　★は、それだけで単独の投稿。☆は、その話題を論じた中で、中心となる投稿へのリンクであり、他のいくつかの投稿と関係があることを示す。

　コメントは、いつ行っても良い。よっぽど大量にコメントされない限り、なんらかのレスポンスはするつもりである。

　ワンクリック詐欺につながるようなコメントがあった場合を除き、基本的に、コメントはすべて残す。

　自由に書ける代わりに、下らない中傷を書いたりすると、永遠に残るので、後で恥ずかしくないよう、それなりに節度は守った方が、ご自分のためでしょう。

　それでは、炎上されるのは困るが、活発な議論をする分には、何度コメントされても良い。

　誠意のある熱心なコメントには、私としても、２００字以上の誠実なレスポンスを出来るはずである。
　では、よろしく。

　追記　一時、このブログが、閉じられていた間に、２００８年０４月２８日の「中島みゆきファンに捧ぐ」という投稿から、２００９年０７月０４日頃の投稿までが、電子データから、削除されました。

　このブログを再開する際、電子的にバックアップを取ってあったものが、２００８年０４月２８日までだったので、そこまでしか、まだ、復旧できておりません。

　しかし、私の家には、紙に印刷した形で、２００９年０４月１８日までの投稿、および、コメントが、残されています。これ以前のものは、コメント者のリンクは復元できませんが、コメント本文は、復元できます。

　従って、皆さんが、心を込めて、コメントしてくださったものは、ほとんど、復元できます。　また、一度ネット上に流れた、データですから、本来なら、全部、どこかのハードディスクに記録が残っているはずです。

　私が、もっと有名になって、私の過去が語られる際には、その完全復刻版のブログが、公開できると思われます。

　それでは、よろしく。

２００９年１２月２８日４時５４分追記しました。
２０１５年８月５日３時４３分一部改訂しました。

２０１８年４月４日２１時２１分大幅に改訂しました。

2018-06-23

数学を専攻するとはどういうことか（その２）

　現在２０１８年５月１４日１２時３１分である。

「あらっ、もう忘れかけてる話題ね」

　この話題は、重くなるの分かってたから、なかなか書き始める気に、ならなかったんだ。

「この前は、どんな話だったんだっけ？」

　数学科の大学１年生のための勉強法として、裏技を４つほど紹介したんだ。

「じゃあ、今日は、２年生？」

　実は、申し訳ないんだけど、私、大学の数学科の２年生が、どんなこと勉強しているか、知らないんだ。

「えっ、太郎さん、物理学科だったから？」

　そうじゃなくて、学校とはほとんど関係ないこと、勉強してたんだ。

「太郎さんは、よく、勉強してない、とか、仕事してない、とか、いいながら、とんでもないことやってるから、良く聞いてみなきゃね」

「どんなこと、やってたの？」

　ひとつは、川口周君のゼミで、アールフォルスの『複素解析』という本を読んでいた。

　もう一つは、私の発案で、松本幸夫の『多様体の基礎』という本を読んでいた。

　それから、グライダー部の親友のゼミで、ファインマン物理学のⅤ巻『量子力学』を読んでいた。

　さらに、Ｘ指定の親友とのゼミで、石田信の『代数的整数論』という本を読んでいた。

複素解析

作者: L.V.アールフォルス,笠原乾吉
出版社/メーカー: 現代数学社
発売日: 1982/03
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多様体の基礎 (基礎数学5)

作者: 松本幸夫
出版社/メーカー: 東京大学出版会
発売日: 1988/09/22
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ファインマン物理学〈5〉量子力学

作者: ファインマン,砂川重信
出版社/メーカー: 岩波書店
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代数的整数論 POD版 (数学全書)

作者: 石田信
出版社/メーカー: 森北出版
発売日: 2003/09/15
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「それが、学校と関係ないの？」

　学校の授業より、半年から１年進んでいた。

「じゃあ、普通の２年生は、何やってるの？」

　だから、知らないんだって。

「想像は、付くでしょ」

　多分、色々な、難しいことの、具体的な例を、勉強しているんだろうと思う。

「例えば？」

　多様体というものは、一番簡単な例で言うと、曲線なんだ。

　もうちょっと次元が上がると、曲面になる。

　そういう風に、曲線や曲面のことを、勉強してるんだと思う。

「だとすると、太郎さんは、どうなってるの？」

　いきなり、 ${\mathrm{n}}$ 次元の多様体を勉強しちゃった。

「それは、いいことなの？」

　私らしくないよね。

　私は、体なんてものを考えたから、５次方程式が解けないなんてことになったんだ、と思って、抽象的な体という概念を受け入れずに、数学を作ろうとした。

　それなのに今回は、必要かどうかも分からないのに、抽象的な ${\mathrm{n}}$ 次元多様体を、勉強しちゃった。

　実は、私には、多様体が必要になる理由があったんだ。

「あっ、分かった。一般相対論ね」

　そうなんだ。

　だから、ものすごく急いでたんだ。

　私が、思うに、２年生は、初歩的な微分幾何、整数論、ガロア理論の初歩、常微分方程式の基礎、くらいを勉強しているんだと思う。

　具体的に本を挙げると、

小林昭七『曲線と曲面の微分幾何』（裳華房）

曲線と曲面の微分幾何

作者: 小林昭七
出版社/メーカー: 裳華房
発売日: 1995/09/01
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高木貞治『初等整数論講義』（共立出版）

初等整数論講義第2版

作者: 高木貞治
出版社/メーカー: 共立出版
発売日: 1971/10/15
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石井俊全『ガロア理論の頂を踏む』（ベレ出版）

ガロア理論の頂を踏む (BERET SCIENCE)

作者: 石井俊全
出版社/メーカー: ベレ出版
発売日: 2013/08/22
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高橋陽一郎『微分方程式入門』（東京大学出版会）

微分方程式入門 (基礎数学)

作者: 高橋陽一郎
出版社/メーカー: 東京大学出版会
発売日: 1988/12/01
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あたりなのかなあ。

