数学を悟ってみて（その２８） - 相対性理論を学びたい人のために

　現在２０２０年１２月２５日１４時４９分である。（この投稿は、ほぼ７５９０文字）

麻友「太郎さん。今年中に、２００個、投稿書こうとしてるのね」

私「実は、そう。他のブログの投稿も合わせてだけど、１年に２００個投稿したことは、１度もないんだ。だから、頑張っている」

若菜「今日のが、１９９個目。まだ、２６日、２７日、２８日、２９日、３０日、３１日と、６日あるから、ほぼ実現できますね」

結弦「基本的に、全部、お母さんに献呈しているんだから、お母さんも、読むの大変だよなあ」

麻友「音楽とかなら、献呈されても、まだ、分からなかったら、分からなかったで、済むけど、科学的な文献でしょ。しかも、私にレヴェルを合わせてあるって言ってる。でも、太郎さんの話、分からないこと多いのよ」

私「私自身が、苦労して分かったようなことを、書いているから、麻友さんが分からなかったとしても、無理はない。でも、麻友さんに説明しようと思うから、普通本に書いていないようなことも、書いてある。将来、私が、先生にでもなったとき、このやり取りが、役に立つだろう」

若菜「お父さん。まだ、先生になる夢、棄ててないんですか？」

麻友「そうなのよ。太郎さんって、そういう人。それで、昨日、話してくれたことは、まとめると、どうなるの？」

私「まず、古典論理での、命題論理というもので、次の８個を認めた

『 ${\wedge}$ 導入』

${A~~~~~~~B\\ \rule{1.5cm}{0.3mm}\\ ~~A \wedge B}$

それから、『 ${\wedge}$ 除去』が、

${ A \wedge B\\ \rule{1.0cm}{0.3mm}\\ ~~~B\\ }$

と、

${ A \wedge B\\ \rule{1.0cm}{0.3mm}\\ ~~~A\\ }$

それから、『 ${\Rightarrow}$ 除去』

${ A~~~~ A \Rightarrow B\\ \rule{2.5cm}{0.3mm}\\ ~~~~B\\ }$

と、『 ${\Rightarrow}$ 導入-仮定除去』

${~~~[A]^{n)}\\ ~~~\downarrow \\ ~~~B \\ \rule{1.5cm}{0.3mm} n\\ ~A \Rightarrow B\\ }$

『 ${\vee}$ 導入』が、

${~~~~~~~A \\ \rule{1.5cm}{0.3mm}\\ ~~A \vee B}$

と、

${~~~~~~~B \\ \rule{1.5cm}{0.3mm}\\ ~~A \vee B}$

で、

『 ${\vee}$ 除去』は、

${~ A \vee B ~~~~~~A \Rightarrow C ~~~~ B \Rightarrow C \\ \rule{6cm}{0.3mm}\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~C}$

と、なる」

私「ここから、『 ${\neg}$ 』が出てきて、『準背理法（じゅんはいりほう）』と呼んでいる、

${A \Rightarrow ( B \wedge \neg B )\\ \rule{4.0cm}{0.3mm} \\ ~~~~~~\neg A\\ }$

が、あり、

『片方否定』と呼んでいる次の推論がある。

${~~A \vee B ~~~~~~~\neg B \\ \rule{3.0cm}{0.3mm} \\ ~~~~~~~~~~~~~~A \\ }$

これで、８個だ」

若菜「９個目は？」

私「ここからが、ハイライトなんだ。まず古典論理では、『 ${\neg}$ 』の最後の推論パターンは、『二重否定』と、私が呼んでいる、

${~~~~~~~\neg (\neg A) \\ \rule{3.0cm}{0.3mm} \\ ~~~~~~~~~~~~~~A \\ }$

という推論なんだ」

結弦「否定の否定は、肯定か。わざわざハイライトあてる必要あるのかな」

私「ちょっと、これらの推論パターンを、使う、演習をしてみようか」

若菜「それは、受けて立ちたいです」

私「じゃあ、ただの問題じゃ、面白くないから、ブルバキの論理の公理を、証明しよう」

若菜「ちょっと、待って下さい。公理というのは、証明できないから、公理なんじゃ、ないんですか？」

私「そういう、幼稚な世界から脱却させるために、この問題をやる。私達は、命題論理というものを、ひとつ知ったのだ。そして、これを用いて、数学をやっていく。ところで、ブルバキが、公理としているものを、私達が、証明できたら、以後ブルバキが証明したというものは、全部我々も、証明できるということに、ならないかい？」

