問題１７解答（その５） - 相対性理論を学びたい人のために

　現在２０２３年１２月３１日１７時３７分である。（この投稿は、ほぼ５１０４文字）

麻友「大晦日に、とうとうこの問題に、決着付ける？」

私「その積もりだ。まず、

　問題＃1

　この演習問題では、この世に存在する集合は次のものだけであると仮定する。

　 ${a=\{b,c\},b=\{~~~\},c=\{e\},d=\{c,e\},e=\{b\}}$

　この記号は、 ${a}$ の要素は ${b}$ と ${c}$ のみで ${b}$ は要素を含まない、などの意味である。

とあって、

１．以下の文のうちどれが真か？

${\mathrm{(i)}b \in e~~\mathrm{(ii)}e \in b~~\mathrm{(iii)}b \in d~~\mathrm{(iv)}(a \in c \vee c \in d)}$

${\mathrm{(v)}(b \in c \Rightarrow a \in a)~~\mathrm{(vi)}(e \in d \Leftrightarrow d \in e)}$

${\mathrm{(vii)}(e \in c \wedge a \in c)~~\mathrm{(viii)}\forall_x \neg (x \in b)~~\mathrm{(ix)}\forall_q(q \in c \Rightarrow q \in a)}$

${\mathrm{(x)}\forall_n(n \in e \Rightarrow n \in a)~~\mathrm{(xi)} \exists _k (k \in d)~~\mathrm{(xii)} \forall_s \exists_t (s \in t)}$

${\mathrm{(xiii)}\forall_s \exists_t(t \in s)~~\mathrm{(xiv)} \exists_h \forall_i ((i \in e \Rightarrow i \in h) \wedge \neg h=e )}$

${\mathrm{(xv)}\exists_g \exists_w ((g \in e \wedge w \in e ) \wedge \neg g=w)}$

と、１５問ある。 ${\mathrm{(i)～(iv)}}$ は、解いたのだった」

若菜「 ${\mathrm{(v)}(b \in c \Rightarrow a \in a)}$ は、 ${e=\{b\}}$ で、 ${c=\{e\}}$ ですから、 ${c=\{e\}=\{\{b\}\}}$ で、 ${c \ni b}$ なのかな？　って、思っちゃいそうですが、 ${c=\{\{b\}\}}$ と、 ${c=\{b\}}$ は、違うのですよね。だから、 ${b \notin c}$ です。よって、この論理式の、ならばの ${\Rightarrow}$ の、前件は、偽です。だから、後件の ${a \in a}$ が、成り立っていなくとも、この論理式は、真だと、分かります」

麻友「また、太郎さんに、聞きたいのよ。 ${a \in a}$ が、成り立つことは、あるの？」

私「拘るのは、良いことだ。これの場合も、いくらでも底が深い集合が、できてしまう。通常は、ノイマンの提案による、正則性の公理、または、基礎の公理を、置いて、こういう集合はできないようにするが、 ${a \in a}$ というような、集合は、集合じゃない、ということを、他の公理から、証明できるわけではない」

若菜「あまり、お母さんに、知恵を付けないで下さいよ。どんどん、恐ろしいモンスターに、なっていく」

結弦「お父さんは、それを、望んでいる」

麻友「じゃあ、 ${\mathrm{(vi)}(e \in d \Leftrightarrow d \in e)}$ に、挑戦。あれっ、まさに、お互いを要素とする集合。どうすれば、いいのかな？」

若菜「 ${\Leftrightarrow}$ の定義は？」

麻友「 ${(e \in d \Rightarrow d \in e) \wedge (d \in e \Rightarrow e \in d)}$ だった。あっ、具体的に、 ${d}$ と ${e}$ が、与えられているんだから、調べればいいんだ」

麻友「 ${d=\{c,e\},e=\{b\}}$ だから、 ${e \in d}$ は、真。一方、 ${d \in e}$ と仮定すると、 ${e=\{b\}}$ なんだけど、 ${b=\{~~~\}}$ と、 ${b}$ は、空集合。ところが、 ${d=\{c,e\}}$ で、 ${c=\{e\}}$ だから、 ${c}$ の部分に代入し、 ${d=\{\{e\},e\}}$ とできる。 ${e}$ を、何にしても、これは、空集合 ${b=\{~~~\}}$ とはならない。なぜなら、 ${d=b=\{~~~\}}$ なら、 ${\{\{e\},e\}=d=b=\{~~~\}}$ で、 ${d}$ の中身は、確かにあるのに、右辺では、中身がないことになっているのだから。これより、仮定 ${d \in e}$ と、 ${e=\{b\}}$ は、両立しない。よって、この集合論で、 ${d \in e}$ は、偽」

