京都大学の演義の問題 - 相対性理論を学びたい人のために

　現在２０２１年８月２２日２０時３９分である。（この投稿は、ほぼ８５９２文字）

私「どうも、駆け落ちが長引いて、演義の問題を見せるという約束が、反故になりそうなので、ここで、一気に見せることとする」

若菜「分からないなりに、どれくらい分からないのか、見てみたかったです」

結弦「大学院入試より難しいって、どういうことですか？」

私「既に見せたのも含めて、きちんと見せよう」

　１９９３年の幾何学演義問題No.１（４月初め）から

１． ${K}$ を ${\mathbb{R}}$ （実数体）， ${\mathbb{C}}$ （複素数体）のいずれかとし、 ${K}$ 上の ${n \times n}$ 行列全体 ${M(n,K)}$ を ${K^{n^2}(\simeq \mathbb{R}^{n^2},\mathbb{R}^{2n^2})}$ と同一視して自然な位相を入れる。以下のものは ${M(n,K)}$ の部分位相空間として、第二可算公理を満たす局所コンパクトハウスドルフ位相群である。（ことを、示せ）

　 ${\mathrm{GL}(n,K)=\{A \in M(n,K)|Aは正則\}}$ ,
　 ${\mathrm{SL}(n,K)=\{A \in M(n,K)|\det A=1\}}$ ,
　 ${\mathrm{O}(n),\mathrm{U}(n)=\{A \in M(n,K)|{}^t \overline{A}A＝E\}}$
　 ${\mathrm{SO}(n)=\mathrm{O}(n) \cap \mathrm{SL}(n,\mathbb{R}),\mathrm{SU}(n)=\mathrm{U}(n) \cap \mathrm{SL}(n,\mathbb{C}),}$
　 ${\mathrm{Sp}(n, K)=\{A \in M(2n,K)|{}^t AJA=J \}（但し J=\begin{pmatrix}\displaystyle O & -E\\ E & O　\end{pmatrix}）}$

２．i）上の位相群の中でコンパクトなものはどれか。
　　ii）上の位相群の連結成分の個数を調べよ。

　次に、

　１９９３年の幾何学演義問題No.５（５月末）から

１． ${M}$ を ${C^{\infty}}$ 多様体。 ${C^{\infty} (M)=C^{\infty} (M,\mathbb{R})}=\{M \rightarrow \mathbb{R}:C^{\infty} 写像 \}$ とする。 ${x \in M}$ に対して ${T_x M \subset C^{\infty}(M)^{\vee}=\mathrm{Hom} (C^{\infty}(M),\mathbb{R})=\{C^{\infty} (M) \rightarrow \mathbb{R}:線形写像\}}$ を ${T_x M=\{v \in C^{\infty}(M)^{\vee}|v(fg)=v(f)g(x)+f(x)v(g) ~(\forall f,g \in C^{\infty} (M))\}}$ で定義する。（ ${M}$ の ${x}$ における接空間。）

　（ⅰ） ${T_x M}$ は ${C^{\infty}(M)^{\vee}}$ の部分ベクトル空間になることを示せ。

　（ⅱ） ${c:(-\varepsilon,\varepsilon) \rightarrow M(\varepsilon>0)}$ を ${C^{\infty}}$ 写像で ${c(0)=x}$ なるものとする。 ${\dot{c}:C^{\infty}(M) \rightarrow \mathbb{R}}$ を ${\dot{c}(f) =\displaystyle \frac{d}{dt}f(c(t)) \biggl|_{t=0}}$ で定義すると ${\dot{c} \in T_x M}$ となることを示せ。

