宇宙の年齢を求める（その４） - 相対性理論を学びたい人のために

　現在２０１５年９月３日１７時２３分である。

　この本に書いてあることを使って、宇宙の年齢を求めようとしていたのだった。

相対論的宇宙論 (［新装復刊］パリティ物理学コース　)

作者:小玉英雄
発売日: 2015/05/27
メディア: 単行本（ソフトカバー）

　その話に入る前に、これらの記事を私が書く原動力になっている、渡辺麻友さんに、メッセージがあるので、書いておこう。

　私は、８月２５日に、まゆゆに、

渡辺麻友様。投稿はまだです。今日のリンクを見て下さい。これを「けなされた」と思ってはいけません。良識のある大人が１５人も真面目に答えているのが重要なのです。『経済効果のある偉業・・・』という解答が秀逸です。

ＹＡＨＯＯ！知恵袋　皆さんは渡辺麻友さんが卒業したあとも歌手としてこの業界を指原莉乃のように渡っていけると思いますか。

とツイートしていた。

　普通の人から見たら、これは、まゆゆに、

「歌手ではやっていけないから、早くＡＫＢ４８を卒業して、私と結婚してくれ。」

といわんとしていると、思えることだろう。

　だが、私の真意は、まったく別のところにあった。

　私は、この問いかけへの解答のベストアンサーに選ばれている、

　大変申し訳ありませんが、“ほぼ不可能に近い”でしょう。

　単独の歌手では、ルックスも飛びぬけて良いというわけでもなく、キャラクターも地味です。

という解答を、信じさせたいわけではなかった。

　もっとすごいことを、考えていた。

　全部で１６人もの大人が、かなり長文の、真面目な回答を書いてきたということを、知って欲しかった。

　つまり、良識ある大人が、渡辺麻友という人の今後に、注目している、ということ。

　ここで、『良識ある』という言葉は、注意を要する。

　アイドルなどに、夢中になるのは、まともな大人のすることではない。

　所詮、ミーハーな大人だ。

　だが、それでいいのだ。

　世の中の全員の大人が、京都大学や東京大学を出ているわけではない。

　世の中の大人の大部分が、ミーハーなのだ。

　だから、ミーハーな大人を味方につければ、多数派になれるのだ。

　この世界で、多数派になれる素質を持っているというのが、まゆゆの天才であり、今後もそれは発揮される。

　自信を持て！

　そう言いたかったのである。

　だが、それだけではなかった。

　一番言いたかったのは、その後に書いてあること。

１年は大丈夫。

しかし後から後から入ってくる新鮮な新人がいる以上、

経済効果のある偉業でも残さない限り、仕事は目減りします。

という、一番下にある解答を読んで感じた衝撃。

　この解答から素晴らしいアイディアが得られる。

　つまり、日本人を儲けさせれば、日本人全員から感謝され、愛される。

　例えば、オリンピックで、日本人の士気を上げるようなことをやればいいんだ。

　次は、世界中の人に富をもたらすことを考える。

　そうすれば、

“世界の麻友”

になれる。

　常に、このことを頭に置いて行動すれば、いいんじゃない。

　あのニュートンは、万有引力の法則、光をスペクトルに分けて分析すること、微積分、反射望遠鏡などの大発見をしたけど、すぐには実用に役立たなかったから、Ｓｉｒ（ナイト爵）しか、もらえなかったんだ。

　それに対し、トムソンは、電磁気学を用いて、大西洋の海底ケーブルのモールス信号通信を可能にしたという実用的な業績をあげたので、その功績が讃えられて、Ｌｏｒｄ（男爵）を受けて、ケルビン卿となったんだ。絶対温度のケルビン、その人だよ。

