現在２００６年３月１９日０時２３分です。
前回の３月１７日の投稿で書いたことは、更に発展した。
まず、私が構成したと思った、善良超フィルターＦは、フィルターの定義を満たさない。フィルターの定義とは、次のようなものである。
１．１．１ 定義
Ｉを空でない集合、Ｐ（Ｉ）をＩの冪集合、すなわちＩの部分集合の全体とする。Ｐ（Ｉ）の空でない部分集合ｆが次の三条件をみたすとき、ｆをＩ上のフィルターと言う：
ａ）¬（φ∈ｆ） すなわちｆは空集合を含まない
ｂ）Ａ⊂Ｉ，Ｂ⊂ＩのＡ，Ｂについて、
Ａ∈ｆ，Ａ⊂Ｂ ⇒ Ｂ∈ｆ
ｃ）Ａ，Ｂ∈ｆ ⇒ Ａ∩Ｂ∈ｆ
以上、「超積と超準解析」９ページより。
私の構成したＦはＯｎ上のものだったので、集合でない（つまり真部類）ことははっきりしていたが、それは余り問題ではなかった。問題なのは、
Ａ∈ＦかつＡ⊂ＢならばＢ∈Ｆ
が満たされないことである。例えば、ＢとしてＯｎ自体を取れば、これは集合ではないから、部類Ｆの元にはならない。
そこで、フィルターの定義自体を変えなくてはならない。
ベルナイス・ゲーデルの集合論では、Ａが集合であるということをｍ（Ａ）と表す。
そこで、上のフィルターの定義のうち、ｂ）を次のｂ’）で置き換えなくてはならない。
ｂ’）Ａ⊂Ｉ，Ｂ⊂ＩのＡ，Ｂについて、
Ａ∈ｆ，Ａ⊂Ｂ，ｍ（Ｂ）⇒ Ｂ∈ｆ
集合でないものについて、その冪集合のようなものを考えられるのだろうかと、疑問に思っている人のために一応書いておくと、部類Ａに対し
Ｐ（Ａ）＝｛Ｘ｜ｍ（Ｘ）∧Ｘ⊂Ａ｝
として、ベキ部類と呼ぶものが、定義される。これは存在が保証されている。
さて、上のようにフィルターの定義を変えてしまって大丈夫なのかというと、実は、余り大丈夫ではない。
次の難点は、善良超フィルターを作ろうとしているので、超フィルターの定義が怪しくなる。
実際、Ｉ上の超フィルターｆの定義は、それがフィルターであって、Ｉの任意の部分集合Ａについて、Ａ∈ｆであるかＩ－Ａ∈ｆが成り立つことである、と言える。
しかし私達は、Ｏｎ上の超フィルターを考えているのだが、Ｏｎが集合でないことにより、Ｏｎ∈Ｆではない、従って、Ｏｎ－Ｏｎ＝φがＦの元となってしまう。しかし、フィルターの定義により、空集合はＦの元ではない。
これは深刻な事態である。実は、超準モデルを作るとき、超フィルターを使うのは、この性質が成り立つことが、本質的に効いているからなのだ。
そこで、救済策を出す。Ｏｎ上で私達が作ったＦについて、Ｏｎの任意の部分集合Ａについて、Ａを含む順序数αについて、
Ａ∈Ｆまたはα－Ａ∈Ｆ
が成り立つとき、Ｆを部類としての超フィルターと呼ぶ、と定義し直さなくてはならない。
こう定義したものが、本当に飽和モデルを作るのかどうかは、私はまだ確認できていない。
第一、Ｏｎの元について一つずつ善良超フィルターを選べるという選択公理の使い方は、少し、ベルナイス・ゲーデルの集合論の枠をはみ出している。Ｏｎは集合ではないので、それに選択関数が存在するというのは、選択公理の拡大解釈であるからだ。
以上述べたようなわけで、この私の試みは、実際にこのＦが使い物になるかどうかを試してみなければならない。そういうわけで、卒業論文のテーマとするにふさわしいかも知れない。
ただ、今まで誰も、基数制限のない飽和モデルを作っていないということは、私の試みは、失敗するかも知れない。
基数制限のない飽和モデルというのは、私の夢なのかも知れない。
今日はここまで。私の書いたことについて、本当はここまで分かっているよ、というようなことを知っている人は、コメントして欲しい。私にとって、それはありがたいことである。
現在２００６年３月１９日１時２９分です。おしまい。
