現在２００６年２月２日２２時３２分である。
「博士の愛した数式」は面白かった。数学の話が面白いのではなく、小説として十分面白かったのだ。私が今までに読んだ中で、最初から最後までずっと面白かったのは、「嵐が丘」ただ一冊だったが、その記録が破られる日が来た。「博士の愛した数式」もまた、最初から最後までずっと面白かったのだ。
幸せな３日間を過ごさせてもらった。
そのお礼と言っては何だが、この小説の中に登場した数式、
ｅπｉ＋１＝０
について、そこに現れる、自然対数の底ｅと円周率πの超越性を証明する。この小説の中では、こんな繰り返しもない数字の並んだ数が、なんで自然なのだろう、と疑問を表明している。確かに、自然が秩序のあるものなら、こんな何の脈絡もなく、小数点以下に、数字の並ぶ数が、重要な数であるというのは不思議だ。
だが、私達が証明しようとしていることを知ったら、もっと、不思議さが増すだろう。そしてむしろ、自然の奥深さに頭を垂れたいという気になることだろう。
超越数とは何か。それは、整数を係数とする、代数方程式の根にならない数。のことである。
もう少し、丁寧に説明しよう。例えば√２ は、
ｘ２－２＝０
の根である。この時、
ｘ２
の係数は１、定数項は－２である。だから、係数は整数だ。整数とは、・・・，－３，－２，－１，０，１，２，３，・・・というような数であることは、覚えているだろう。
もし整数を係数とする、という条件を外して、ただ、代数方程式の根にならない、といったのだったら、おかしなことになる。
例えば、
ｘ－π＝０
という方程式は、πを根に持つ。
しかし、係数が整数ではないのだ。
代数方程式というのは、ａかけるｘのｎ乗たすｂかけるｘのｎ－１乗たす・・・＝０
という方程式のことである。微分方程式とか、
ｓｉｎｘ＝０
というようなものは含まれない。実際、
ｓｉｎｘ＝０
の根には、πが入っている。
じゃあなんで、整数を係数とする代数方程式だけ特別扱いするのか。それに答えるのは、実は私の手に余る。有理数体Ｑの代数拡大の中に含まれない。ということが、代数的整数論という分野では、重要な意味を持つのだが、それを皆さんに分かるように説明することが出来ないのだ。
だから、とにかく、普通の方程式の根にならないような、特別な数なんだ、ということが証明された、というだけで、喜んでもらうしかない。私にとっては、それだけでも、十分嬉しいことだった。
今日一日で、πの超越性まで到達するのは無理である。まず手始めに、πが無理数であることを証明しよう。無理数とは、有理数のように、整数ａ，ｂを用いて、ａ／ｂと表されない数である。私達が既に知っている無理数は、√２である。これは証明した。
今日は、πが無理数であることを証明するのだ。証明は、イアン・スチュワート著 永尾 汎（ながお ひろし）監訳 新関 章三（にいぜき しょうぞう）訳 「ガロアの理論」（共立全書） を参考にして行う。この本には、数学に慣れている者なら、分かる程度に、省略をされた証明が書かれているので、私が、一般の人でも分かるように、大幅に書き加える。
それでは始めよう。
定理
πは無理数である。
証明
ここで一つ補題を用意する。意味を理解すれば難しいものではないので、大丈夫。
整数を値にとる数列が、０に収束するならば、その数列の、あるところから先は、すべて０である。
補題の証明
これは、本当は、当たり前である。
ｌｉｍｆ（ｎ）＝０
ｎ→∞
なのだから、もし、どこまで行っても、ｆ（ｎ）が０にならないのだったら、０に収束することにはならないからだ。
ε－δ論法を用いて厳密に証明すると、０に収束するとは、任意のε＞０に対し、ある自然数Ｎが存在し、ｎ＞Ｎとなるすべてのｎについて
｜ｆ（ｎ）－０｜＜ε
となるということである。そこで、εとして１／２をとってみよう。そうすると、あるＮが存在し、ｎ＞Ｎとなるすべてのｎについて、
｜ｆ（ｎ）－０｜＜１／２
である。ｆ（ｎ）は整数を値にとるのであったから、１／２より０に近い整数は、０だけなので、ｆ（ｎ）＝０となる。
ｎ＞Ｎとなるすべてのｎについてｆ（ｎ）＝０なのであるから、あるところから先は、すべて０である、という補題が証明された。