「太郎さんは、これらを読んでないのね」

　うん。

　なぜ、読んでもいないのに、これらを並べたか、というと、これらを読んでなかったために、私が、その後、ものすごく苦労したからなんだ。

「つまり、『読んどけよ』というわけね」

　そう。

　私が、これらを読めなかった理由のひとつは、最初にあげたゼミをやってたからだが、もうひとつ理由がある。

「どんなこと？」

　１年生のとき、川口周君のゼミで、『代数概論』という本を読んでいて、具体例が少なくて抽象的な話が多く、

『ここに書いてあること本当なのかな？』

と、疑問に思った。そして、高校生まで完璧に分かるものだった数学も、大学生になると、完璧には分からないんじゃないかと不安になった。

　数学とて、完璧でないのではないか？　という、私を訪れた危機だった。

　この本が、私には、難し過ぎたんだ。

森田康夫『代数概論』（裳華房）

代数概論 (数学選書)

作者: 森田康夫
出版社/メーカー: 裳華房
発売日: 1987/11/01
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「太郎さんでも、数学が分からない、なんてことになってるのね。その危機は、どうやって乗り越えたの？」

　私に取って、図書館で、数々の文献に当たりながら、頭が整理され、目標は、

『数学において正しいとはどういうことか？』

という問いに答えることだと、分かった。

「正しいかどうか、なんて、人によって、違ってちゃいけないの？」

　それでは、数学は、できない。

　少なくとも、他人を納得させるには、他の人と同じ土俵で戦わなければ、意味がない。

　その最低限のルールとして、私は、愛読書ナンバー２の『数学基礎概説』を選んだ。

大芝猛『数学基礎概説』（共立出版）

数学基礎概説 (共立数学講座)

作者: 大芝猛
出版社/メーカー: 共立出版
発売日: 1987/10
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「これ、ボロボロだったわね。太郎さんの愛読書ナンバー２とナンバー３はボロボロなのに、ナンバー１がボロボロでないのは、どうして？」

　それは、正直に書くとナンバー１の本は、まだあまり読んでないからなんだ。

「なんだ、それだけか。太郎さんには、数学の２冊みたいにボロボロにした、物理学の本は、ないの？」

テイラー／ホイーラー『時空の物理学』（現代数学社）

f:id:PASTORALE:20180619140244j:plain

くらいかな。

「やっぱり相対性理論の本ね。私が…」

　このように、『数学基礎概説』を読みながら、４つのゼミをやってたので、他の本は、読めなかった。

「なるほど」

　さて、２年生の終わりに近づいた頃、『多様体の基礎』を読み、『ホーキング＆エリス』に力をもらって、私はついに、一般相対性理論というものを、理解し始めた。

　確か、１９９３年の１月だったと思うが、川口周君が、４年生向けの講究のガイダンスがあるんだ、と言い出した。

「『講究』って？」

　例えば、文学部だったら、日本文学を専攻しました、とか、フランス文学を専攻しました、とか、心理学を専攻しました、とか、哲学を専攻しました、って言うじゃない。その、『専攻』のことだよ。

「じゃあ、どんな講究が、あったの？」

　行ってみて分かったけど、次のようなものだった。

数論

代数的位相幾何学

物理幾何学

複素幾何

表現論

確率論

数理物理学

数値解析

非線型問題

代数解析学

微分作用素のスペクトル理論

「うっわ、すごい数。１９も、あるじゃない。数学だけで、こんなに分野があるの？」

　見てもらうと分かるとおり、コンピューター科学は、含まれていないでしょ。

「あっ、そうね。京都大学には、計算機科学科は、ないの？」

　これ、１９９３年の私のときのだから、まだインターネットもなくて、コンピューターシミュレーションとか、コンピューターグラフィックというのは、好きな人が勝手にやってるという時代だったんだよ。

　２００８年度の教科の手引きには、離散数学・計算機科学講究というの、できてる。

「どうして、２００８年の手引きを？」

　放送大学から、京都大学に移ろうかとか考えたって、話したじゃない。あのとき、大学に問い合わせたら、送ってくれたんだ。

「狭い家なのに、そんなものまで取ってあるの？」

　今回のように、役に立つことがある。

「それで、１９もあって、どう思った？」

　分野の名前とかじゃなくて、複素多様体として話した、上野さんの

『ツイスター理論というものを、ペンローズという物理学者が提唱しているのだけれども、それを数学的に定式化すると、非常に分かりやすくなると言われていて、それについて書かれた本を読みます。多分学生は、ツイスター理論の準備をしたところまでしか、読めないでしょうが』

と言ったのが、すっごく面白そうに思えたんだ。

「太郎さんは、そのツイスター理論というものを、知ってたの？」

　名前だけは知ってた。

「ふーん。大したものね。どうして知ってたの？」

　これも、グライダー部の親友からなんだ。

「えっ、あの、英検１級で、公認会計士の人？」

　そう。入学早々、ファインマン物理学のゼミで、相対論の話をしていたとき、彼が、

『ツイスター理論というものがあって』

と言ったので、私が、ちょっと待って、と言って、ルーズリーフ（当時はノートでなくルーズリーフを、よく使っていた）に、書き留めていたら、

『向学心に燃える人』

と、からかわれたんだ。

　私は、その後、図書館で調べた。

　探しても、探しても、『ツイスター理論』などというものが載っている本はない。

　諦めていた１年生の終わり頃、次の本の最後の各理論の関係を表した絵に、かすかに、『 ${\mathrm{twistor}}$ 理論』とあった。

新装版複素代数幾何学入門

作者: 堀川穎二
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『やった！』

というんで、次に彼に会ったとき、

『ツイスター理論って、やっと見つけたよ。どうして知ってたの？』

と、聞いたら、

ナッシュ／セン　『物理学者のためのトポロジーと幾何学』（マグロウヒル出版）

物理学者のためのトポロジーと幾何学 (ADVANCED PHYSICS LIBRARY)

作者: ナッシュセン,南部保貞,佐々木隆,吉井久博
出版社/メーカー: マグロウヒル出版
発売日: 1989/01
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『この本で、読んだんだ』

