数学を悟ってみて（その１０） - 相対性理論を学びたい人のために

　現在２０２０年１２月２日４時２９分である。（この投稿は、ほぼ７４９２文字）

麻友「随分早い時間ね」

私「３時３０分に、目が覚めちゃって、ヤクルト飲んで、もう一度、ベッドに入ったけど、眠れそうになかったから、３時５４分に起きて、ご飯を仕掛けたんだ」

若菜「もう炊けてるかも」

私「うん。炊けた。朝食にする」

結弦「おかずは、有ったの？」

私「ふりかけとごま塩とキムチが、有った」

若菜「要するに、冷凍食品も、納豆も、なかったんですね」

私「今日、お昼にマックへ行った帰りに、西友で冷凍パスタ、買ってくる」

麻友「料理している暇ないか」

若菜「三角関数、 ${\cos{z},\sin{z}}$ を、整級数で、定義した後、先に進んでませんが」

麻友「三角関数を、次のように、定義した」

$\cos{z}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!} z^{2n}=1-\frac{1}{2!} z^2+\frac{1}{4!} z^4-\frac{1}{6!} z^6 \cdots$

$=1-\frac{1}{2} z^2+\frac{1}{24} z^4-\frac{1}{720} z^6 \cdots$

$\sin{z}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} z^{2n+1}=\frac{1}{1!} z -\frac{1}{3!} z^3 + \frac{1}{5!} z^5 \cdots$

$= z -\frac{1}{6} z^3 + \frac{1}{120} z^5 -\frac{1}{5040} z^7 \cdots$

若菜「この、 ${\cos{z},\sin{z}}$ は、 ${(\cos{z},\sin{z})}$ としたとき、点 ${(x,y)=(\cos{z},\sin{z})}$ は、本当に、私の円の式、 ${x^2+y^2=1}$ を、満たすんでしょうかね？」

私「若菜、パンドラの箱を、開けてしまったな。でも、証明してあげよう」

麻友「なんか、恐ろしいことに、なりそう」

私「まず、 ${\cos{z},\sin{z}}$ の、 ${z}$ を、実数とするので、強調するために、 ${x}$ で、置き換える。これは、どうということではない。 ${\cos{x},\sin{x}}$ とするだけだ。そして、整級数の定義も、もっと精密にする。まず、 ${n}$ を、無限大に飛ばさず、有限のところで、止める。

$C_n(x)=\sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{(2k)!} z^{2k}=1-\frac{1}{2!} x^2+\frac{1}{4!} x^4-\frac{1}{6!} x^6 \cdots +(-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}$

$=1-\frac{1}{2} x^2+\frac{1}{24} x^4-\frac{1}{720} x^6 \cdots +(-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}$

$S_n(x)=\sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{(2k+1)!} z^{2k+1}=\frac{1}{1!} k -\frac{1}{3!} k^3 + \frac{1}{5!} k^5 \cdots +(-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$

$= x -\frac{1}{6} x^3 + \frac{1}{120} x^5 -\frac{1}{5040} x^7 \cdots +(-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$

これらは、 ${n=0,1,2,\cdots}$ で、定義されているものとする。 ${n}$ が、無限大でも、収束するのだから、有限の、 ${n}$ でも、和が求まる」

結弦「その、 $\sum_{k=0}^{n}$ という記号は、 ${k=0}$ から、 ${n}$ まで、 ${1}$ ずつ、 ${k}$ を増やして、足し合わせるという記号だよね」

私「そう。こうすると、

$\cos x=\lim_{n \rightarrow \infty} C_n(x)=1-\frac{1}{2!} x^2+\frac{1}{4!} x^4-\frac{1}{6!} x^6 \cdots$

$\sin x=\lim_{n \rightarrow \infty} S_n(x)=x -\frac{1}{6} x^3 + \frac{1}{120} x^5 -\frac{1}{5040} x^7 \cdots$

