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数学を悟ってみて(その24)

 現在2020年12月21日9時03分である。(この投稿は、ほぼ4843文字)

麻友「今日は、早くから始めたわね」

若菜「昨日、あとちょっとで、沈没しましたからね」

結弦「お父さんの写真で、ほとんど分かっているけど、一応やって」

私「まず、

{\displaystyle \tan \biggl(4 \alpha -\frac{\pi}{4} \biggr)=\frac{\displaystyle \tan 4 \alpha -\tan \frac{\pi}{4}}{\displaystyle 1+\tan4 \alpha \tan \frac{\pi}{4}}}

だったな」

結弦「うん。

{\displaystyle \tan \frac{\pi}{4} =\tan 45^{\circ}=1} だから、

{\displaystyle \tan \biggl(4 \alpha -\frac{\pi}{4} \biggr)=\frac{\displaystyle \tan 4 \alpha -1}{\displaystyle 1+\tan4 \alpha }}

となる」

若菜「{\displaystyle \tan 4 \alpha =1+\frac{1}{119}} でしたから、

{\displaystyle \tan \biggl(4 \alpha -\frac{\pi}{4} \biggr)=\frac{\displaystyle \tan 4 \alpha -1}{\displaystyle 1+\tan4 \alpha } =\frac{\displaystyle \frac{1}{119}}{\displaystyle 1+1+\frac{1}{119}}=\frac{1}{119+119+1}=\frac{1}{239}}

です」

麻友「ここから、どうしたら、良いのかしら?」

私「この証明で、{\arctan x} が、大活躍だったな」

麻友「あっ、じゃ、これ、両辺の、アークタンジェントを、取る。

{\displaystyle \arctan \tan \biggl(4 \alpha -\frac{\pi}{4} \biggr)=\arctan \frac{1}{239}}

だから、逆関数であることより、

{\displaystyle 4 \alpha -\frac{\pi}{4} =\arctan \frac{1}{239}}

となる」

私「{4 \alpha} は、何だった?」

麻友「{\displaystyle \alpha=\arctan \frac{1}{5}} だから、{\displaystyle 4 \alpha =4 \arctan \frac{1}{5}} だから、

{\displaystyle 4 \alpha -\frac{\pi}{4} =\arctan \frac{1}{239}}

に、代入して、

{\displaystyle 4 \arctan \frac{1}{5} - \frac{\pi}{4} =\arctan \frac{1}{239}}

となる。それで、・・・」

結弦「それ、

{\displaystyle 4 \arctan \frac{1}{5} -\arctan \frac{1}{239} =\frac{\pi}{4} }

で、終わりじゃないの?」

若菜「両辺に、{4} かけて、左辺と右辺交換して、

{\displaystyle  \pi =16 \arctan \frac{1}{5} -4 \arctan \frac{1}{239}}

で、マチンの級数求まった」

麻友「えっ、分からない。そもそも、級数じゃないし」

私「アークタンジェントの整級数展開、苦労して求めたよな」

麻友「アークタンジェントの整級数展開。

{\displaystyle \arctan x =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)}x^{2n+1} =\frac{x}{1}-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\frac{x^9}{9}- \cdots~~(-1 < x < 1)}

だった。あっ、そうか。これに、{\displaystyle \frac{1}{5}} と、{\displaystyle \frac{1}{239}} を、代入すれば、いいのか。

{\displaystyle  \pi =16 \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)} \biggl(\frac{1}{5} \biggr)^{2n+1} -4 \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)} \biggl(\frac{1}{239} \biggr)^{2n+1}}

だわ、確かに、これ、マチンの級数

私「良く分かるように、展開すると、

{\displaystyle  \pi =16 \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)} \biggl(\frac{1}{5} \biggr)^{2n+1} -4 \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)}\biggl( \frac{1}{239} \biggr)^{2n+1}}

{\displaystyle  =16 \biggl( \frac{1}{1} \frac{1}{5} -\frac{1}{3}\frac{1}{5^3}+\frac{1}{5}\frac{1}{5^5}-\frac{1}{7} \frac{1}{5^7}+\cdots \biggr)}

{\displaystyle -4 \biggl( \frac{1}{1} \frac{1}{239} -\frac{1}{3}\frac{1}{239^3}+\frac{1}{5}\frac{1}{239^5}-\frac{1}{7} \frac{1}{239^7}+\cdots   \biggr)^{2n+1}}