って、見せてくれた。

　その本は、彼が持っていることは知っていたが、私が、まず見ない本だった。

「えっ、どうして、見ないの？」

　数学的厳密さを犠牲にして、書いてある本だったからだよ。

「ああ、『物理学者のための』が、いけないのね」

　そういうこと。

「あっ、だから太郎さんは、数学的に厳密に、ツイスター理論を、知りたかったのね」

　そうなんだよ。１年生の終わり頃から、ずっとツイスター理論を知りたかったのに、１年経って、数学の先生が、『ツイスター理論を読もう』って、言ってくれたんだから、嬉しかった。

「上野先生が、言ってくれたのは、２年生の終わりよね。当然太郎さんは、１年早く３年生で複素多様体論を、専攻するわけよね。そこの苦労か何かを、書いてくれなきゃね」

　まず、この投稿が、どういう方向に向かうか分からないので、後で書く余裕がなくなる可能性のあるものを、今、書いておこう。

　ツイスター理論というもの自体を、私は、まだ知らない。

　だが、人づてに聞いた話では、アインシュタイン方程式という偏微分方程式の解がひとつ見つかると、そこから芋づる式に、いくつもの解を見つけられるのだという。

　その方法のひとつが、ツイスター理論なのだそうだ。

　話が抽象的なので、少しでも具体的に書くと、シュワルツシルド解を見つけると、そこから、カー解が見つかる、というようなこと。

　これが、私のツイスター理論の、イメージだった。

　だが、麻友さんにウソを書いてはいけないと思って、かなりインターネットとか、文献とか、調べたんだよね。

　そうすると、シュワルツシルド解からカー解を導くのは、ニューマン／ジャニス／アルゴリズムと呼ばれるもので、ツイスター理論とは別のものだったんだ。

　ニューマン（ ${\mathrm{Newman}}$ ）は、このニューマン／ジャニス／アルゴリズムの論文

E. T. Newman and A. I. Janis. “Note on the Kerr Spinning-Particle Metric”. Journal
of Mathematical Physics 6.6 (June 1965), pp. 915–917.
doi: 10.1063/1.1704350.

と、同じ年１９６５年に、ペンローズ（ ${\mathrm{Penrose}}$ ）と共著の別の論文も書いてるけど、ツイスター理論の論文は、１９６７年にペンローズひとりで発表している。

　ジャニス（ ${\mathrm{Janis}}$ ）が、どう関わっているかは知らないけど、ツイスター理論で、ひとつの解から芋づる式に解が見つかるというのは、私の勝手な思い込みだったかも知れない。

「そのニューマン／ジャニス／アルゴリズムというのなら、確かに解が導けるの？」

　これはねぇ、日本語の文献が、多分ないんだよ。

　私は、この本の第１９章で見つけた。

Introducing Einstein's Relativity

作者: Ray D'Inverno
出版社/メーカー: Oxford Univ Pr (Sd)
発売日: 1992/06/18
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「日本語の文献がない、ということが、結構あるのね」

　それだけ、専門の立ち入ったところまで、行ってる、ということなんだけど、英語が万能でもないんだよね。

「どういうとき？」

　以前、アーベルの話をしたとき、数学のメッカは、フランスだと書いたよね。

「ああ、変なこと言うな、と思ったわ」

　ドラえもんのブログで、ガロア理論や、公理的集合論や、解析学の話をしようと言ったよね。あのときの公理的集合論のテキストの『現代論理学』のゴールは、ゲーデルの第二不完全性定理なんだ。

「ああ、ドラえもんのブログで、色々話してくれてたわね」

　それでね、第二不完全性定理が、ゴールなんだけど、証明は、第一不完全性定理までで、ストップしているんだ。

「どうして、最後まで書かなかったのかしら」

　これには、ゲーデル自身が、関係している。

「どういうこと？」

　ゲーデルは、１９３０年、第一不完全性定理を証明することに、成功した。

　これには、きちんと証明も付けた。

　ところが、学会で、その成果を発表したところ、あの『悪魔のように鋭い』とか『実は悪魔だった』とまで噂されたノイマンが、それを聞いていて、たちどころに理解し、

『これだけではない、こんなものも証明できる』

と、ゲーデルに第二不完全性定理のできたてのアイディアを話したのだ。

　慌てたのは、ゲーデルである。

　きちんと第二不完全性定理の証明を付けてから、論文を発表するか、それとも、既にできている第一不完全性定理だけでも発表するか、迷った。

「どうしたの？」

　これは、科学の歴史で、何度もあることなんだけど、完璧主義になったら失敗するんだよね。

「例えば？」

　麻友さんと一緒に冒険することになっている、量子力学の基本の方程式は、シュレーディンガー方程式というんだけどね。

「ああ、シュレーディンガーって、前にも聞いたわ」

　そのシュレーディンガー方程式というものは、見た感じもちょっと変だし、スピードの速い電子などには使えない、ちょっと不満の残るものだったんだ。

「どんな形か、ちょっと見せてよ」

　ときと場合によって、色々係数は変わるけど、

$i\hbar \frac{\partial}{\partial t}\psi(\mathbf{r},t) =\biggl(-\frac{\hbar^2}{2m} \varDelta +V(\mathbf{r}) \biggr)\psi(\mathbf{r},t)$

というようなものなんだけどね。

　シュレーディンガーも、スピードの速いものも扱える、つまり相対論との相性の良い方程式を探してたんだけど、今は無理だと思って、妥協案のシュレーディンガー方程式を思い切って、発表したんだ。

「どうなった？」

　これが、大成功だった。妥協案ではあったんだけど、シュレーディンガー方程式は、解きやすかったんだ。

　相対論と相性の良い、ディラック方程式というものは、２年後の１９２８年に、ディラックが発表した。

「それも、形だけ見せて」

　細かい説明は、できないけど、

$i\hbar \frac{\partial}{\partial t}\psi(\mathbf{r},t) =\biggl(-\frac{\hbar c}{i} \alpha \nabla + \beta m c^2 \biggr)\psi(\mathbf{r},t)$

