z} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2z}{z^2-(n \pi)^2}}

だね」

麻友「両辺に、{z} を、かけるべきね。

{\displaystyle z \cot z=\frac{z}{\tan z}=1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2z^2}{z^2-(n \pi)^2}}

これを、どうするのかしら?」

私「後ろの式で、分子にある {2} を、前に出して、分母分子を、{(n \pi)^2} で割る」

{\displaystyle z \cot z=1 + 2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{z^2}{z^2-(n \pi)^2}}

{\displaystyle z \cot z =1+ 2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\displaystyle \frac{z^2}{(n \pi)^2}}{\displaystyle \frac{z^2}{(n \pi)^2}-1}}

私「シグマ全体にマイナスをかけて、引き算の形にする」

{\displaystyle z \cot z =1- 2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\displaystyle \frac{z^2}{(n \pi)^2}}{\displaystyle 1-\frac{z^2}{(n \pi)^2}}}

私「括弧を大きいものにして、見やすくする」

{\displaystyle z \cot z =1- 2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\displaystyle \biggl(\frac{z}{n \pi} \biggr)^2}{\displaystyle 1-\biggl(\frac{z}{n \pi} \biggr)^2}}

麻友「あらっ、何か、見たことのある形。等比級数って、こんなのじゃなかった? 和が」

私「さすが、特待生。

{\displaystyle a+ar+ar^2+ar^3+ar^4+\cdots =\frac{a}{1-r}~~~~~~~(|r|<1)}

なんだよね。ちゃんと、トライ式高等学院でも、勉強してるじゃない」

麻友「でも、これを使うってことは、逆向きに使うってことね」

私「そう。先に和が求まっているものを、等比数列にする」

麻友「そうすると、{\displaystyle a=\biggl(\frac{z}{n \pi} \biggr)^2} と、{\displaystyle r=\biggl(\frac{z}{n \pi} \biggr)^2} を使って、

{\displaystyle \biggl(\frac{z}{n \pi} \biggr)^2+\biggl(\frac{z}{n \pi} \biggr)^4+\biggl(\frac{z}{n \pi} \biggr)^6+ \cdots =\frac{\displaystyle \biggl(\frac{z}{n \pi} \biggr)^2}{\displaystyle 1-\biggl(\frac{z}{n \pi} \biggr)^2}}

となる。一応、さっきの等比級数の和の公式、証明させて」

私「いいよ。

{\displaystyle a+ar+ar^2+ar^3+ar^4+\cdots =S~~~~~~~(|r|<1)}

と、和を、{S} と表しておいて、求めてごらん」

麻友「これの両辺に、等比 {r} をかけるのよね」

{\displaystyle ar+ar^2+ar^3+ar^4+ar^5+ \cdots =rS~~~~~~~(|r|<1)}

麻友「そして、ずらして、引き算する。後ろは、どこまでも同じだから、

{\displaystyle a=S-rS}

が、得られる。だから、

{\displaystyle S=\frac{a}{1-r}}

と、和が求まる。{\displaystyle (|r|<1)} という条件は、十分条件なのよね。{\displaystyle |r|=1} でも、{a=0} なら収束する」

私「そこまで勉強してあれば、高校卒業と、胸を張って言える」

麻友「ツェノンのパラドックスは、これの応用だったわね」

私「今頃気が付いてるのかいな」


結弦「最後の計算しようよ」

{\displaystyle z \cot z =1- 2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\displaystyle \biggl(\frac{z}{n \pi} \biggr)^2}{\displaystyle 1-\biggl(\frac{z}{n \pi} \biggr)^2}}

{\displaystyle z \cot z =1- 2\sum_{n=1}^{\infty}\biggl\{\biggl(\frac{z}{n \pi} \biggr)^2+\biggl(\frac{z}{n \pi} \biggr)^4+\biggl(\frac{z}{n \pi} \biggr)^6+\biggl(\frac{z}{n \pi} \biggr)^8 \cdots \biggr\}}

{\displaystyle z \cot z =1- 2\sum_{n=1}^{\infty}\biggl\{\frac{z^2}{n^2 \pi^2} +\frac{z^4}{n^4 \pi^4} +\frac{z^6}{n^6 \pi^6} +\frac{z^8}{n^8 \pi^8} \cdots \biggr\}}

ということは、

{\displaystyle z \cot z =1- 2\sum_{n=1}^{\infty}\biggl\{\frac{z^2}{n^2 \pi^2} +\frac{z^4}{n^4 \pi^4} +\frac{z^6}{n^6 \pi^6} +\frac{z^8}{n^8 \pi^8}+\cdots +\frac{z^{2k}}{n^{2k} \pi^{2k}} \cdots \biggr\}}

だから、

{\displaystyle z \cot z =1- 2\sum_{n=1}^{\infty} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{z^{2k}}{n^{2k} \pi^{2k}} }

だけど、これどうすれば良い?」

若菜「もうちょっとよ。{k} についての和より、{n} についての和を、優先させるのよ。

{\displaystyle z \cot z =1- 2\sum_{k=1}^{\infty} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{z^{2k}}{n^{2k} \pi^{2k}} }

そうすると、

{\displaystyle z \cot z =1- 2\sum_{k=1}^{\infty} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2k}} \frac{z^{2k}}{\pi^{2k}} }

となる。ここを、私ができるなんて、幸せだわ。ここに、

{\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2k}}=\frac{1}{1^{2k}}+\frac{1}{2^{2k}}+\frac{1}{3^{2k}}+\frac{1}{4^{2k}}+\cdots =\zeta(2k)}

と、リーマン・ゼータ関数が、現れる。

{\displaystyle z \cot z =1- 2\sum_{k=1}^{\infty} \biggl( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2k}} \biggr) \frac{z^{2k}}{\pi^{2k}} }

で、ここに、

{\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2k}}=\zeta(2k)}

こう、あてはまる。ああ、お父さんが、数学にとりつかれるのが、分かる。奇跡みたいね」

私「上手く行ったようだな」

若菜「はい。

{\displaystyle z \cot z =1- 2\sum_{k=1}^{\infty} \zeta(2k) \frac{z^{2k}}{\pi^{2k}} }

と、リーマン・ゼータ関数が、現れました。もう、感激です」

麻友「数学の感激って、やっぱり凄いわよね」

私「計算機や関数電卓で、計算していても、最後のボタンを押すとき、指が震えることもある。ましてや、手計算の場合の感激は、1度味わったら、病み付きになるよな」

麻友「もう、21時58分よ。今日は、3時28分に起きているのだから、結果の評価は、明日にして、今日はもう寝たら?」

私「分かった。じゃあ、唐突だが、解散」

 現在2020年8月21日22時03分である。おしまい。