と、改めて、精密に定義できる」

若菜「今更ですが、 $\lim_{n \rightarrow \infty}$ は、『微分・積分入門』で、出てきた、極限の記号ですね」

微分・積分入門 (1964年)

作者:山口恭
メディア: －

私「今の場合、数列、 ${a_n}$ で、 ${n}$ をどんどん大きくしたとき、ある数、 ${a}$ に、近付いていくとき、そのある数を、収束先と言い、 ${\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} a_n =a}$ と、書くんだ。例えば、 $a_ｎ=2+\frac{3}{4n}$ としたら、 $\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = 2$ みたいにね。もう、知っているものと思って、どんどん使ってしまったね」

結弦「『もう、手加減しない』って、言ってたもんね」

私「やっと、ちょっと眠くなってきた。しばらく寝るよ」

麻友「おやすみ」

　現在２０２０年１２月２日６時５９分である。中断。

　現在２０２０年１２月２日１７時５６分である。再開。

麻友「７時から、今まで寝ていたの？」

私「いや、１１時２分に起き、マックへ行き、『数学基礎概説』と、『解析入門Ⅰ』で、証明のチェックをして、『麻友７１』のノートに、筋の通った証明を、書き入れて行った」

若菜「お父さんが、ノートに証明書くときって、一切省略なしに、書くの？」

私「あまり、自分に取って、当たり前なことまで、証明書いていると、集中力が落ちるから、自分に取っても、第３者にとっても、当たり前そうなことは、『以下の定理は認める』みたいに、飛ばすこともある」

結弦「その第３者という人の、レヴェルは？」

私「京都大学理学部に合格し、理学部で１年、数学の授業に出たくらいの人を、仮定している。つまり、ブルバキが読者として仮定しているレヴェルだ」

麻友「ちょっと、私達に、そういうレヴェルを、要求しているの？」

私「あのー、なんでもそうなんだけど、数学でも、ポイントとか、山場とか、難所とか、言われるところがあって、ここを押さえておけば、これに関しては、もう十分、みたいなものが、あっちこっちにあるのね。私は、そういうところを、分かるように、麻友さん達に、教えている。だから、５年半も経った今では、麻友さん達に、ブルバキレヴェルを要求しても、結構付いてこられるはずだ」

若菜「お父さんは、ポイントか、どうかを、どうやって判定しているんですか？」

私「自分が苦労した場所とか、色んな参考書で、絵を描いたりして、丁寧に説明してある部分とかだよ。ポイントというのは」

結弦「今回の証明で、見ていよう」

私「そろそろ、イライラしてきただろうから、 ${\pi}$ を、定義しよう。若菜が、最後に言ったように、 ${\cos x}$ で、最初に ${\cos x =0}$ となる、 ${x}$ を、仮に、 ${\beta_0}$ としよう。 ${\beta}$ を使ったのは、『数学基礎概説』で、そうなっているからだ。いずれ、 ${2 \beta_0 =\pi}$ となるのは、分かっているね」

若菜「つまり、 $\cos \frac{\pi}{2}=0$ だからですね」

私「そう」

若菜「でも、最初に ${0}$ になるところかどうかは、これだけでは、分かりませんね」

私「 ${\cos{0}=1}$ は、整級数の定義でも、当然。

　一方、

$\cos 2 =\biggl[1-\biggl(\frac{2^2}{2!}-\frac{2^4}{4!} \biggr) \biggr]-\biggl(\frac{2^6}{6!}-\frac{2^8}{8!} \biggr) \cdots - \biggl(\frac{2^{4n-2}}{(4n-2)!}-\frac{2^{4n}}{(4n)!} \biggr)- \cdots$

で、 ${n \geqq 1}$ に対して、

$\frac{2^{4n-2}}{(4n-2)!}-\frac{2^{4n}}{(4n)!}=\frac{2^{4n-2}}{(4n)!}(4n(4n-1)-2^2) \geqq \frac{2^{4n-2}}{(4n)!}(4 \times 3-4) >0$