というようなもの。

「シュレーディンガー方程式には、上向き三角、ディラック方程式には、下向き三角、があるのね。かわいいわね」

　上向き三角は、ラプラシアン。下向き三角は、ナブラという。

「えっ、上向き三角は、デルタじゃないの？」

　デルタ？

　あっ、そういえば、ラプラシアンって、デルタに似てる。

「似てるって、私には、同じように見えるけど」

　このブログに書くときは、テフの制約上、ラプラシアンを、［ｔｅｘ：｛￥ｖａｒＤｅｌｔａ｝］で出したから、デルタと同じで当然だと思ってた。

　デルタとラプラシアンって、違うのか？

「太郎さんは、ノートに書くとき、区別してないの？」

　私は、ノートに書くときは、次のように、書き分けている。

　デルタは、大きく斜めに、ラプラシアンは、正三角形がちょっと傾いた感じに、書いてる。

f:id:PASTORALE:20180619172045j:plain

「鈍角三角形というのは？」

　ひとつ、９０度より大きい角のある三角形。

「だとすると、鋭角三角形は、全部の角が９０度未満の三角形ね」

　そう。

　残ってるのは？

「ひとつの角が、直角の、直角三角形」

　さすが、特待生。

「テフでは、どう使い分けているの？」

　デルタは、［ｔｅｘ：｛￥Ｄｅｌｔａ｝］で、 ${\Delta}$

　ラプラシアンは、［ｔｅｘ：｛￥ｖａｒＤｅｌｔａ｝］で、 ${\varDelta}$

　続けて書くと、

${\Delta \ \varDelta}$

と、ちょっと違うけど、いきなり一方を見せられても、どっちだか分からないね。

「ネット上に、使い分けの情報はないの？」

　文脈で分かるんだよね。私が、『使い方』を書いたように、デルタやラプラシアンの後ろに何が来てるかで、ほぼ必ず分かる。

「本当に、ネット上にも、役に立ちそうな情報は、ないわね。でも、太郎さんのような、鈍角三角形のデルタは、表示できないの？」

　テフで表示することは不可能ではないけど、特別なフォントのパッケージを読み込まなければならないみたいで、はてなブログの環境では、無理みたい。

って、麻友さん。ずっと私のそばにいて！（頼）

「えっ、なに？　急に？」

　ここで、傾いたデルタを表示させる方法を見つけようと思って、テフの本を４冊も調べて、ネット上も調べて、すごく勉強になった。

　麻友さんの前に、ウソを書かないようにしよう、と思うから、こんなに一所懸命になるんだよ。

　いてくれなきゃだめ。

「そりゃ、太郎さんに取って、私が、大切なのだろうことは、分かるわ。数学の動画を作るという口実を作って、ふたりが会えるようにしてくれたのも、分かってる」

「でも、太郎さんの側に、実績がないのよ。本当は、『ホーキング＆エリス』を、太郎さんが訳し終われば、それが、実績になったのよ。でも、放り出しちゃった。ホーキングの本を訳したって言えば、秋元康さんなんかもみんな、『おー！』って、なったはずなのに、もったいないわ」

　うん。あれが、成功していれば、立派な肩書きになったのは、分かってる。

　でも、逆にいうと、最初に訳す本にはとうていできないほど、レヴェルの高い本だったんだ。

　私が、あれをいい加減な訳で、出版したりしたら、

『松田という人は、この程度の人か』

と、学者としての面目を失うところだったんだ。

「でも、そんなレヴェルの高い本だからこそ、太郎さんが、訳せば、私だって、物理学者・数学者松田太郎を、推せたのに」

　いや、本来、私は、そんなに推されたら、困るんだよ。

「えぇっ？」

　麻友さんは、今年から人間１年目という感じなんだろ。私だって、物理学者・数学者としては、今から１年目みたいなものだよ。だって、博士号どころか修士号だって持ってないんだよ。

「太郎さんは、何が不足してると思うの？」

　例えば、理学部で博士号を取った人で、研究者になろうという人は、まず、大学１年生などの演習の面倒を見たり、採点をしたりということを、ある程度の期間するものだ。

　こういう他の人の教育や、試験の採点というものをやらないと、教わるばかりの時には分からなかったことを、吸収できない。

「でも、『ホーキング＆エリス』に、それが、必要なの？」

　『ホーキング＆エリス』に、いつまでも、こだわっちゃ駄目だよ。

　あの本は、ピンチヒッターを立てて、訳してもらっているのだから。

「太郎さんは、放り出しちゃうの？」

　そんな、無責任なことは、しないよ。

　校閲は、することになると思う。

「訳せないのに、校閲は、できるの？」

　そりゃ、訳す方が、遙かに、大変でしょう。日本語の文章を作るのと、日本語の文章を直すのとでは、えらい違いだ。

「でも、『ホーキング＆エリス』は、太郎さんの愛読書ナンバー１だったんでしょ。熱意は、ないの？」

　私に取って、物理学や数学に対する熱意って、前ほどじゃないんだ。

「その熱意どうなっちゃったの？」

　麻友さんに、向かうようになっちゃったんだよ。

「じゃ、私が、太郎さんに、『ホーキング＆エリス』訳してって言ったら？」

　無茶苦茶なこという。

　せっかく生け贄になりかかってるの、助けてあげたのに。

「期限は、いつまでなの？」

　今年いっぱいで訳せば、間に合う。

　でも、そんなこと、不可能だし、訳者からは降りて、もらった着手金も返したし、私の訳を作っても、自己満足のためだけに持っていることになる。

「それでもいいのよ。太郎さんの訳を作っておけば、校閲の時だって、隅々まで目を配れる」

　そう考えてるの？

「世渡りは、太郎さんより、私の方が、上手いのよ」

　まあ、所得から判断すると、そうなるね。

「何ページの本なの？」

　３９１ページまで。

「今までに、何ページ訳してあるの？」

　２３ページ。

「たった、それだけ？」

　だから、不可能なんだって。

「いや、たとえそうでも、残り半年で、３７０ページくらい訳すのよ」

　もう。

「私が、悔しいのよ。私が、この身を捧げる男の人が、こんなに男らしくないなんて」

「私のハートを自由に使っていいのよ」

　麻友さんの名誉のためか。

「そうよ。私に取っての男の人は、太郎さんだけなのよ。その男の人が、こんなにふぬけじゃ、私嫌だわ」

　それなら、もっと早く言ってくれれば、まだなんとかなったかも知れないのに。

「今から、やりなさい」

　分かったよ。

　こうして、私は、『ホーキング＆エリス』の私なりの訳を作るのを、再開した。

　さて、脇へそれた話を戻しておこう。

　ラプラシアンのあるシュレーディンガー方程式は、妥協の産物だった。

　一方、ナブラのあるディラック方程式は厳密な式だけど、解くのが遙かに難しいので、今でも、シュレーディンガー方程式が一般には、使われている。

　ほどほどで妥協したシュレーディンガーは、物理学史上に、永遠に残る式に、その名を刻むことができた。大成功だったのだ。

　ただ、物理学者たちは意地悪なもので、量子力学を創ったハイゼンベルグには１９３２年のノーベル物理学賞を単独で与えたのに、翌年１９３３年のノーベル物理学賞は、量子力学を使いやすくしたシュレーディンガーとディラックふたりに与えたのだ。