　（ⅲ） ${(U,\varphi=(x^1,\cdots,x^n))}$ を ${x}$ のまわりの局所座標とする。（以下特に断らない限り ${x}$ のまわりの局所座標は ${\varphi (x)=(0,0,\cdots ,0) \in \mathbb{R}^n}$ を満たすものとする。）十分小さな ${\varepsilon>0}$ に対し ${c_i:(-\varepsilon,\varepsilon) \rightarrow M}$ を ${c_i(t) = \varphi ^{-1} (0,\cdots,0,\stackrel{\stackrel{i}{\smile}}{t},0,\cdots,0)}$ で定義すると、 ${\{\dot{c}_1,\cdots,\dot{c}_n \}}$ は ${T_x M}$ の基底になることを示せ。 ${\dot{c}_i}$ を $\biggl(\frac{\partial}{\partial x^i} \biggr)_x$ と書く。

　最後に、

　１９９３年の幾何学演義問題No.９（６月末）から

１． ${F,G:(\mathrm{Vect}_{\mathbb{R}}^{op})^a \times (\mathrm{Vect}_{\mathbb{R}})^b \rightarrow \mathrm{Vect}_{\mathbb{R}}}$ を共変関手とする。任意の ${(\underline{V},\underline{W}) \in (\mathrm{Vect}_{\mathbb{R}}^{op})^a \times (\mathrm{Vect}_{\mathbb{R}})^b}$ に対し線形写像 ${\eta (\underline{V},\underline{W}):F(\underline{V},\underline{W}) \rightarrow G(\underline{V},\underline{W})}$ が定まり、任意の ${\underline{f} \in \mathrm{Hom}(\underline{V'},\underline{V}),\underline{g} \in \mathrm{Hom}(\underline{W},\underline{W'})}$ に対し、 ${G(\underline{f},\underline{g}) \circ \eta (\underline{V},\underline{W})=\eta (\underline{V'},\underline{W'}) \circ F(\underline{f},\underline{g})}$ が成立したとする。（すなわち ${\eta}$ は ${F}$ から ${G}$ への自然変換。）

　（i） ${E^i,F^j \rightarrow M~(1 \leqslant i \leqslant a,1 \leqslant j \leqslant b)}$ をベクトル束とする。 ${\eta (\underline{E},\underline{F}):F(\underline{E},\underline{F}) \rightarrow G(\underline{E},\underline{F})}$ を ${\eta (\underline{E},\underline{F})_x = \eta (\underline{E_x},\underline{F_x})}$ で定義すると ${\eta (\underline{E},\underline{F})}$ は準同型になることを示せ。

　（ii）ベクトル束の準同型 ${f_i :'E^i \rightarrow E^i,g_j:F^j \rightarrow 'F^j}$ に対し ${G(\underline{f},\underline{g}) \bullet \eta (\underline{E},\underline{F})=\eta (\underline{'E},\underline{'F}) \circ F(\underline{f},\underline{g})}$ が成立することを示せ。（すなわち ${\eta (\underline{E},\underline{F})}$ は ${F(\underline{E},\underline{F})}$ から ${G(\underline{E},\underline{F})}$ への自然な準同型である。）

２．次のベクトル束の間の自然な同型が存在することを示せ。

　（i） ${E \cong (E^{\vee})^{\vee}}$

　（ii） ${\mathrm{Hom}(E \otimes F,G) \cong \mathrm{Hom}(E,\mathrm{Hom}(F,G))}$

　（iii） $\wedge^k(E \oplus F) \cong \bigoplus_{i+j=k} \wedge^i E \otimes \wedge^j F$

　以上。

麻友「うわーっ」

若菜「『示せ』って書いてあるから、問題であるのは分かるけど、１ミリも、分からない」

結弦「お父さん。これが大学院入試より難しいっていうのを、ちょっと、解説してよ」

私「まずだなあ、ここにある問題のうち、最後の６月末の問題以外は、全部、数学科なら誰でも持っている、

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に、説明してあることなんだ」

若菜「えっ、じゃあ、もしかして、お父さんでも、解ける？」

私「問題、 ${\TeX}$ で打ってて、多分こうやって解くんだろうなあ、と思ったりしてた」

結弦「それが、４月と５月の。それで、６月末のは？」

私「出だしに、

${F,G:(\mathrm{Vect}_{\mathbb{R}}^{op})^a \times (\mathrm{Vect}_{\mathbb{R}})^b \rightarrow \mathrm{Vect}_{\mathbb{R}}}$ を共変関手とする。

