相対性理論を学びたい人のために

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数学を悟ってみて(その14)

 現在2020年12月7日15時38分である。(この投稿は、ほぼ5197文字)

麻友「(その10)から、ほとんど進んでないわよ」

私「(その11)では、歯ブラシの写真を、送ったね。あの2本を、洗面所に並べて置いておいたら、♪2人、いつのまにか、キスをしてた(麻友さんのソロ曲『最初のジャック』の歌詞より)、になってたんだ」

麻友「わざと、やったんじゃ、ないの?」

私「わざとだったら、写真撮ったりしないよ」

若菜「でも、出来すぎ」

結弦「こんなこと、起こるんだ」


私「さて、{\pi} の値を、求めよう。そのためには、マチンの級数を証明しなければ、ならない」

麻友「それ、証明しなくて、いい。あの、物凄い級数でしょう」

私「これだよ」

{\displaystyle \pi =16 \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1} \biggl(\frac{1}{5} \biggr)^{2n+1}-4 \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1} \biggl(\frac{1}{239} \biggr)^{2n+1}}

麻友「こんな、恐ろしいもの、証明なんて、分かりっこないわ」

私「そう、決めつけるものじゃない。でも、これを証明する前に、先にこれをつかって、{\pi} を求めても、いいけどな」

結弦「先に、どれくらい威力があるか、見せて欲しいな」

私「まず、級数を、丁寧に書こう」

私「ここから、『麻友72』のノートに、計算がある。『麻友72』p.4273からだ。分数の分母に指数があるために、数字が、ガタガタしているが、特に意味はない」

{\displaystyle \pi =16 \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1} \biggl(\frac{1}{5} \biggr)^{2n+1}-4 \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1} \biggl(\frac{1}{239} \biggr)^{2n+1}}

{\displaystyle =16 \biggl(\frac{1}{1}\frac{1}{5}-\frac{1}{3} \frac{1}{5^3}+ \frac{1}{5} \frac{1}{5^5}-\frac{1}{7} \frac{1}{5^7}+\frac{1}{9} \frac{1}{5^9}  \cdots \biggr)}

{\displaystyle -4 \biggl(\frac{1}{1}\frac{1}{239} -\frac{1}{3}\frac{1}{239^3}+\frac{1}{5} \frac{1}{239^5}-\frac{1}{7} \frac{1}{239^7}+\frac{1}{9} \frac{1}{239^9}+\cdots \biggr)}

麻友「分かった。これを、計算するのね。手分けしてやりましょう。若菜、{16} の括弧の中、結弦、{4} の括弧の中、私がふたりの計算したものに、{16}{4} を掛けて、引き算する」

若菜「
{\displaystyle \frac{1}{5}-\frac{1}{3}\frac{1}{5^3}+\frac{1}{5}\frac{1}{5^5}-\frac{1}{7}\frac{1}{5^7}+\frac{1}{9}\frac{1}{5^9}\cdots =0.19739~55616~5}

グーグルの計算機では、小数点以下11桁まで」

結弦「
{\displaystyle \frac{1}{239}-\frac{1}{3}\frac{1}{239^3}+\frac{1}{239}\frac{1}{239^5}-\frac{1}{7}\frac{1}{239^7}+\frac{1}{239}\frac{1}{239^9}\cdots =0.00418~4076}

と、小数点以下9桁」


 注.上の計算は、間違っています。第3項と第5項に以下のように、誤りがありました。{239} とあったのが、{5} と、{9} というのが、正しい数値です。

{\displaystyle \frac{1}{239}-\frac{1}{3}\frac{1}{239^3}+\frac{1}{5}\frac{1}{239^5}-\frac{1}{7}\frac{1}{239^7}+\frac{1}{9}\frac{1}{239^9}\cdots =0.00418~4076}


 ただ、グーグルの計算機では、違いが、分からなかったのです。Mathematica で計算して、

間違っている方{=0.00418~40760~01823~6 \cdots }

   正しい方{=0.00418~40760~02074~7 \cdots }

と、小数点以下12桁目で、初めて違いの出て来る計算ミスだったため、投稿自体には、間違いは、現れませんでした。申し訳ありません。

    注終


麻友「じゃ、私が、

{16 \times 0.19739~55616~5-4 \times 0.00418~4076=3.14159~26824}

ワァーッ、感動! あの剣と比べて、{3.1415926} まで、合ってる。太郎さんのメールアドレスに、あと一桁及ばなかったわね」


私「これは、{x} の、{9} 次まで計算している。ところで、

{\displaystyle 16 \biggl( \frac{1}{5}-\frac{1}{3}\frac{1}{5^3}+\frac{1}{5}\frac{1}{5^5}-\frac{1}{7}\frac{1}{5^7}+\frac{1}{9}\frac{1}{5^9} \biggr) =16 \times 0.19739~55616~5=3.15832~89864}