「ふたりだと、だめなの？」

　賞金が、半分でしょ。

「あっ、そういうことか」

　このように、完璧主義を諦めた人が、成功した例は、他にもある。

「そうすると、ゲーデルは？」

　第一不完全性定理の完璧な証明を付けた論文の最後に、第二不完全性定理というものも、これから導けますよ。と書いて、証明の概略だけ書いて、論文の題名の最後に、『Ⅰ』と付けて、後で『Ⅱ』で証明を補いますよ。としたんだ。

「それが、成功したの？」

　うん。大成功。

　ノイマンたち優秀な数学者は、それだけで、理解したんだ。

「『Ⅱ』は、発表したの？」

　そこが、ゲーデルも人間で、『Ⅰ』だけで疲れ果てちゃって、書けなかったんだ。

「えー、ゲーデルだらしない」

　いや、これは、簡単なことではなかったんだ。

　ゲーデルの論文は、１９３１年に出版されたんだけど、その後、ヒルベルトとベルナイスというふたりの人が、論文ではなく、本として、

${\mathrm{D.\ Hilbert\ \& \ P.\ Bernays,\ }Grundlagen\ der\ Mathematik\ \mathrm{I,\ II,}}$

${\mathrm{\ Springer,\ 1934,\ 1939\ (2nd\ ed.,\ 1968(I),\ 1970(II)).}}$

という２冊かけて証明したんだ。

「２冊目が、１９３９年ってことは、８年もかかったの？」

　そうなんだよ。ゲーデルひとりでは大変だった。

「この本は？」

　これだよ。

Grundlagen der Mathematik I (Grundlehren der mathematischen Wissenschaften)

作者: David Hilbert,Paul Bernays
出版社/メーカー: Springer
発売日: 1968/01/01
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Grundlagen der Mathematik II (Grundlehren der mathematischen Wissenschaften)

作者: David Hilbert,Paul Bernays
出版社/メーカー: Springer
発売日: 1970/01/01
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「えっ、これ、der　とか言って、ドイツ語じゃない？」

　そうなんだよ。ドイツ語なんだ。

　訳本は？

数学の基礎 (シュプリンガー数学クラシックス)

作者: D.ヒルベルト,P.ベルナイス,David Hilbert,Paul Bernays,吉田夏彦,渕野昌
出版社/メーカー: シュプリンガージャパン
発売日: 2007/03
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なんだけど、これには肝心の第二不完全性定理の証明は書いてない。抄訳なんだ。

「英訳は？」

　ないんだ。

「まさか」

　フランス語訳（と、ロシア語訳？）しか、ないんだ。第２巻もあるけどリンクが張れなかった。

「うっそ、英訳がないなんて」

　だから、数学は、フランスがメッカだって、言ったろ。

「第二不完全性定理の証明を読むには、ドイツ語かフランス語かロシア語が必要なの？」

　私も、つい最近まで、そう思っていた。

　このように、ゲーデル自身が書かなかったことも原因で、『現代論理学』の証明は、第一不完全性定理でストップしてしまったのだろう。

　でも、実は次の本が現れた。

Lectures in Logic and Set Theory: Volume 1, Mathematical Logic (Cambridge Studies in Advanced Mathematics)

作者: George Tourlakis
出版社/メーカー: Cambridge University Press
発売日: 2010/09/09
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「英語の本ね。２０１０年？」

　実際には、２００３年に発刊されてたみたい。

　この本の著者が、第二不完全性定理のきちんとした証明を、英語で書いてくれた。

　でも、１９３９年から２００３年まで、６４年間もドイツ語の原書とフランス語訳とロシア語訳しかなかった。

　数学を学ぶのに、フランス語が必須というのが、分かるだろうか？

「確かに、英語が万能ではないのね」

「ところで、ペンローズのツイスター理論が、どういうものか、というところから、英語の文献の話になったのよ。ツイスター理論については？」

　今はまだ、私には、分かっていないということを、きちんと書いておこう。

　上野さんのゼミで、色々習ったけど、ツイスター理論までは、行かれなかった。

「それで、３年生で、専攻を始めたことの苦労を、話してくれるはずだったけど」

　そのつもりだったけど、ちょっと文字数が多くなりすぎたね。

　面白くしようと思って、色々書いていて、もう１１，２００字になっちゃった。

「じゃあ、次回というわけね」

　うん。

「太郎さん、約束したの、覚えてるわね」

　どうして、麻友さんが、あんなに、勇気を持って、私を、叱咤激励できたか、分かってたかな？

「どうしてって、理由があるかしら？」

　この間、５月５日のこどもの日に死んだおばあちゃんのお骨を山梨から運んできて、半日だけ移動のために、私の家にそのお骨が預けられていたんだ。そのお骨があったとき、あの部分書いてたんだよ。

　おばあちゃんが、麻友さんと私を幸せにしてくれようと、力をくれたのかも知れないんだと、後で気付いたんだ。

「力をもらっただけじゃだめなのよ。発揮しなきゃ」

　麻友さんも、８月４日からの連続ドラマ『いつかこの雨がやむ日まで』や、９月１日からのミュージカル『シティ・オブ・エンジェルズ』、１０月６日のファンクラブイベントと、色々あるんだね。

