数学を悟ってみて（その２４） - 相対性理論を学びたい人のために

　現在２０２０年１２月２１日９時０３分である。（この投稿は、ほぼ４８４３文字）

麻友「今日は、早くから始めたわね」

若菜「昨日、あとちょっとで、沈没しましたからね」

結弦「お父さんの写真で、ほとんど分かっているけど、一応やって」

私「まず、

$\tan \biggl(4 \alpha -\frac{\pi}{4} \biggr)=\frac{\displaystyle \tan 4 \alpha -\tan \frac{\pi}{4}}{\displaystyle 1+\tan4 \alpha \tan \frac{\pi}{4}}$

だったな」

結弦「うん。

$\tan \frac{\pi}{4} =\tan 45^{\circ}=1$ だから、

$\tan \biggl(4 \alpha -\frac{\pi}{4} \biggr)=\frac{\displaystyle \tan 4 \alpha -1}{\displaystyle 1+\tan4 \alpha }$

となる」

若菜「 $\tan 4 \alpha =1+\frac{1}{119}$ でしたから、

$\tan \biggl(4 \alpha -\frac{\pi}{4} \biggr)=\frac{\displaystyle \tan 4 \alpha -1}{\displaystyle 1+\tan4 \alpha } =\frac{\displaystyle \frac{1}{119}}{\displaystyle 1+1+\frac{1}{119}}=\frac{1}{119+119+1}=\frac{1}{239}$

です」

麻友「ここから、どうしたら、良いのかしら？」

私「この証明で、 ${\arctan x}$ が、大活躍だったな」

麻友「あっ、じゃ、これ、両辺の、アークタンジェントを、取る。

$\arctan \tan \biggl(4 \alpha -\frac{\pi}{4} \biggr)=\arctan \frac{1}{239}$

だから、逆関数であることより、

$4 \alpha -\frac{\pi}{4} =\arctan \frac{1}{239}$

となる」

私「 ${4 \alpha}$ は、何だった？」

麻友「 $\alpha=\arctan \frac{1}{5}$ だから、 $4 \alpha =4 \arctan \frac{1}{5}$ だから、

$4 \alpha -\frac{\pi}{4} =\arctan \frac{1}{239}$

に、代入して、

$4 \arctan \frac{1}{5} - \frac{\pi}{4} =\arctan \frac{1}{239}$

となる。それで、・・・」

結弦「それ、

$4 \arctan \frac{1}{5} -\arctan \frac{1}{239} =\frac{\pi}{4}$

で、終わりじゃないの？」

若菜「両辺に、 ${4}$ かけて、左辺と右辺交換して、

$\pi =16 \arctan \frac{1}{5} -4 \arctan \frac{1}{239}$

で、マチンの級数求まった」

麻友「えっ、分からない。そもそも、級数じゃないし」

私「アークタンジェントの整級数展開、苦労して求めたよな」

麻友「アークタンジェントの整級数展開。

$\arctan x =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)}x^{2n+1} =\frac{x}{1}-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\frac{x^9}{9}- \cdots~~(-1 < x < 1)$

だった。あっ、そうか。これに、 $\frac{1}{5}$ と、 $\frac{1}{239}$ を、代入すれば、いいのか。

$\pi =16 \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)} \biggl(\frac{1}{5} \biggr)^{2n+1} -4 \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)} \biggl(\frac{1}{239} \biggr)^{2n+1}$

だわ、確かに、これ、マチンの級数」

私「良く分かるように、展開すると、

$\pi =16 \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)} \biggl(\frac{1}{5} \biggr)^{2n+1} -4 \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)}\biggl( \frac{1}{239} \biggr)^{2n+1}$

$=16 \biggl( \frac{1}{1} \frac{1}{5} -\frac{1}{3}\frac{1}{5^3}+\frac{1}{5}\frac{1}{5^5}-\frac{1}{7} \frac{1}{5^7}+\cdots \biggr)$

$-4 \biggl( \frac{1}{1} \frac{1}{239} -\frac{1}{3}\frac{1}{239^3}+\frac{1}{5}\frac{1}{239^5}-\frac{1}{7} \frac{1}{239^7}+\cdots \biggr)$

となる。 ${\pi}$ は、私達は、９次まで、計算したのだったな」

麻友「思い出した」

若菜「お父さんは、ノートで以前計算したときは、 ${3.14}$ までは、確かと言ってましたが、どうして精度が悪かったのですか？」

私「自分でチェックしたときは、５次までしか、計算しなかったんだよ。上手く行くか分からない計算を、９次まで計算する気にならなかったんだよ」

若菜「お父さんでも、そうですか」

結弦「これで、 ${\pi}$ は、 ${3.14}$ として良いと、ほぼ確かめたけど、後、残っている課題は、あるのかな？」

私「実は、意地悪を言うと、実数と、複素数の存在は、証明せずに認めたよね。それから、整級数の収束半径を、求める公式は、『『解析入門Ⅰ』の、定理Ⅲ．２．２　だよ』などと証明しなかった」

若菜「お父さん。覚えているんですね」

麻友「それを、今から証明するの？」

私「今は、やめておこう。普通の実数の存在は、集合論を用いなければ、完全には、証明できないし、直観主義論理では、実数は、普通の使い方が、できなくなり、難しくなりすぎる。将来どこかで、機が熟したら、証明しよう」

結弦「そうだ。お父さんは、１２月１２日に、『数学を悟ってみて（その１９）』で、

『多分、明日、マチンの級数を証明して、 ${\pi}$ の近似値の計算は、大団円を、迎えることとなる。そして、実はこんな大変な証明をしていても、ひとつひとつの証明のステップでは、前から言っている、１３個の推論のパターンしか使っていないことを、振り返って見ようというわけである。それが、数学を、違う論理で、進めていっても、ほとんど同じ結果が得られてきて、ほんの一部、異なり、その違いから、『数学って、数学から１度出てみると、こうなっているのか』と、数学を悟った気持ちになる。というこの連載の、完結に導かれるのだ』

と言ってたけど、２０２０年１２月２１日まで、かかった。直観主義論理などの話は、どうなったの？」

麻友「そうだったわね。でも、マチンの級数を証明できて、今日は結構満足したわ。ちょっと、聞いておきたいの。太郎さんが、『 ${3 < \pi < 4}$ 』と書いてたけど、あれは、簡単に証明できるの？」

私「小学校で、やらなかったかな？

で、半径を、 ${1}$ とすると、直径は、 ${2}$ だね。正六角形の周は、 ${6}$ 個あるから、 ${6}$ だろう。だから、 $\frac{6}{2}=3$ だ。円周は、これより長いのは、見て分かる。一方、外側の正方形は、一辺が、 ${2}$ で、周の長さは、辺が四つだから、 ${2 \times 4 = 8}$ だな。直径が、 ${2}$ だから、 $\frac{8}{2}=4$ だ。円周がこれよりも短いのは、見て分かる」