相対性理論を学びたい人のために

まだ一度も相対性理論を勉強したことのない人は、何か一冊相対性理論の本を読みかじってみて、なぜこんなことが?という、疑問を持ってからこのブログに来てください。ブログの先頭に戻るには表題のロゴをクリックしてください

数学基礎概説(その2)

 現在2021年6月17日20時21分である。(この投稿は、ほぼ3540文字)

麻友「とうとう、太郎さんの人生を救ったという本を、始めたわね」

私「アマゾンの私のレヴューを、読んだね」

若菜「これ、



 私の数学の危機を救ってくれた本

 この本で私は、人生を救われました。
 大学時代、数学で正しいということがどういう事なのか分からなくなった時、この本が救ってくれました。
 この本の2章まで読んだ後、安井邦夫著「現代論理学」を読み、その後3章以下を読むのがベストでしょう。数学で何が正しくて、何が正しくないのか分からなくなった人への福音書です。
 集合論のところは、岩波基礎数学選書の彌永 昌吉 彌永 健一共著「集合と位相」を一度読んでおくと、ギャップが埋めやすいかも知れません。
 すべての集合の集まりを考えられる、ベルナイス・ゲーデル集合論が展開されているところが特徴です。ZF(ツェルメロ・フレンケル)集合論よりも記述が厳密になります。
 BG集合論が展開されている本は珍しいので、この本は貴重です。

 この本を読み終わってから10年以上経つ。でも、今でも私は、現在自分が生きていられるのは、この本のお陰だと思う。それで、このレビューを更新することにした。まず、彌永の「集合と位相」という絶版になっている本を挙げたところを改め、松坂 和夫著 「集合・位相入門」でも大丈夫だと書いておく。
 それから、この本は余り売れていないので、初版のままだ。誤植で困った人は、私が、Googleで「相対性理論を学びたい人のために」と検索すると引っ掛かるブログを書いているので、そちらにコメント下されば、全部の誤植リストをお送りする。
 大芝さんにはその誤植リストを送ってあるのだが、第2刷の声がかからないので、なおせないのである。現在2015年1月18日これで更新は完了した。



もの凄く宗教みたいで、数学の本のレヴューとは思えないほどです」

結弦「お父さんに取っては、数学と物理学と音楽が、信仰だからなあ」

麻友「ちょっと、覗いてみますか」

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若菜「お父さんのノート。確か、これより前に、5冊目までで挫折した、ノートがあるんですよね」

私「いや、それだけでなく、5回くらいノート作って、始めている」

結弦「決意文」

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若菜「21世紀に生まれた私達には、1999年12月10日という日付だけで、時代を感じてしまいますね」

麻友「今も、『自然科学の良心』なのよね。太郎さんは」

結弦「だったら、新型コロナウイルス、倒せ」

私「そうだよな、全くだ」

麻友「次のページ」

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若菜「本の扉も、写しているんですね」

結弦「ブルバキのときも、そうだった」

私「まえがきも、写している」

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若菜「お父さんには、いつも、時間はあったのですね」

私「あの頃は、会社で働いていたから、今ほどの時間はなかった」

麻友「太郎さんが、この本の第3章の、完全性定理の証明が、証明になってないと言ってたけど、大芝猛さんも、第2章の具体的アルゴリズムを与える、に対して、第3章は、解説を行う、となっているのだから、仕方なかったんじゃない?」

私「後から考えれば、そうかも知れない。次のページ」

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麻友「もう難しくて、分からない」

私「そうかもな。一応、次ページも、載せておくよ」

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若菜「凡例も、写してあるんですね」

私「凡例の最後は、

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ここまで」

麻友「一応、この本を始めたということで、太郎さんとしては、満足でしょう。でも、このブログで良かったのかしら?」

私「これが、メインのブログだから、読者層も厚い。思いっきり論じられる」

若菜「この本の目標は、『代数学の基本定理』の証明を、記号論理学を用いて、ベルナイス・ゲーデル集合論の公理から、証明することですね。ところで、お父さんが、最近図書館から借りてきて、見ていた、以下の本では、

田中一之『数学基礎論序説』(裳華房


{\mathrm{RCA_0}} という体系で、『代数学の基本定理』が、証明されています。どっちが、凄いんですか?」

私「お前、もの凄く、勉強しているな。{\mathrm{RCA_0}} なんて、私、2012年頃(40歳)まで、知らなかったぞ。ところで、{\mathrm{RCA_0}} というのは、2階算術という別な公理系だ。私達の公理系は、集合論だから、もの凄く強力。つまり、色々なことを、証明できる。だから、『代数学の基本定理』を証明できるのは当たり前。ただ、当たり前だけど、本当に証明を、記号だけで、日本語の説明抜きで、証明するというのは、大変だから、それをやった、大芝猛さんは、立派。それに対し、{\mathrm{RCA_0}} から、『代数学の基本定理』を、証明するというのは、ここまで武器を減らしても、証明できるという試み。集合論の無矛盾性も、一応数学者の間では、信じられているけど、証明はされていない。一方、{\mathrm{RCA_0}} は、余りにもちょっとのことしか証明できないので、まず矛盾することはないだろうと、数学者達は、考えている。その {\mathrm{RCA_0}} で、『代数学の基本定理』が、証明できるというのだから、それは、モニュメンタルな成果だ」

若菜「お父さんは、{\mathrm{RCA_0}} での、『代数学の基本定理』の証明は、まだ理解してない?」

私「当分、理解しないと思う。{\mathrm{RCA_0}} は、私の数学では、ないから」

麻友「太郎さんの数学は、{\mathbf{NK_{\in}+BG}} なのだったわね」

私「今、圏論を、勉強してる。もうちょっと、研究が進んだら、変わるかも、知れないけど」

若菜「最後に聞いておきたいのですけど、{\mathrm{RCA_0}} は、何の略ですか?」

私「{\mathrm{Recursive~Comprehension~Axiom~_0}}再帰的内包公理{{}_0})の略で、再帰的というのは、帰納的というのと、ほとんど同じで、『こういうものを、集合と認めます。そして、こういうものが、集合と認められていれば、こういうものも、集合と認められていることになります。このようにして認められたものだけが、集合です』みたいにして、コンピューターでも、扱える集合だけ考えるというような制限なんだ」

結弦「0が、付いているのを、強調しているけど」

私「この0はね、使って良い数学的帰納法に、制限があるんだ。具体的には、{\sum^0_1}{\varphi(n)} (シグマ ゼロ いち しき ファイえぬ)について、

{\varphi(0) \wedge \forall n (\varphi(n) \rightarrow \varphi(n+1)) \rightarrow \forall n \varphi (n)}

という数学的帰納法で、{n} に、自然数は、入れても良いけど、自然数の集合なんかは、入れられないということなんだ」

若菜「つまり、集合論のように、自由なことは、できないと」

私「まあ、そういうことだね」

麻友「太郎さんが、圏論を研究したら、どう変わるのか、見てみたいわ」

私「そんなに、先ではないと思う。楽しみにしてて」

麻友「朝になっているけど、夜は寝たの?」

私「22時頃から、9時4分まで、眠った」

麻友「それくらい寝れば、安心ね」

私「じゃ、解散」

 現在2021年6月18日11時10分である。おしまい。