「やっぱり、夫婦って、釣り合ってないと上手くいかないと思うの。太郎さんが、全く駄目な人じゃ、困るのよ」

　あくまで、結婚にこだわるのか。

「太郎さんと、動画作ってて、他の男の人ともつき合うなんていう器用なことは、私できないの」

　２３歳も、離れてても、いいのかい？

「太郎さんが、結婚、結婚って、言ったんじゃない」

　それは、認める。

　でも、私たちは、特別なカップルだからね。

　社会で弱い立場にいる人達の気持ちも、分かってあげられなきゃいけないんだよ。

「私が、太郎さんを選んだ段階で、その意思表示はできてるわ。さあ、『ホーキング＆エリス』訳し始めて」

　じゃあ、始めるか。

「じゃあね」

　うん。バイバイ。

　現在２０１８年６月２３日１４時５１分である。おしまい。

2018-06-12

大圏コース

　現在２０１８年５月２８日２０時０９分である。

「飛行機の話？」

　麻友さんは、ロサンゼルスに行ったことがあったね。

「ええ、何度か行ってるわ」

　船で行ったはずはないから、飛行機で行ったんだよね。

「もちろんよ。ああ、それで、太平洋をどんなコースで越えたか？　というのね」

　そう。

「あれ、良く分からないのよ。地図で見るとちょっと北に遠回りしているみたいに、飛ぶのよね」

「こんな感じ」

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　そうだ。

　そもそも、大圏コースというのは、大気圏（たいきけん）を飛ぶときのコースだから、大圏（たいけん）コースと呼ぶのではない。

「えっ、違うの？」

　大圏（たいけん）というのは、本来、数学で言う大円（だいえん）のことであり、球を、その中心を通る平面で切ったとき、切り口に現れる円のことだ。

「なぜ、大円というの？」

　その球を、平面で切る場合、その大円より半径の大きい円は、現れないからだよ。

「えーと、ああ、球の中心を通るんだから、そうか」

　飲み込んだね。

　さて、恐らく麻友さんが、ロサンゼルスへ行ったときも、飛行機は、大圏コースを飛んだはずだ。なぜだっけ？

「それが、最短コースだからだというのよ」

　そうだね、燃料が一番少なくなるようにしたんだよね。

「あの、偏西風とかいうのも、関係してるの？」

　ああ、今、偏西風は、考慮しない。

　実際にパイロットが飛ぶときは、単純に距離が短いかだけでなく、風の向きや気流の速さを考慮に入れるだろうけど、私は、そこまでは、分からない。

「遠回りしてるのに、どうして最短コースなの？」

　そこで、遠回りしてる、と思うのは、麻友さんが、メルカトル図法の地図を思い浮かべているからなんだよ。

「メルカトル図法？　ああ、何々図法って、何種類もあったわね」

　私は、大学受験のとき、社会は地理を選択したんだけどね、地理をその人がちゃんと勉強したかどうかを判定する判定法を教わったんだ。

「地理を勉強したかどうかの判定法？」

　麻友さん。東大宮でも良いし、秋葉原でもいいんだけどね、そこから、方位磁石でどっちが東かな？って測定するんだ。

「つまり、コンパスで、東の方角を決めるのね」

　そう。そして、一度決めたら、もうコンパスは見ず、まっすぐ東と決めた方角に、ずーっと進むんだ。海があったら船に乗って、どんどん進んで、どこの国に着くと思う？

「普通に考えると、日本の東は、アメリカだけど、それじゃ、判定法にならないわね。どうなるの？」

　さすが、特待生。うまく逃げたけど、それじゃあ、確かに、バラエティ番組で、勝てないなあ。

「えっ、ヒントがあったの？」

　これは、何の科目の問題だっけ？

「地理でしょ。あっ、そうか、チリ、なんだ。そうでしょ」

　そう。チリなんだよ。だから、チリと答えないと、地理は及第点もらえないんだ。

「やられた。でも、太郎さん、地理は、センター試験、どれくらいだったの？」

　１００点中、４７点くらいだった。全然勉強してなかったんだよ。

「２次試験は？」

　理系は、社会は、センター試験だけなんだよ。

「太郎さん、社会は、苦手なのね。私は、結構、社会好きだったわよ。だから、『ＡＫＢ４８中学社会』で、一番活躍してるでしょう」

　うん。それは、一目で分かったけど、『ＡＫＢ４８中学社会』は、ちょっと語呂合わせがひどすぎて、取り上げにくかった。

「ああ、あれは、ちょっと、やり過ぎね」

　でも、私、社会科の中でも、現代社会っていうのかなあ、公民っていうのは、すごく好きだったよ。

「面白いわよね」

　さて、東大宮から、東へ、まっすぐまっすぐ進むとチリに着くということは、そのコースが、東大宮からチリへの最短コースのはずだよね。

「どうして、そんなことが、言えるの？」

　だって、まっすぐまっすぐ進んでるんだから。

「ドラミちゃんの話みたいに、地中を掘り進んだら？」

　あっ、それは、考えなかった。地表を進む場合だといわなければ、ならなかったね。

「太郎さんは、ドラえもんなのよ。普通の人が考えつかないことを、考えつかなきゃ」

　『逆襲のまゆゆ』か？

「チリへの最短コースだとすると、どうなるの？」

　もし、真東に、まっすぐ進んで、南半球のチリならば、チリよりも北にある、アメリカへ、最短コースで行きたいなら、真東より少し北に向かって、出発しなければならないことが、分かるだろうか。

「つまり、ロサンゼルスへの最短コースは、チリより北寄りのはずだから、東大宮から東北東くらいをめがけて、出発しなければ、ならないのね」

　これが、北に遠回りするみたいに飛ぶという謎に対する答えだよ。

「分かったわ。面白い話をしてくれて、ありがとう」

　ここまでは、オーバーチュアなんだ。

「えっ、この上、なんの話を？」

　まだ、計算はできないんだけど、非ユークリッド幾何学というものを、少し味わわせてあげようと思ってね。

「準備が大変だっていってたけど」

　完璧には分からなくて、不満も残ると思う。でも、大学入学時の一般相対性理論を学びはじめた頃の私は、こんな感じだったのだから、そんなに、不平ばかりも言わなくて良いのではないかと思う。

