問題１７解答（その３） - 相対性理論を学びたい人のために

An Outline of Set Theory (Problem Books in Mathematics)

作者:Henle, James M.
Springer

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　この投稿は、５日間下書き状態に、なっていた。（この投稿は、ほぼ４０２５文字）

　現在２０２３年９月３０日２０時１２分である。

麻友「太郎さん。次回通院のとき、認知症が進んでいるか、検査受けるのよね。恐くない？」

私「それほど、恐くはない。自分自身で、ブログ書いてるときとか、記憶力が、どんどん衰えて行ってるの、感じているから」

若菜「どう、衰えて行ってるのですか？」

私「最近（この言葉は、昨日なのか、８年前なのか、決して明らかではない）この投稿みたいに、『（その３）』みたいに、番号付けるとき、その（その２）のブログを直前まで、読んでいて、『記事を書く』ボタンを、押して、新しいフォーマットが、用意されただけで、もう直前まで、何番（この場合『２』）まで進んでいたか、思い出せなくて、過去ログを、見返す。こういう事態が常態化し、最近は、直前まで読んでいた、ひとつ前の投稿のタブを残しておいて、新しいタブで、新しい投稿を、書くように、なった。これは、少なくとも、麻友さんが引退した、２０２０年よりも前からのことだ。つまり、麻友さんが、引退してくれたのは、遅きに失した感が有る」

結弦「『遅きに失した感が有る』？　どういう意味？」

若菜「頭、働いているじゃないですか」

麻友「違うのよ。電子辞書で、カッコいい言葉を見つけたから、得意になって使っているのよ」

若菜「あっ、（アルゼンチンの昔話の『四人の子ども』の）ハチドリ状態ですか」

結弦「問題の答えは？」

私「そうだったね。

　問題＃1

　この演習問題では、この世に存在する集合は次のものだけであると仮定する。

　 ${a=\{b,c\},b=\{~~~\},c=\{e\},d=\{c,e\},e=\{b\}}$

　この記号は、 ${a}$ の要素は ${b}$ と ${c}$ のみで ${b}$ は要素を含まない、などの意味である。

とあって、

１．以下の文のうちどれが真か？

${\mathrm{(i)}b \in e~~\mathrm{(ii)}e \in b~~\mathrm{(iii)}b \in d~~\mathrm{(iv)}(a \in c \vee c \in d)}$

${\mathrm{(v)}(b \in c \Rightarrow a \in a)~~\mathrm{(vi)}(e \in d \Leftrightarrow d \in e)}$

${\mathrm{(vii)}(e \in c \wedge a \in c)~~\mathrm{(viii)}\forall_x \neg (x \in b)~~\mathrm{(ix)}\forall_q(q \in c \Rightarrow q \in a)}$

${\mathrm{(x)}\forall_n(n \in e \Rightarrow n \in a)~~\mathrm{(xi)} \exists _k (k \in d)~~\mathrm{(xii)} \forall_s \exists_t (s \in t)}$

${\mathrm{(xiii)}\forall_s \exists_t(t \in s)~~\mathrm{(xiv)} \exists_h \forall_i ((i \in e \Rightarrow i \in h) \wedge \neg h=e )}$

${\mathrm{(xv)}\exists_g \exists_w ((g \in e \wedge w \in e ) \wedge \neg g=w)}$

と、１５問ある。 ${\mathrm{(i)～(iv)}}$ は、解いたのだった」

私「ここまで、書いて、私が、この問題集の解答を、作るのに、どれほどの価値があるのだろうかと、疑問に思った。文末で、解答は書くが、良く考えてみると、私自身苦労したり、失敗した部分や、まだ解いていない＃１６以降の問題を、解いた方が、良いのではないか？　本当は、麻友さんは、読んでくれてないのかも、知れないし」

若菜「それを、言っちゃおしまいです。渡辺麻友さんが、読んでくれている。というのが、このブログの大前提なのですから」

私「この投稿が、５日間も、何度も投稿を忘れて、後で、『あの投稿どこ行った？』と、ブログ中探し回り、『ああ、まだ下書きのところに、有ったんだ』と、がっかりし、それでも、今日まで投稿できなかったのが、私の認知症の進行の程度を、物語っている」

私「公約通り解答を書く。

${\mathrm{(i)}}$ 真， ${\mathrm{(ii)}}$ 偽， ${\mathrm{(iii)}}$ 偽， ${\mathrm{(iv)}}$ 真，

${\mathrm{(v)}(b \in c \Rightarrow a \in a)}$ 真， ${\mathrm{(vi)}(e \in d \Leftrightarrow d \in e)}$ 偽，

${\mathrm{(vii)}(e \in c \wedge a \in c)}$ 偽， ${\mathrm{(viii)}\forall_x \neg (x \in b)}$ 真， ${\mathrm{(ix)}\forall_q(q \in c \Rightarrow q \in a)}$ 偽，

${\mathrm{(x)}\forall_n(n \in e \Rightarrow n \in a)}$ 真， ${\mathrm{(xi)} \exists _k (k \in d)}$ 真， ${\mathrm{(xii)} \forall_s \exists_t (s \in t)}$ 偽，

${\mathrm{(xiii)}\forall_s \exists_t(t \in s)}$ 偽， ${\mathrm{(xiv)} \exists_h \forall_i ((i \in e \Rightarrow i \in h) \wedge \neg h=e )}$ 真，

${\mathrm{(xv)}\exists_g \exists_w ((g \in e \wedge w \in e ) \wedge \neg g=w)}$ 偽。

以上だ」

麻友「書いた。説明は、なし？」

私「麻友さん。こんな、つまらない、二択の問題なんて、出して、申し訳なかった。若菜と結弦にも、申し訳なかった。今後、こんな問題を、出さぬよう、忘れやすくなっている私への、警告だったと、受け取ることにする」

若菜「高校生だったら、喜んで解くでしょうに」

私「いや、麻友さんに、出題しようと、３０分かけて、写していたときは、私も、ワクワクだった。でも、解いたから、私が、賢くなったかというと、全問正解で、大学時代より慣れたことは、確認取れたけど、それを、数学が好きかどうか分からない、麻友さんに説明を書くのは、辛くなった」

結弦「でも問題１７解答（その２） - 相対性理論を学びたい人のために
での、

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${\mathrm{(ii)}e \in b}$ 　私「逆向きは成り立っていないね。だから、偽」

麻友「でも、太郎さん。この問題の集合論では、成り立っていないけど、一般の集合論でも、 ${b \in e}$ かつ ${e \in b}$ は、同時には、成り立たないの？」

私「さすが、特待生の切れ。そう、 ${b \in e}$ かつ ${e \in b}$ は、同時に、成り立ってもいいんだ。だけど、これは、ノイマンの提案だと言われているんだけど、正則性の公理、或いは、基礎の公理、というのを、公理としておいて、普通は、その２つが、同時に成り立たない集合論にすることになっている。

${b \in e \in b}$ と、なっちゃって、いくらでも、底の深い集合が、できちゃうからね」