補題証明終わり
さて、次の積分を考えよう。
＋１
Ｉｎ＝∫ （１－ｘ２）ｎｃｏｓαｘｄｘ
－１
こういうとき、どうしてその積分を考えるのか、とか、どうやって思いついたのか、とか、気になるだろうが、ひとまずそういうことは、おいといて、これを考えると、うまくいくらしい、という期待に胸をふくらませるのが、さしあたってはよい。いろんな人が、一所懸命考えて、やっと思いついた式なのかも知れないのだから。
さて、これを部分積分することにより、ｎ≧２について
α２Ｉｎ＝２ｎ（２ｎ－１）Ｉｎ－１
－４ｎ（ｎ－１）Ｉｎ－２
という漸化式が得られる。
と書いても、多くの人は、ついて来れないだろうから、やって見せよう。部分積分の公式は覚えているだろうか。
ｂ
∫ ｆ（ｘ）ｇ’（ｘ）ｄｘ
ａ
｜ｂ
＝ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）｜
｜ａ
ｂ
－∫ ｆ’（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ
ａ
である。ここで、
ｆ（ｘ）＝（１－ｘ２）ｎ
とおき、
ｇ’（ｘ）＝ｃｏｓαｘ
とおく。そうすると、
＋１
Ｉｎ＝∫ （１－ｘ２）ｎｃｏｓαｘｄｘ
－１
１ ｜＋１
＝（１－ｘ２）ｎ─ｓｉｎαｘ ｜
α ｜－１
＋１ １
－∫ｎ（１－ｘ２）ｎ－１（－２ｘ）──ｓｉｎαｘｄｘ
－１ α
となる。
（１－ｘ２）ｎ
の微分は、まず
１－ｘ２
をひとかたまりと思って、それのｎ乗だから、ｎが前に出て、ｎ－１乗になる。次に、
１－ｘ２
さて、
｜＋１
｜
｜－１
の部分は、－１と１を代入したとき、
（１－ｘ２）ｎ
の部分が０になるので、消える。そこで、二つのマイナスをキャンセルさせて、
＋１ １
Ｉｎ＝∫ｎ（１－ｘ２）ｎ－１２ｘ──ｓｉｎαｘｄｘ
－１ α
となる。ここで、くどいようだが、もう一度部分積分をする。
ｆ（ｘ）＝ｎ（１－ｘ２）ｎ－１２ｘ
１
ｇ’（ｘ）＝──ｓｉｎαｘ
α
とおくと、
１
ｇ（ｘ）＝－──ｃｏｓαｘ
α２
であるから、
－１ ｜＋１
Ｉｎ＝ｎ（１－ｘ２）ｎ－１２ｘ──ｃｏｓαｘ ｜
α２ ｜－１
＋１
－∫｛ｎ（ｎ－１）（１－ｘ２）ｎ－２（－２ｘ）２ｘ
－１
－１
２ｎ（１－ｘ２）ｎ－１｝──ｃｏｓαｘｄｘ
α２
となる。
｜＋１
｜
｜－１
の部分は、今回も０である。
ここまでのところは、大丈夫だろうか。まだ難しい部分には入っていない。
さて、ここでちょっと技巧を凝らす。
上の式の（－２ｘ）２ｘという部分から、
（－２ｘ）２ｘ＝－４ｘ２
＝４－４ｘ２－４
＝４（１－ｘ２）－４
と、変形するのだ。これで、
（１－ｘ２）
の次数が一つ上がる。従ってＩｎは、
＋１
－∫｛４ｎ（ｎ－１）（１－ｘ２）ｎ－１
－１
－４ｎ（ｎ－１）（１－ｘ２）ｎ－２
－１
２ｎ（１－ｘ２）ｎ－１｝──ｃｏｓαｘｄｘ
α２
となる。ｎ－１乗の項をまとめて、
＋１
－∫｛２ｎ（２ｎ－１）（１－ｘ２）ｎ－１
－１
－４ｎ（ｎ－１）（１－ｘ２）ｎ－２
－１
｝──ｃｏｓαｘｄｘ
α２
となる。マイナスとマイナスをキャンセルさせて、
＋１
＝∫｛２ｎ（２ｎ－１）（１－ｘ２）ｎ－１
－１
－４ｎ（ｎ－１）（１－ｘ２）ｎ－２
１
｝──ｃｏｓαｘｄｘ
α２
となる。
＋１
Ｉｎ＝∫ （１－ｘ２）ｎｃｏｓαｘｄｘ
－１
であったから、上の式より、
α２Ｉｎ＝２ｎ（２ｎ－１）Ｉｎ－１
－４ｎ（ｎ－１）Ｉｎ－２
が示されたことになる。これで、この本でやっと１行進んだことになる。この調子でいくと、夜が明けるので、今日はここまでにする。明日には、πの無理性が示せるだろうか。
これを見ていて分かっただろうが、πが無理数であることを証明するだけでも苦労する。ましてや、超越数であることを証明するのは、ものすごくしんどい。
しかし、それを理解できたとき、あなたはきっと、ある種の陶酔感を味わえるはずである。人間は、ここまで見事な理論を構築できるものなのか、という思いは、人間は空を飛ぶことが出来るのか、というのと同じくらいの驚きを私達に与えてくれる。
その瞬間を目指してがんばろう。
現在２００６年２月３日１時３２分。おしまい。