と、書いてあるだろ。この関手（かんしゅ）って、見覚えないか？」

麻友「『圏と関手』川口周さんと、１年生で、『代数概論』の目標にしようと言いながら、ホモロジーのところは、飛ばさざるを得なかったと、『１から始める数学』のブログの『現代論理学（その２７）』で、書いてある、まさにその圏論よね」

若菜「ああ、ブルバキを、新しく、圏論の言葉で、書き直すのが、１つの目標とか。とにかく、圏論というものは、難しいんだって、聞かされてきましたね」

結弦「大学院入試で、圏論は、出るの？」

私「もしかしたら、出るかも知れない。ただ、良く考えてみてよ。６月末の段階で、大学院入試の一番難しい問題かも知れないものが、もう問題として、出てるんだよ。私は、７月以降は、どんどん精神を病んで、演義の問題すら受け取らなかったので、分からないけど、演義は、１年通しであるんだ。しかも、実は、これは幾何学演義だが、他に、代数学演義、解析学演義Ａ（実解析）、解析学演義Ｂ（複素解析）と、全部で、４つあるんだ」

若菜「落ちこぼれないの？」

私「まあ、ここまでは、建前だ。本音を言うと、毎週毎週、出される問題６問くらいを、全部解いてきていたのは、望月拓郎君ただひとりだった。理学部数学科でも、１週間に、１問解ければ、めっけもの。１問も解けなくて、望月君の書く黒板の式を、写しているだけのひとも、何人もいた」

麻友「うふふ、それでー、太郎さんは、どうだったの？」

私「聞きたいだろうなぁ。私が、手を引っ張ってくれてたんだなあ、みたいなことを、書いたけど、実は、３回生の演義のガイダンスは、受けた。そして、私は、幾何学の分野だから（分類として、上野健爾さんは、複素多様体論で、多様体というのは、幾何学なんだ。『一般相対性理論は、幾何学だ』と、言えるのは、多様体を用いて議論をするからだ。）幾何学の問題を、解こうとした。２回生のときから『多様体の基礎』を、読んであり、２回生の後期で、一般相対論で、優を取って、自信があったんだ」

若菜「いいムードですねぇ」

私「ところがね、その最初にもらった問題の１番最初、若菜たちも見てごらん」

結弦「えっと、あの、『第二可算公理を満たす局所コンパクトハウスドルフ位相群である。（ことを、示せ）』って、言うの？」

私「第二可算公理も、局所コンパクトも、ハウスドルフも、位相群も、全部、専門用語なんだけど、一応知ってるけど、それを応用して、具体的に与えられた問題を解く、ということは、それまでしてなかった。ひと言で言って、演習不足なんだけど、問題が、全然解けない」

若菜「あれっ、自信があったのに。そもそも、一般相対論では、試験受けて、優もらっているのに」

私「物理学で使う、数学の使い方と、純粋に数学をやるときの数学の使い方って、かなり、違うんだ。得意だったはずの、多様体の問題が解けず、落ち込んだ。例えば、

２．i）上の位相群の中でコンパクトなものはどれか。

と、２番にあるけど、昔麻友さんに『そのうち出てくる』なんて言った、コンパクトなんだけど、私は、コンパクトの定義も知ってるんだけど、５つのうちのどれが、コンパクトか、証明の仕方が、分からなかった」

