相対性理論を学びたい人のために

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問題18解答(その3)

 現在2023年12月29日10時29分である。(この投稿は、ほぼ2622文字)

麻友「昨日、書いてこなかった」

私「昼間、ブルバキの復習をしていて、夕方は、花月嵐に、ラーメン食べに行ってた」

若菜「お母さんと、一緒に食べに行くと、何年も前から言っている、花月嵐(かげつあらし)。実現しませんね」

麻友「太郎さんの、片恋慕なのよ」

結弦「そんなことは、分かってるけど、お母さんだって、このブログ見てる」

麻友「今日こそ、決着付けて」


私「問題と、解答持ってこよう」

麻友「どこに、クーロンの法則が、使われているの?」

私「糸の長さが、{l} だろう。二等辺三角形に垂線を下ろすと、小さい方の角は、{\theta} になるな。だから、二等辺三角形の底辺の半分は、{l \sin{\theta}} だな。だから、底辺は、2倍して、{2l \sin{\theta}} だ。よって、クーロンの法則の、{r} が、{r=2l \sin{\theta}} になっている。私達の書き方では、

{\displaystyle F=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{qq'}{r^2}.}

より、

{\displaystyle F=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{qq'}{(2l \sin{\theta})^2}=\frac{qq'}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{1}{(2l \sin{\theta})^2}}

となる。問題では、{\displaystyle q_1,q_2} となっているから、

{\displaystyle F=\frac{q_1q_2}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{1}{(2l \sin{\theta})^2}}

として計算。

{\displaystyle F=\frac{q_1q_2}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{1}{4l^2 \sin^2{\theta}}=\frac{q_1q_2}{16 \pi \varepsilon_0 l^2 \sin^2{\theta}}.} (1)

というのが、(1)式。

麻友「ちょっと待って、その最後の式に、『.』って、点が打ってあるの、意味があるの?」

私「これね、英語圏の人なんかは、ピリオドの積もりで、打っているの。文末のピリオドね。でも、日本人は、本来『、』と『。』だから、あまり気にしなくて良いよ。この式で文末だなと思ったら、打てば良い」

若菜「ピリオドだったんですか。私も、式の後ろに、ときどきある点を、変だなと思って来ました」


結弦「それで、クーロンの法則も、使ったし、終わりにする?」


麻友「模範解答見れば、大体分かるのよ。でも、

****************************

 水平方向 {F=T \sin{\theta}}

 鉛直方向 {mg=T \cos{\theta}}

となり,これらの式から {T} を消去して

****************************

の部分が、分からない」


私「これは、水平方向の式を、垂直方向の式で、割るだけだよ」

麻友「

{\displaystyle \frac{F}{mg}=\frac{T \sin{\theta}}{T \cos{\theta}}}

{\displaystyle \frac{F}{mg}=\frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}}

{\displaystyle \frac{F}{mg}=\tan{\theta}}

{\displaystyle F=mg \tan{\theta}}

ということ? 何だ、それだけか」

若菜「ホント言うと、最後の方の、{q_1 \neq q_2} のとき {\displaystyle (q_1+q_2)^2/4>q_1 q_2} という不等式も、分からなかったですけど」

私「それは、相加平均{\geqq}相乗平均 {\displaystyle \frac{q_1+q_2}{2} \geqq \displaystyle \sqrt{q_1 q_2}} を、2乗したものだな」

若菜「あっ、そうか。等号成立は、2つが等しいときでしたね」


結弦「最後まで、気が抜けないんだよ。『{\theta < \pi/2} のとき {\displaystyle \sin^3{\theta}/\cos{\theta}} は、単調増加関数である』というのは、どうすればいいの?」

私「三角関数のグラフを、思い浮かべてご覧。0度から、90度まで、{\sin} は、{0} から {1} まで、ずっと増加していく。一方、{\cos} は、 {1} から {0} まで、ずっと、減少していく。{\sin} は、そのまま増加で、{\cos} は、分母にあるから、減少してたのが、増加に働いて、結局、{\displaystyle \sin^3{\theta}/\cos{\theta}} は、90度まで、単調増加だ」

結弦「単調というのは?」

私「途中で、止まらないということ」

結弦「分かった」


麻友「確かに太郎さんくらいになると、この大学1年生向けの電磁気学の問題集の1番最初の例題くらい、何でも無く解けるのね」

私「物理学のプロを目指していた。というより、歴史上最高の数学者で物理学者だから」

麻友「はいはい。取り敢えず投稿して」

私「じゃあ、解散」

 現在2023年12月29日12時39分である。おしまい。