結弦「お父さん。とんでもないこと、考えるんだね。自分は、ブルバキより高い位置から見てるなんて」

麻友「ブルバキの論理の公理って、どんなものなの？」

私「もし、実際に、ブルバキを見たい人がいたら、このブログのリンク集の中に、『私の文献』というものがあり、それをクリックすると、フォルダがいくつもあるが、その中に、『ブルバキ集合論』というフォルダがある。『ブルバキノート１冊目１ページから６０ページ』は、私が取ったノート。『ブルバキテキスト第１章§１～§３』は、ブルバキの訳本の第１章の§３までを、スキャンしたものである。書き込みはあるが、読むのに困るほどでは、ないだろう」

麻友「あっ、これ、本物？」

若菜「なんか、同じページが、何回も出てきたり」

私「それは、意味があるんだよ。§１が、終わったら、§１の問題を解きたくなるだろう。それで、後ろの方の問題のページをスキャンしてある。そして、§２を終えると、§２の問題を、解きたいだろう。§１の問題と、§２の問題が同じページにあるので、重複を厭わず、スキャンしてあるんだ」

結弦「そういうことか。お父さんには、ブルバキを達観できるだけの余裕があるということか」

私「さあそれでは、ブルバキの論理の公理を、見せよう」

Ｓ１． ${(A \vee A) \Rightarrow A}$

Ｓ２． ${A \Rightarrow (A \vee B)}$

Ｓ３． ${(A \vee B) \Rightarrow (B \vee A)}$

Ｓ４． ${(A \Rightarrow B ) \Rightarrow （（ C \vee A ） \Rightarrow （C \vee B ））}$

結弦「えっ、４つだけ？　しかも、４番以外、ほとんど当たり前。お父さん、これ、どういうこと？」

私「つまり、本当は、数学をやるのに、私達みたいに、９個も、推論のパターンを用意する必要は、ないんだ。だけど、言っただろう、『証明は、泥臭くて丁寧な方が、読む方には、読みやすくて、助かるんだ』って」

若菜「でも、どうやったら、こんなに、脂肪を落とせるんですか？」

私「使う記号を、節約しているんだよ。例えば、 ${A \wedge B}$ は、 ${\neg（（\neg A） \vee （\neg B））}$ と表すみたいにね」

若菜「あっ、それなら、納得です」

麻友「そうすると、Ｓ１．は、『 ${\vee }$ 除去』で、・・・。あれっ、単純には行かない？」

私「ブルバキを、舐めちゃ、いけない。

${~~A \vee A ~~~~~~A \Rightarrow A ~~~~~~A \Rightarrow A \\ \rule{6cm}{0.3mm}\\ ~~~~~~~~~~~~~~A\\ \rule{4cm}{0.3mm}\\ ~~~~(A \vee A) \Rightarrow A\\ }$

と、しようと思ったんだろう」

麻友「それで、仮定除去で、

${~~[A \vee A]^{1)} ~~~~~~A \Rightarrow A ~~~~~A \Rightarrow A \\ \rule{6cm}{0.3mm}\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~A\\ \rule{4cm}{0.3mm} 1\\ ~~~~(A \vee A) \Rightarrow A\\ }$

と、しようと思ったんだけど、 ${A \Rightarrow A}$ という仮定が、落ちてない。以前、『数学を悟ってみて（その２）』で、直観論理の話をしてたとき、『 ${B \Rightarrow B}$ 』は、必ず成立するって、太郎さんは言ってたけど、私は、証明を知らない」

私「良く気付いたな。流石特待生。これは、私も、困ったなと思った。だけど、私は、 ${A \Rightarrow A}$ を、証明したことが、あるんだ」

麻友「どこで？」

私「ブルバキでも、NKsummary.pdf でも。だから、ちょっとやれば、証明できることを、知っている」

若菜「分かりました。 ${A}$ は、仮定が、 ${A}$ で、結論が、 ${A}$ の、演繹図なんです。だから、『 ${\Rightarrow}$ 導入-仮定除去』推論を使って、

${~~[A]^{1)} \\ \rule{2cm}{0.3mm}1\\ ~~A \Rightarrow A\\ }$

と、証明できる。仮定が全部落ちているので、 ${A \Rightarrow A}$ は、定理です」

麻友「定理って言ってるけど、数字も何もないじゃない」

私「定理っていう言葉を、色んな時に、使うんだけど、何の定理かを、ハッキリさせなければ、ならないね。今の場合、『私達の、 ${\mathbf{NK}}$ の、命題論理の部分での定理』というのが、正しい名称だろうね」

麻友「そうすると、証明は？」

私「こうなる。

${~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~[A]^{1)} ~~~~~~~~~~~~~[A]^{2)} \\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\rule{1.5cm}{0.3mm} 1 ~~~~~ \rule{1.5cm}{0.3mm} 2\\ ~~[A \vee A]^{3)} ~~~~A \Rightarrow A ~~~~~~~A \Rightarrow A \\ \rule{6cm}{0.3mm} \\ ~~~~~~~~~~~~~~A\\ \rule{4cm}{0.3mm} 3\\ ~~~~(A \vee A) \Rightarrow A\\ }$