麻友「それで、

${(e \in d \Rightarrow d \in e) \wedge (d \in e \Rightarrow e \in d)}$

の、 ${e \in d \Rightarrow d \in e}$ は、前件が真。後件が、偽。あれっ、この場合、この論理式は、偽になるのよね。そうすると、かつ ${\wedge}$ の一方が、偽なんだから、両方合わせても偽。そういうわけで、 ${\mathrm{(vi)}}$ は、偽よ」

私「凄い。◯か✕だけだけど、こんなに徹底的に考えることになるとは、思わなかった」

麻友「どんなもんよ」

結弦「次は、僕。 ${\mathrm{(vii)}(e \in c \wedge a \in c)}$ は、 ${e}$ は、 ${c}$ の元。だけど、 ${a}$ は、 ${c}$ の元ではない。よって、命題は、偽」

結弦「ついでに、 ${\mathrm{(viii)}\forall_x \neg (x \in b)}$ は、『すべての ${x}$ について、 ${b}$ の元となることはない』。 ${b}$ は、空集合だから、当然だな。命題は、真」

若菜「私だって。 ${\mathrm{(ix)}\forall_q(q \in c \Rightarrow q \in a)}$ は、『任意の ${c}$ の元 ${q}$ は、 ${a}$ の元』。『 ${c}$ の元、 ${e}$ が、 ${a}$ の元になっていない』。よって、命題は、偽」

若菜「ついでに、 ${\mathrm{(x)}\forall_n(n \in e \Rightarrow n \in a)}$ は、『任意の ${e}$ の元 ${n}$ は、 ${a}$ の元』。『 ${e}$ の元、 ${b}$ が、 ${a}$ の元にちゃんとなっていて、これ以外に、 ${e}$ の元はない』よって、命題は、真」

麻友「１０番超えたわね。 ${\mathrm{(xi)} \exists _k (k \in d)}$ 『 ${d}$ の元となるものが、存在する』。確かに、 ${c}$ と、 ${e}$ とが、存在する。命題は、真」

結弦「 ${\mathrm{(xii)} \forall_s \exists_t (s \in t)}$ 『すべての、 ${s}$ について、 ${s \in t}$ となる ${t}$ が存在する』。これは、つまり、すべての集合が、どこかの元になっているという主張だけど、 ${a}$ と、 ${d}$ は、他の集合のやっかいになってない。よって、命題は、偽」

若菜「もう後、ひとり１問です。 ${\mathrm{(xiii)}\forall_s \exists_t(t \in s)}$ 『すべての、 ${s}$ について、 ${t \in s}$ となる ${t}$ が存在する』。これは、つまり、すべての集合が、元を持っているという主張だけど、 ${b}$ は、明らかに空集合。よって、命題は、偽」

麻友「さて、長いな。 ${\mathrm{(xiv)} \exists_h \forall_i ((i \in e \Rightarrow i \in h) \wedge \neg h=e )}$ ちょっと、これ、入学試験レヴェルじゃない？」

私「流石に、難しいな。取り敢えず、後ろまで、読んでご覧」

麻友「 ${\wedge \neg h=e}$ って、どういうことかしら？ ${\neg h}$ って」

私「読み間違うと思った。それ、 ${\wedge \neg (h=e)~)}$ ってことなんだよ」

麻友「そうだとすると、 ${h}$ と、 ${e}$ が、等しくない。つまり、 ${e}$ じゃないということ？」

私「いつもの燕返し健在」

麻友「そうすると、 ${e}$ 以外の ${h}$ で、任意の ${i}$ で、 ${e}$ の元なら、 ${h}$ の元になっているような集合 ${h}$ が、存在する。つまり、 ${e \subset h}$ となる集合は、存在するか？という問いかけね。そうすると、 ${e=\{b\}}$ だから、 ${b}$ を、含んでるということは、 ${a=\{b,c\}}$ ね。ということは、あるんだから、命題は、真」

結弦「今年最後の問題。 ${\mathrm{(xv)}\exists_g \exists_w ((g \in e \wedge w \in e ) \wedge \neg g=w)}$ お母さんが、後ろから攻略してたのを、真似て、 ${g \notin w}$ から、見ると、同じでない元？ということ？。 ${e}$ が、異なる元を持つかというと、 ${e=\{b\}}$ と、元はひとつしか持たない。よって、命題は、偽」