「どうやって説明してくれるの？」

　さっきの、東大宮からまっすぐまっすぐ行った地表面上の曲線は、地球の大円の一部になっている、ということに、気付いただろうか？

「大円の一部って？」

　つまり、チリの例えばサンティアゴに着いたとして、サンティアゴと東大宮と地球の中心の３点を固定すると、その３点を通る平面は１つしかない、というのが、分かるだろうか？

「えっ、太郎さん。めちゃくちゃ難しい話をしてるわよ」

　これは、こう考えると、分かりやすい。

　今、空間に２点を与えると、その２点を通る直線が、１本だけ決まる。

「２点を与えるって？」

『この点と、この点に、注目しますよ』

と、宣言することだな。

「２点を通る、直線は、１本だけなの？」

　２点を通る直線は、１本だけ、というのは、証明できないけど、２点の最短コースは、普通は、１つだよね。

「どうして証明できないの？」

　地球の北極と南極を２点として、地表の最短コースを直線と呼ぶと、経線が全部最短コースになるから、２点を通る直線は、無限にあることになる。だから、反例があって、証明できない。あっ、今、この話は、分からなくていい。

「？？？」

　とりあえず、２点を決めると、その２点を通る直線は、１本だ。

　その１本の直線を含む平面は、その直線をちょうつがいの軸のようにして、扉をグルグルまわしたもののように、たくさんの平面が考えられて、無限にあるね。

「とりあえず、それは、認めましょう」

　さて、最初の２点を通る直線上にない、別な１点を決めると、グルグルまわしていた平面のうちの１つだけが、その点を通るよね。

「ちょっと、絵を描いて」

　分かった。

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　こういう状況の話をしている。

「ああ、こういうこと。最初の２点が、 ${\mathrm{P_1}}$ と、 ${\mathrm{P_2}}$ なわけね。３番目の点、 ${\mathrm{P_3}}$ を決めると、その３点を通る平面が、ひとつだけ存在する。確かに、そうね」

　やっぱり、絵を描くと分かることは、たくさんあるね。

「そりゃ、そうよ。 ${\mathrm{Seeing\ is\ believing.}}$ （百聞は一見にしかず）ですもの。太郎さん、もっと絵を描いてよ」

　必要な場合には、書くけどね。私、大学入学早々、化学の実験レポートで、『絵で説明しすぎです』と、怒られたことがあるんだ。

「レポートで、絵を描くと、怒られるの？」

　文章で、説明できることまで、絵で説明しちゃいけません。ということだったんだ。

「絵で描いて分かることだったら、絵を描けば良いじゃないのにね」

　レポートで絵を描くということは、ある意味、説明をサボることなんだ。

　絵のあるマンガ、例えば麻友さんの好きな『ハチミツとクローバー』と、絵のない文章、例えば麻友さんが挙げた『キッチン』と、だったら、絶対『ハチミツとクローバー』の方が、書いた人のイメージが読者にストレートに伝わるよね。絵があるんだから、勝手に妄想が膨らむ余地は少ないわけだから。

　文章の『キッチン』の方だったら、同じ文章読んでも、人それぞれ、思い描く世界は、千差万別。書いた人のイメージを遙かに越えて、想像する人もいる。

　だけどね、科学のレポートでは、読む人が、色んなことを思い浮かべられて、書いてあることと反対のことまでを、書いてあったように思わせてしまっては、いけないんだよね。

　だから、曖昧さのないレポートを書けるように鍛えようとして、化学の先生は、『絵で説明しすぎです』と、怒ってくれたのだと思う。

「大学の理学部って、本当に恐ろしいところね」

　さて、３点で、ひとつの平面が決まるのだから、サンティアゴと東大宮と地球の中心の３点を固定すると、その３点を通る平面は１つしかない、と言えるだろう。

「ああ、分かったわ。そういうことだったのね」

　そして、この平面が、地球の中心を通っているのだから、この平面が地表から切り取るのは、大円だね。

「大円の定義は、球の中心を通る平面で切った切り口の円ですものね」

　そう。特待生ぶり全開。

　そして、東大宮からまっすぐまっすぐ行った地表面上の曲線は、地球の大円の一部になっている、というのも、今は、分かるだろう。

「東大宮からまっすぐまっすぐサンティアゴへ行ったコースが、東大宮とサンティアゴを通る大円の一部と一致するというのは、どうして、分かるの？」

　まず、東大宮とサンティアゴを通る大円の一部の曲線は、地球が丸いことによる上下はあるけれど、進んで行く上で、右にも左にも曲がりようがないということが、分かるだろうか？

「また、ちょっと絵を描いてよ」

　分かった。

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　右に曲がるとか、左に曲がる、というのは、こういうこと。

「でも、それは、大円を基準にして、ということじゃない？」

　ただ、大円は、平面で切ったものだから、曲がらないものの基準にして良いと思わない？

「ああ、まあ、そうね」

　だとすると、東大宮からまっすぐまっすぐ行った地表面の曲線は、地球の大円の一部になっていると思って良いだろう。

「結構、強引ね」

　計算して見せられないから、論理で押し通すしかないんだ。

「さっきの絵によると、そう見えるけどね」

　さて、ここで、現代の幾何学の重要な言葉を、ひとつ教えよう。

「面白いもの？」

　『測地線（そくちせん）』っていうんだ。

「測地って、測量のことでしょう。江戸時代に伊能忠敬（いのう　ただたか）が、日本中を測量して、日本地図を作ったのよね」

　さすが、社会は、得意だね。

　私は、今回のために、誰だったか調べたんだ。

「太郎さん、日本史は、苦手ね。この間、小林りんさんに、高３のとき日本史で、追試になりました。とか書いてたわね。どうして、追試になんかなったの？」

　高校生って、麻友さんは知らないかも知れないけど、３年生ともなると、大学入試のことしか頭になくなるんだ。私の場合、横浜翠嵐高校のときは、３年生で履修する倫理政経（りんりせいけい、つまり倫理・政治・経済）で、社会を乗り切ろうと思っていた。ところが、広島井口高校へ転校したら、『倫理政経は、１年生でやりました』と、言われた。がっかりだったけど、２年生で地理を履修した。