生きている仮定は、ひとつもないから、これは、私達の、 ${\mathbf{NK}}$ の定理だ。ただ、私達がまだ、 ${\mathbf{NK}}$ の推論パターンのうち、全部を使っていないだけだ。いずれ、使えるようになる」

麻友「ああ、こういうことを、したかったの。もっと早く、この演繹図だか、証明図だかを、見せて欲しかったわ」

私「いや、以前だったら、とても理解できなかっただろうと思うよ」

結弦「Ｓ２．は、本当に，楽勝だよ。

Ｓ２． ${A \Rightarrow (A \vee B)}$ は、

${~~~~~~~[A]^{1)}\\ \rule{4cm}{0.3mm}\\ ~~ A \vee B\\ \rule{4cm}{0.3mm}1\\ ~~A \Rightarrow ( A \vee B )\\ }$

と、証明できる」

麻友「ああ、分かるわ。私、太郎さんに、しごかれたということね」

若菜「Ｓ３．も、同様ですね。

Ｓ３． ${(A \vee B) \Rightarrow (B \vee A)}$ 　は、

${A \vee B}$ から、・・・。あれっ？」

私「若菜。当たり前そうでも、ブルバキが、公理にするってことは、何か理由があるんだよ」

若菜「 ${\vee}$ の推論で、今、重要なのは、『 ${\vee}$ 除去』だけど、・・・」

私「あの『 ${\vee}$ 除去』は、

${~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ [A]^{1)} ~~~~~~~~~~~~~~~~~[B]^{2)}\\ \\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\downarrow~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\downarrow \\ \\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ C ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~C\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\rule{2cm}{0.3mm} 1 ~~~~~~~\rule{2cm}{0.3mm} 2 \\ A \vee B~~~~~~~~~~~~~~A \Rightarrow C ~~~~~~~~~~B \Rightarrow C \\ \rule{8cm}{0.3mm}\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~C\\ }$

という使い方ができる」

若菜「分かった。

${~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ [A]^{1)} ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~[B]^{2)}\\ \\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\rule{2cm}{0.3mm} ~~~~~~~~~~~~\rule{2cm}{0.3mm} \\ \\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ B \vee A ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~B \vee A\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\rule{2cm}{0.3mm} 1 ~~~~~~~~~~~~\rule{2cm}{0.3mm} 2 \\ [A \vee B]^{3)}~~~~~~~~A \Rightarrow B \vee A ~~~~~~~~~~B \Rightarrow B \vee A \\ \rule{8cm}{0.3mm}\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~B \vee A \\ \rule{8cm}{0.3mm}3\\ ~~~~~~~~~~~(A \vee B) \Rightarrow (B \vee A) }$

と、できた。本当に、数学って、アイディアの勝負ね」

私「若菜も、分かってきた」

結弦「後は、

Ｓ４． ${（A \Rightarrow B ） \Rightarrow (（ C \vee A）\Rightarrow （C \vee B）)}$

だけだな。ようし、攻略するぞ」

私「ちょっと、ストップ。これは、かなり手強いはずだ。見かけからして、今までの３つより数段難しそうだし、恐らく、これを、証明するには、ハイライトと言った、『二重否定』推論が、必要になるだろう」

結弦「どうして、そんなことまで、分かるの？」

私「ブルバキが、古典論理を使っているのは、分かっている。だが、Ｓ１．から、Ｓ３．まででは、『 ${\neg}$ 』を、使わずに、証明できた。ブルバキが、その後推論を続けて行くには、どこかで、『 ${\neg}$ 』の推論を、補充しなければならないはずだ。考えられるのは、Ｓ４．で、取り込むという可能性だけだ」

若菜「じゃあ、『二重否定』推論で、証明すればいいじゃないですか」

私「私が、この連載で、３人に伝えたかったことは、『数学はひとつ』だけど、数学から外に出てみて、数学って、捉え方が、色々あるんだ。こういう風に捉えると、違った結論になったりすることも、あるんだ。という驚きを、味わって欲しいということだった」

麻友「それと、『二重否定』は？」

私「直観主義論理では、『二重否定』推論は、使えない。直観主義論理での、『 ${\neg}$ 』は、『 ${\neg A}$ 』とは、『 ${A \Rightarrow B}$ 』ということであり、『 ${A}$ が成り立つならば、何でも好きな、 ${B}$ が、成り立ってしまうよ』、ということ。その何でも好きな ${B}$ の中には、 ${C \wedge \neg C }$ みたいな、矛盾も、導かれてしまうということなんだ」