だから、後ろの方の項は、すべて正なのだ。正の数を引いているので、それらをどけると、

$\biggl[1-\biggl(\frac{2^2}{2!}-\frac{2^4}{4!} \biggr) \biggr]$

は、

${\cos 2}$ より、大きくなる（こういう部分は、自分で納得できるまで、頭を働かせて、チェックしてね）。

　そして、

$\cos 2 \leqq \biggl[1- \biggl(\frac{2^2}{2!}-\frac{2^4}{4!} \biggr) \biggr]=1-\biggl(2-\frac{2}{3} \biggr)=-\frac{1}{3}$

と、 ${x=2}$ では、既に、マイナスになっている。

　そうすると、 ${\{x|0 \leqq x \leqq 2 \}}$ の中に、 ${\beta_0}$ の他に、 ${\cos x =0}$ となる、 ${\beta}$ が、あるかどうか、疑問が残るよね」

若菜「わぁ、問題って、こんなに、明確に、解いていくんだ。お父さん、学校のテストでも、こうだったの？」

私「私の頭が、正常に戻って、やっとこういうことが、できるように、なった」

麻友「今、太郎さん、幸せ？」

私「うん。幸せ」

麻友「太郎さんのお誕生日、祝いに行ってあげなくて、良いわね」

私「若菜～。結弦～。なんとか、お母さんを、会いに来てくれるように、説得してよ」

若菜「十分、会話しているじゃ、ないですか」

私「本物の、生身の麻友さんと、差し向かいで、しゃべりたいんだよ」

結弦「しゃべるだけなら、ＡＫＢ４８に、いたとき、握手会に、行けば良かったのに」

麻友「私との話に、逃げない。 ${\beta_0}$ が、最初に、 ${\cos x}$ が、 ${0}$ になる実数だと、証明しなさい」

私「まず、 ${\beta_0}$ が、最初に、 ${\cos{x}=0}$ となる、 ${x}$ だと、頭から、定義しよう。そのとき、もちろん、 ${\cos{\beta_0}=0}$ だ。このとき、 ${(x,y)=(\cos x,\sin x)}$ が、若菜が言っている、円 ${x^2+y^2=1}$ の円周上の点なら、 ${\cos^2 x+\sin^2 x =1}$ のはずだ」

結弦「当たり前の式じゃない？」

私「言っておくけど、私達は、円と関係ない、整級数で、三角関数を、定義しているんだよ。 ${\cos^2 x+\sin^2 x =1}$ は、当たり前じゃない」

若菜「私が、パンドラの箱を開けてしまったって、そのことですか？」

私「そうだ。でも、これは、証明できる。実は、私達の、整級数を用いた、三角関数の定義でも、

　定理　（三角関数の自乗の和と加法定理）

（１） ${\cos^2 x+\sin^2 x =1}$

（２） ${\sin(x+y)=\sin x \times \cos y + \cos x \times \sin y}$

（３） ${\cos(x+y)=\cos x \times \cos y -\sin x \times \sin y}$

は、証明できる。だけど、今日は、もう２１時３４分になってしまったから、その証明は、明日にしよう。差し当たって、 ${\cos x,\sin x}$ が、定義されているとして、 ${\tan x}$ を、定義しよう」

麻友「もちろん、 $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$ でしょ？」

私「そう。ただこれを、微分したいとなったとき、麻友さんには、まだ無理だろう」

麻友「私は、 ${(x^6)’=6x^5}$ みたいなのしか、知らない」

私「これは、非常に重要な武器なので、知っておく必要が、ある。まず、積の微分法（せきのびぶんほう）と呼ばれる、次の式。

$\{f(x)g(x)\}’=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}g(x+\Delta x)+\lim_{\Delta x \rightarrow 0} f(x)\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}$