　さて、３年になると、まだ科目としては日本史が残っているけど、大学入試にまったく必要ない。

　そういう人が、私のクラスにも４５人中３０人くらいいた。

　先生も、真面目に授業を受ける気のない生徒に授業するのも嫌だったので、授業の邪魔をしなければ、私の授業中は、他の教科を勉強して良い、といったんだ。

「えー、じゃあ、ただ、単位をくれるということ？」

　先生も、それでは、困るので、毎週１回試験をして、５０点中２５点以上取れば、その週は合格とすることにした。

　授業を、ノートも取らず、ただ聞いていて、試験で半分取るというのは、結構大変なんだよね。

「ああ、それで、試験に落ちたのね」

　そう。１回だけ、２４点で、不合格になった。

「日本史だったら、時代があるでしょう。何時代の頃の試験で、追試になったの？」

　確か、鎌倉時代から、室町時代の頃だった。

「太郎さん、他に、追試とか、なったこと、ないの？」

　大学に入ってからは、レポート再提出とか、ドイツ語再履修とか、華々しくやったけど、高校時代は、追試は１回だけ。

「本当のところを、知りたいんだけど、太郎さん中学高校と、数学と物理は、５段階評価なら５、１０段階評価なら１０、で、綺麗にそろってるの？」

　以前高校の成績証明書というのを取り寄せたことがあるんだけど、全部５や１０がならんでたけど、あれは、ちょっとウソなんだよね。

「１０じゃないこともあったの？」

　各学期の成績は、全部１０であるのは本当なんだけど、高校３年生のとき、夏休みの成績というのを、先生が通信簿に書いてきたことがあるんだ。

「夏休みの成績？」

　さっきから言ってるように、高３になると、私の場合もう勉強しなくても良い数学は、易しいことはやらなくなる。だから、夏休みの宿題として、先生が出した数学のドリルは、１問しか解かずに提出したんだ。だから、夏休みの成績では、数学は１０段階評価の７がついている。

「それは、太郎さんが、言わなければ、歴史から消えていった数字ね」

　７のはんこうを押した先生が覚えているのだから、記録の改ざんなんてできない。

「あ、そうか。でも、太郎さんに取って、学校の数学は、軽く１０が取れるものだったのね」

　いや、授業をきちんと聞いていれば、１０が取れるけど、授業を聞いてないと、すぐ駄目になるものだったんだ。

「授業を、聞いてないと？」

　私、高校１年の後期の後半、数学が、座標幾何学に入ったところで、授業中、三角形の垂心を求めることに、熱中したんだ。

「垂心を求めるって？」

　三角形 ${ABC}$ の、３点 ${A(x_1,y_1),}$ ${B(x_2,y_2),}$ ${C(x_3,y_3)}$ が与えられたとき、各点から向かいの辺へ垂線を下ろすと、１点で交わる。その点を垂心（すいしん）という。その垂心の座標を求めようと計算してたんだ。

「求まった？」

　求まらない。

「じゃあ、答えは？」

　多分、高校１，２年生の教科書に書いてあるんだろうけど、私は、知らない。

「どうして、ほっぽらかしてあるの。今からでも、求めれば？」

　必要になったら、求めるか、本を読むけど、今は、必要ないから、いいんだよ。

　この問題は、授業を聞いていないと、数学でも分からなくなる、という記念の問題なんだから。

「どうして、記念なの？」

　学期末試験で、５問、問題が出た中で、３番か何かが、これだったんだよ。

「太郎さん解けないじゃない」

　そう。だから、他の４問はすべて解けたけど、これだけ解けなくて、８０点。

　本当なら、１０は危ういところだったけど、学期末だったので、１年のトータルなので、６回の試験中３回１００点を取ってあったので、かろうじて１０をもらった。

「まっすぐ伸びたような、太郎さんの数学でも、そんなことが、あったのね」

　まっすぐな線。それを、数学では、測地線という。

「測地線というのは、どういうものなの？」

　測地と言って、麻友さんが、測量を思い浮かべたように、測量するとき、ピーンと張る線が、測地線のイメージだ。

「つまり、最短距離の線ね」

　そうだ。

　だが、ピーンのイメージが、広い範囲の測量をするときは、違ってくる。

「あっ、そうか。地球が丸いからか」

　その通り。

「分かった。そこで、さっきの、まっすぐまっすぐの議論を使うわけね」

　特待生、面目躍如。

「だとすると、地球を測量するときの、ピーンの線、つまり測地線は、大円ということなのね」

　それを、一気に言って欲しくて、ちょっと道草食っていた。

「地表にいる人間にとって、測地線が、大円だとすると、どの２つの大円も交わることにならない？」

　そうだよね。例えば、地球を一周する縦の線、経線は、全部、北極点と南極点で、交わるものね。

「測地線って、まっすぐな線でしょ、つまり、直線みたいなもの。だとすると、どんな２本の直線も、交わるみたいなことになっちゃう」

　私、公約果たしたね。

「えっ、何が、公約よ。なんにも、分かってないわ」

　地表面上。つまり、２次元の球面上の幾何学では、永遠に交わらない直線、つまり平行線というものは、１本も引けない。言い換えれば、どんな、平行線も交わってしまう。

　非ユークリッド幾何学って、こういうものだったんだよ。

「日本史の話したり、数学の成績の話したりして、油断させといて、一気に攻め込んだわね。でも、言ってることは、なんとなく分かったわ」

　今話したことを、数学的に数値を入れて、計算するには、微分積分の親玉の解析学というものが、必要になる。

　麻友さんと、そういうところも含む、数学の動画が作れたらいいね。

「太郎さん、どんどん、先走るから・・・」

　じゃまた。バイバイ。

「バイバイ」

　現在２０１８年６月１２日１８時５９分である。

相対性理論を学びたい人のために

まだ一度も相対性理論を勉強したことのない人は、何か一冊相対性理論の本を読みかじってみて、なぜこんなことが？という、疑問を持ってからこのブログに来てください。

ようこそ諸君

数学を専攻するとはどういうことか（その２）

大圏コース