だから、{\displaystyle \frac{1}{239}} で、小さい数のようだけど、後ろの項も、寄与していることが、分かるね」

若菜「後ろの項をどけると、{3.15} になって、{3.14} すら、達成できないんですね」

結弦「僕達は、あの剣で、50桁目まで、知っているけど、これから、{3.14} までは、正しいと、どうやって確かめるの?」


私「どうすれば、いいと思う?」

麻友「{16} の方も、{4} の方も、等比数列だから、

{\displaystyle -\frac{1}{11}\frac{1}{5^{11}}+\frac{1}{13}\frac{1}{5^{13}}-\frac{1}{15}\frac{1}{5^{15}}+\frac{1}{17}\frac{1}{5^{17}}- \cdots}

{\displaystyle \leqq +\frac{1}{11}\frac{1}{5^{11}}+\frac{1}{13}\frac{1}{5^{13}}+\frac{1}{15}\frac{1}{5^{15}}+\frac{1}{17}\frac{1}{5^{17}}+ \cdots}

{\displaystyle \leqq +\frac{1}{11}\frac{1}{5^{11}}+\frac{1}{11}\frac{1}{5^{13}}+\frac{1}{11}\frac{1}{5^{15}}+\frac{1}{11}\frac{1}{5^{17}}+ \cdots}

{\displaystyle =\frac{1}{11}\frac{1}{5^{11}}\biggl(1+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{5^4}+\frac{1}{5^6}+ \cdots \biggr)}

{\displaystyle =\frac{1}{11}\frac{1}{5^{11}}\frac{1}{\displaystyle 1-\frac{1}{5^2}}}

{\displaystyle =\frac{1}{11}\frac{1}{5^{11}}\frac{5^2}{5^2-1}=\frac{5^2}{11 \cdot 5^{11} \cdot (5^2-1)}=1.93939~394 \times 10^{-9}}

だから、{16} をかけて、

{3.10303~03 \times 10^{-8}}

となり、{9} 次の項より後ろを足しても、これ以上増えることはない。分母を小さくすると、分数が大きくなるということと、等比数列の和の公式を使ったわ」

若菜「{4} の方も、最初から、{4} を掛けて計算して、

{\displaystyle -4 \biggl(-\frac{1}{11}\frac{1}{239^{11}}+\frac{1}{13}\frac{1}{239^{13}}-\frac{1}{15}\frac{1}{239^{15}}+\frac{1}{17}\frac{1}{239^{17}}- \cdots \biggr)}

{\displaystyle \leqq 4 \biggl( \frac{1}{11}\frac{1}{239^{11}}+\frac{1}{13}\frac{1}{239^{13}}+\frac{1}{15}\frac{1}{239^{15}}+\frac{1}{17}\frac{1}{239^{17}}+ \cdots \biggr)}

{\displaystyle \leqq 4 \biggl( \frac{1}{11}\frac{1}{239^{11}}+\frac{1}{11}\frac{1}{239^{13}}+\frac{1}{11}\frac{1}{239^{15}}+\frac{1}{11}\frac{1}{239^{17}}+ \cdots \biggr)}

{\displaystyle = 4 \frac{1}{11}\frac{1}{239^{11}}\biggl(1+\frac{1}{239^2}+\frac{1}{239^4}+\frac{1}{239^6}+ \cdots \biggr)}

{\displaystyle = 4 \frac{1}{11}\frac{1}{239^{11}}\frac{1}{\displaystyle 1-\frac{1}{239^2}}}

{\displaystyle =\frac{4}{11}\frac{1}{239^{11}}\frac{239^2}{239^2-1}=\frac{4 \cdot 239^2}{11 \cdot 239^{11} \cdot (239^2-1)}=2.50206~16 \times 10^{-27}}

となって、これ以上は、増えません」

結弦「じゃあ、{3.14159~26824} に、両方足して、

{3.14159~26824+3.10303~03 \times 10^{-8}+2.50206~16 \times 10^{-27}=3.14159271343 \geqq \pi}

となる」

麻友「等比数列が、全部、マイナスだったと考えると、{3.10303~03 \times 10^{-8}+2.50206~16 \times 10^{-27}} を、マイナスしたものよりは、大きい。だから、

{3.14159~26824-3.10303~03 \times 10^{-8}-2.50206~16 \times 10^{-27}=3.14159265137 \leqq \pi}

となるから、ふたつ合わせて、

{3.14159265137 \leqq \pi \leqq 3.14159271343}

の両端より中に、真の値は、落ちる。オオーッ、下限が、ギリギリ {\pi} を、掬っている。計算してみるものね」

若菜「真の値は、あの剣の表面を見ると、

{\pi=3.\\
14159~26535\\
89793~23846\\
26433~83279\\
50288~41971\\
69399~37510\\}

で、{50} 桁まで、分かる。小数点以下、{6} 桁まで、正しいという予想は、当たってますね」

私「今日は、感動したところで、終わりにしよう」

若菜・結弦「おやすみなさーい」

麻友「またひとつ、数学の宝石を、見せてもらったわ」

私「そう言ってもらえるのが、私に取っては、何よりのご褒美だよ」

麻友「おやすみ」

私「おやすみ」

 現在2020年12月7日21時31分である。おしまい。