となる。{\pi} は、私達は、9次まで、計算したのだったな」

麻友「思い出した」


若菜「お父さんは、ノートで以前計算したときは、{3.14} までは、確かと言ってましたが、どうして精度が悪かったのですか?」

私「自分でチェックしたときは、5次までしか、計算しなかったんだよ。上手く行くか分からない計算を、9次まで計算する気にならなかったんだよ」

若菜「お父さんでも、そうですか」


結弦「これで、{\pi} は、{3.14} として良いと、ほぼ確かめたけど、後、残っている課題は、あるのかな?」

私「実は、意地悪を言うと、実数と、複素数の存在は、証明せずに認めたよね。それから、整級数の収束半径を、求める公式は、『『解析入門Ⅰ』の、定理Ⅲ.2.2 だよ』などと証明しなかった」

若菜「お父さん。覚えているんですね」

麻友「それを、今から証明するの?」

私「今は、やめておこう。普通の実数の存在は、集合論を用いなければ、完全には、証明できないし、直観主義論理では、実数は、普通の使い方が、できなくなり、難しくなりすぎる。将来どこかで、機が熟したら、証明しよう」

結弦「そうだ。お父さんは、12月12日に、『数学を悟ってみて(その19)』で、


『多分、明日、マチンの級数を証明して、{\pi} の近似値の計算は、大団円を、迎えることとなる。そして、実はこんな大変な証明をしていても、ひとつひとつの証明のステップでは、前から言っている、13個の推論のパターンしか使っていないことを、振り返って見ようというわけである。それが、数学を、違う論理で、進めていっても、ほとんど同じ結果が得られてきて、ほんの一部、異なり、その違いから、『数学って、数学から1度出てみると、こうなっているのか』と、数学を悟った気持ちになる。というこの連載の、完結に導かれるのだ』


と言ってたけど、2020年12月21日まで、かかった。直観主義論理などの話は、どうなったの?」

麻友「そうだったわね。でも、マチンの級数を証明できて、今日は結構満足したわ。ちょっと、聞いておきたいの。太郎さんが、『{3 < \pi < 4}』と書いてたけど、あれは、簡単に証明できるの?」

私「小学校で、やらなかったかな?

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で、半径を、{1} とすると、直径は、{2} だね。正六角形の周は、{6} 個あるから、{6} だろう。だから、{\displaystyle \frac{6}{2}=3} だ。円周は、これより長いのは、見て分かる。一方、外側の正方形は、一辺が、{2} で、周の長さは、辺が四つだから、{2 \times 4 = 8} だな。直径が、{2} だから、{\displaystyle \frac{8}{2}=4} だ。円周がこれよりも短いのは、見て分かる」

麻友「だから、{3 < \pi < 4} か。太郎さん、小学校で習ったのを、覚えている?」

私「私、先生が、『これは、ぴったり求めることは、できないんです』と言ったので、何か求める方法はないかと、直径と円周の比でなく、半径と円周の比では無理かな? などと考えたので、覚えている」

若菜「やっぱり、普通の子ではない」

麻友「そういうのを、栴檀は双葉より芳し(せんだんはふたばよりかんばし)というのよね。でも、栴檀という植物は、そんなに芳しいわけではない。本当は、白檀(びゃくだん)の意味なのよね」

結弦「お母さんは、本当に会ったとき、お父さんに失望されるのが、恐くて、会うのを、拒んでいるの?」

麻友「だって、太郎さん。もの凄く幻かけているでしょ。私に会って、『なんだ、この程度の人間だったか』と、思うのは、確実よ」

若菜「お父さんって、失恋ばかりだけど、女の人18人くらい好きになっているでしょう。女の人で、失望というか、当てが外れたことなんて、いくらでもあるんじゃないですか? 心配する必要ないと、思いますけど」

麻友「私の顔って、オードリー・ヘップバーンや、イングリット・バーグマンに、かなうかしら?」

結弦「お父さんが、お母さんの歌を、貶しているのから見て、不細工だと思ったら、正直に、『不細工だね』と、言ってると、思うんだよな」

麻友「そんなに、私、美人?」

若菜「30分、電車の窓の前に立っていたら、25分自分の顔、見ているんでしょう。自分の顔を、少しでも良く見せようと、研究しているんですから、もっと、自信持って下さい」


麻友「今更、クリスマスは、無理よね。どうしようかしら?」

私「次回、古典論理直観主義論理のことを、話そう。じゃあ、バイバイ」

若菜・結弦「バイバイ」

麻友「じゃ、バイバイ」

 現在2020年12月21日14時09分である。おしまい。