麻友「５つって、

の５つのことなのね？例えば、

　 ${\mathrm{GL}(n,K)=\{A \in M(n,K)|Aは正則\}}$

というのが、一つの位相群だと、言ってるのね」

私「あっ、分かってなかったか」

若菜「お父さん。そもそも、群という概念は、『数Ⅲ方式ガロアの理論』を読み終わるまで、使っちゃいけないんじゃ、なかったでしたっけ？」

私「そう。そうなんだけど、大学の数学科で、群、使いませんって、水飲めませんみたいな、ことになるから、ある程度は、使わして」

若菜「それより、『『数Ⅲ方式ガロアの理論』のガイドブック』のブログ、もっと進めて欲しいですね」

麻友「本当は、一番欲しいのは、医学機器なのよね」

私「えっ、随分前の話を」

結弦「お父さんが、医学機器を作るために、分子生物学を勉強して、その勉強の成果が挙がって、免疫の問題が解決し、新型コロナウイルスが、消える。というシナリオになってるのに、お父さんが、分子生物学勉強しないから」

私「えーっ、道理で、新型コロナウイルスが、いつまでも蔓延って、なくならないわけだな。そんな、今更、どうすれば良いんだ？」

麻友「ちゃんと、責任取れば？」

私「麻友さん、全然会ってくれないから、土曜日の朝日新聞のテレビ欄に、麻友さんにちょっと似た顔の女の人（浜辺美波さん）が、写ってたので、『もしかして、本人？』と、日テレの２４時間テレビ録画して、昨日、『生徒が人生をやり直せる学校』見たくらい」

渡辺麻友（わたなべ　まゆ）身長１５６ｃｍ
浜辺美波（はまべ　みなみ）身長１５６ｃｍ

私「５０パーセントだけ、麻友さんに似てた」

若菜「そういう風に、女の人への愛情を、数値で表したりするから、女の人から、大事にされないんです。お父さんは、ボケてる積もりかも知れませんが、ツッコミようがありません」

結弦「２０文字中１０文字同じだって、言いたいんだろうけど、そんな考え方、普通の人しないものなあ」

麻友「責任は、取るの？」

私「もし、私が、新型コロナウイルス、倒せたら、一緒になってくれる？」

麻友「なって、あげるわ」

結弦「えっ、聞いちゃったぞ」

若菜「証人ですよ。私達」

麻友「さっきのいいムードだった話の続きは？」

私「問題が解けなくて、そんな落ちこぼれなんて、経験ないから、『じぇーんじぇん、分かりません。先生なんとかして～』という武器があることも知らず、落ち込んで、１回生向けの教科書を、復習したりしているうちに、１週間経っちゃって、演義に出たら、他の子が、なんでもなく、解いている。解いて見せてくれるのを見れば、定義は知っている私だから、何だ、当たり前じゃないか、みたいに思える。来週は、全部解けるだろう、と思って、新しい問題をもらったのを見ると、今度は、正規部分群とか、連結とか、定義は知っているけど、問題で使ったことのないものが、登場して、また、どうしたら、いいんだろう？　と、頭を抱えて、１週間経っちゃう。そんなこと、３週間もやったら、演義の時間に、行くのが恐くなっちゃって、サボるようになる」

麻友「えっ、それ、典型的な５月病じゃない。太郎さん、そんなことのために、才能ふいにしたの？」

私「５月病と言っても、良いかも知れない。だが、５月病なら、普通は、なんとかなる。ところが、その一方で、上野健爾さんのゼミの方も、段々似たようなことになる。先生は、『線型代数を勉強してきてください』と言ったが、『線型代数入門』を勉強してあるから大丈夫だと思っていたら、実は、コーディネートフリーな（基底によらない）線型代数で、射影空間、グラスマン多様体、フラッグ多様体などの話になる。私は、『多様体の基礎』を読んであるから、射影空間や、グラスマン多様体は、分かっているのだが、先生は、それの定義は、サラッと済ませ、実際にグラスマン多様体などをつかって、何かをやらせようとする。今でこそ分かるのだが、数学の中で、最も難しいと言われる、代数幾何学というものは、主な仕事が、射影空間（グラスマン多様体の一種）の中にある、部分多様体が、どう変形できるだろうか？　というようなことを、調べる学問なのである。最もモニュメンタルな結果の一例を挙げるなら、リンク集の『私の文献』フォルダに納めてある『広中の特異点解消定理の論文』などが、挙げられよう」