問題１９，２０出題 - 相対性理論を学びたい人のために

　現在２０２４年１０月１２日１時２０分である。（この投稿は、ほぼ２９５４文字）

麻友「変な時間ね」

私「寝そびれたんだ。ちょっとパソコンを触って、眠くなったら寝る」

結弦「久し振りに、問題だね」

若菜「どんな問題でしょう」

私「こうしてみた」

　問題１９

　時間 ${t}$ の関数、 ${T=\varphi (t)}$ が、あるとしよう。例えば適当に、 $\varphi(t)=t^6+e^{t^2}+\frac{1}{t}-\log{t}$ など。ここで、 ${\mathbb{R}^3}$ が、３次元の空間（実数直線が、３本直交しているという意味）だとして、時間と共に、３次元の空間を動いていく点を、考える。 ${xyz-}$ 座標を、 ${(x,y,z)=(X(t),Y(t),Z(t))}$ と、３つの関数で、表されるように、その点が、動くとする。さて、３次元の各点には、温度が分布しているとする。そうすると、ある時刻 ${t}$ に、その点のいる場所での、温度が、 ${T=\varphi (t)}$ と、表されても、良さそうである（そういう関数を、 ${T=\varphi (t)}$ とするのだ）。このとき、 $\frac{dT}{dt}=\frac{d\varphi (t)}{dt}$ は、その点が移るに連れての、感じる温度の時間での微分である。
　さて、ここからが、本題である。
　 $\frac{dT}{dt}=\frac{d\varphi (t)}{dt}$ で、そのそれぞれの点の各 ${xyz-}$ 座標が、 ${(x,y,z)=(X(t),Y(t),Z(t))}$ なのであるから、ちょっと細工をして、 ${T=\varphi ((X(t),Y(t),Z(t)))}$ と、できないかと、考える。厳密には、 ${\varphi}$ は、 ${t}$ の関数だったのであるから、 ${\varphi(t)=\varphi_0((X(t),Y(t),Z(t)))}$ と、新しい関数 ${\varphi_0(x,y,z)}$ を、考えることになる。結局 ${\varphi(t)=\varphi_0((X(t),Y(t),Z(t)))}$ を、 ${t}$ で、微分したとき、どうなるかを知りたい。
　初めに書いたように、 $\varphi(t)=t^6+e^{t^2}+\frac{1}{t}-\log{t}$ であるから、これを、 ${t}$ で、微分すれば、良いのだ。
　ところで、 ${\varphi(t)=\varphi_0((X(t),Y(t),Z(t)))}$ であったから、例えば、 $X(t)=t^6+e^{t^2},Y(t)=\frac{1}{t},Z(t)=-\log{t}$ という場合、を、考えよう。一変数の場合（今、 ${x}$ 軸だけ考えよう）、合成関数の微分法の、一変数の場合が適用できるか試したい。合成関数の微分法とは、 $\frac{dT}{dt}=\frac{dT}{dx}\frac{dx}{dt}$ と計算できるというものであった。左辺が、 $\frac{dT}{dt}=(t^6+e^{t^2})’=6t^5+e^{t^2} \times 2t ~~~~~(\sharp)$ となる。一方、右辺のように、 ${x}$ -軸を混ぜて考える場合、 $\frac{dT}{dt}=\frac{dT}{dx}\frac{dx}{dt}$ の右辺を計算したいのだ。 $T=X(t)=t^6+e^{t^2}$ だから、厳密には、 ${x}$ と、 ${X}$ という違いはあるが、意味を汲んで、 $\frac{dT}{dx}\frac{dx}{dt}=\frac{dT}{dX}\frac{dX(t)}{dt}$ と書き換えられて、 $T=X(t)$ だから、 $\frac{dX}{dX}\frac{dX(t)}{dt}=1･\biggl(\frac{d(t^6+e^{t^2})}{dt}\biggr)=6t^5+e^{t^2} \times 2t ~~~~~(\flat)$ となり、 ${(\sharp),(\flat)}$ より、 $\frac{dT}{dt}=\frac{dT}{dx}\frac{dx}{dt}$ が、成り立っていることが、確かめられる。合成関数の微分法の１変数の場合の具体例を、１つ確かめたことになった。分数のように、約分するだけで証明できたとして、良いじゃないか？　と、考えている人も多いだろう。
　一変数の場合は、それで、済まされる。だが、ここで、 ${xyz-}$ 座標を、考えているように、多変数の場合は、もっとややこしくなる。 $\frac{dT}{dt}=\frac{\partial T}{\partial X}\frac{d X(t)}{dt}+\frac{\partial T}{\partial Y}\frac{d Y(t)}{dt}+\frac{\partial T}{\partial Z}\frac{d Z(t)}{dt}$ と、約分したら、３倍になるのではないかと思えるような、式になる。これが、連鎖律（れんさりつ）(chain rule)と呼ばれる定理である。
　上で、意地悪して、 $\frac{d(e^{t^2})}{dt}=e^{t^2} \times 2t$ の証明をしなかったが、この証明は、連鎖律を用いてなされる。今回の問題では、連鎖律が成り立つことを、証明せよ、とまでは、言わない。実際に、３次元なら、３つ足したものが、１個の微分と、一致する例を、作ってみよ。というのが、問題である。

　問題２０

　こちらは、軽い問題とする。アンドレ・ヴェイユの著作に、“Basic Number Theory”（数論の基礎）というものがある。非常に有名な本なのだが、私はまだ読めない。この本の中では、整数と言った場合、ある微妙な条件を満たす数を指す。そして、普通の整数は、有理整数と、呼ばれる。有理整数より意味の広い整数は、何と呼ばれるのか？ネットで調べても良い。

　おまけの問題

　アンドレ・ヴェイユ自伝