現在2006年9月14日5時09分です。
今日の3時頃、新しい新鮮な発見があった。
なぜ私達は、3次元の世界に住んでいるのか。その本当の理由は分からない。だが、最も自然な世界として、空間3次元、時間1次元の、4次元の世界がある、ということに気付いたのだ。
ファインマンとヒッブスの「量子力学と経路積分」の最後のページに、クオータニオンを用いれば、経路積分で、スピンが扱える、と書いてあって、ピンときたのだ。
この世界は、クオータニオン、すなわち四元数一次元の多様体であり、私達の体は、その中の一つ一つの点からなってるのだ。
つまりこういう事だ。
時間をtとし、空間の座標が、(x,y,z)の点は、
q=t+xi+yj+zk
と表される、四元数の世界の一点として表される。
これは、平面上の点、(x,y)が、複素平面という世界の
z=x+yi
と表されるのに似ている。
ここで、四元数の四則演算を、説明しておく。i,j,kは、虚数単位と同じように振る舞うと思って良い。だから、
(x+yi)+(a+bk)=(x+a)+yi+bk
であり、
(a+bk)(c+dk)
=(ac-bd)+(ad+bc)k
となる。
問題は、i,j,kのかけ算が混じった場合だ。これは
i2=j2=k2=ijk=-1
ij=k,jk=i,ki=j
と定める。
約束事はこれだけである。
ijk=-1,ij=k
だけ覚えて、後は、i,j,kをぐるぐる回せばよい。
ところが!
ここに重要な注意事項がある。それは、i,j,kの積は互いに交換してはいけないということだ。
つまり、四元数体は、(可換)体ではなく、斜体なのだ。
乗法が可換でなくても、大部分の解析学は利用できる。だから、私達の世界が、四元数一次元(しげんすういちじげん)の多様体だとしても、おかしな事は起こらない。
時間に一次元あるので、私達の世界は、見えているところは3次元なのである。
私達の世界が、四元数多様体だとすると、ローレンツ変換は、2点A(t,x,y,z)とB(t’,x’,y’,z’)について、
a=t+xi+yj+zk
b=t’+x’i+y’j+z’k
と、四元数が定まり、
a-b=(t-t’)+(x-x’)i+(y-y’)j+(z-z’)k
について、(a-b)2
の実数部分
Re{(a-b)2}=(t-t’)2-(x-x’)2-(y-y’)2-(z-z’)2
が、不変な変換ということになる。
これは、今までにも、固有距離を不変にする変換、といわれてきたけれども、実際やってみると、確かにそうなっていることが分かる。
更に、四元数体を使うところの強みは、固有距離を不変にする変換(つまりローレンツ変換)を、2回続けると、一つのローレンツ変換と、空間軸についての回転の合成になることが分かる。
ここで、ローレンツ変換と空間回転の合成を、広義ローレンツ変換と呼ぶことにすると、引き続いた2回の広義ローレンツ変換の結果は、一つの広義ローレンツ変換であることが分かる。
ローレンツ変換を繰り返すことで、空間回転が生まれることは、1927年にL.H.トーマスによって発見され、特に原子の周りを回る電子のスピンについて、トーマスの歳差運動と呼ばれている。
これが、自動的に出てくるのだからすごい。
では、一般相対性理論はどうなるのか。四元数一次元の多様体の構造を決定する方程式は、アインシュタイン方程式のように、表せるのか?
無限大の発散の解決は?
果たして、四元数がどこまで有効なのか、まだ私にも分からない。
参考文献をあげておこう。
である。
また徹夜をしてしまった。物理や数学のことになると、面白くて途中でやめられない。
もう寝ることにする。
現在2006年9月14日7時28分です。おしまい。