　実用的なことをやると、同時代の人から、評価されるんだってことを、覚えておいてね。

　これが、伝えたい、メッセージだった。

　まゆゆは、仲間由紀恵さんや、沢口靖子さんのように、美人の女の人の役として、やっていけるだけの美貌を持っている。

　そしてその上さらに、笑顔が、非常に素敵だ。

　これに加えて、瞳に光が入ったとき、ものすごく綺麗に映える。

　自分の天才を生かさないというのは、神様に対して失礼だ。声優なんかに甘んじるなよ。

　それでは、宇宙の年齢を求める計算を始めよう。

　これが私の場合、私の天才を生かすことになるんだ。

　まず、復習しよう。

　第１回の、保留事項は、

・なぜ、『光年』と『パーセク』という２つの単位があるの？

・ ${\theta \fallingdotseq 0}$ のとき、 ${\tan{\theta} \fallingdotseq \theta}$ という定理の証明は、正しいの？

　ただし、 ${\beta \fallingdotseq \gamma}$ というのは、 ${\beta-\gamma}$ が、無限小だという意味だった。

・無限小や無限大を扱っても矛盾は生じないの？

・宇宙の年齢は？

という４つのことだった。

　そして、第２回で、

・まゆゆが、知っている、タンジェントとは別に、

$\tan{\theta}=\theta+\frac{\theta^3}{3}+\frac{2\theta^5}{15}+\frac{17\theta^7}{315}\cdots$

という整級数による新しい、 ${\tan{\theta}}$ の定義を認める。

という仮定をして、第１回の定理の証明をした。

　このとき、無限大や無限小を使ったので、第１回の３番目のものをきちんと説明しないと、私は詐欺になる。

　しかし、とにかく、第１回の２番目の課題だった、定理は証明した。

　そして、実際に、年周視差という角度のずれを用いる、距離の測定での必要から、『パーセク』という単位が必然的に出てくることを、話した。

　一方、『光年』という単位は、光の速さで行って１年かかる距離、として、必然的に出てくるので、どちらの単位も、由緒正しい単位だということになった。

　結局、それらが、

１パーセク＝３．２６１５光年

という微妙に違う距離だったために、ややこしくなっていたのだった。

　この数値自体は、偶然この数字になったんだろう、ということだった。だって、角度の１秒の元になっている、一周が３６０度というのが、人為的なものだったからね。

　いずれにせよ、『パーセク』も『光年』も、必要なので、なぜ２つ単位があるの？　という問いには、答えられた。

　これで、第１回の最初の２つの保留事項は、クリアした。

　それで、現在の保留事項は、

・無限小や無限大を扱っても矛盾は生じないの？

・宇宙の年齢は？

・まゆゆが、知っている、タンジェントとは別に、

$\tan{\theta}=\theta+\frac{\theta^3}{3}+\frac{2\theta^5}{15}+\frac{17\theta^7}{315}\cdots$

という整級数による新しい、 ${\tan{\theta}}$ の定義を認めても良いの？

というものになった。

　そして、第２回の最後で、

$\frac{1}{67.3}=0.01485884\cdots$

から、宇宙の年齢を、１４８億歳と予想した。

　これが、１回目の間違いだと書いたところで、第２回は終わった。

・１回目の予想　１４８億歳

　そして、第３回の投稿で、単位の使い方の間違いを指摘し、

$\frac{1}{H_0}=\frac{1}{67.3}\frac{\mathrm{Mpc}}{\mathrm{km/s}}=\frac{1}{67.3}\frac{3.0857 \times 10^{19} \mathrm{km}}{1}\frac{1}{\mathrm{km}}\frac{1}{3.1557600 \times 10^7}年$

という計算に持ち込んだ。

　これを計算すると、

$\frac{1}{H_0}=0.001485884 \times 0.977793 \times 10^{13}年=1.4528963 \times 10^{10}年$

となり、宇宙の年齢は、１４５億歳であると、予想できる。

　これが、２回目の間違いだと書いたところで、第３回は、終わった。

・２回目の予想　１４５億歳

　ここまでが、復習である。

　では、何が、間違いなんだと思う？

「そもそも、逆数にしたら、単位が時間になるから、これが、宇宙の年齢だ、っていう発想が、間違ってるのよ。ちゃんと、宇宙の大きさを計算しなさいよ。」

　厳しいお言葉。でも、私だって考えました。

　ここから、 ${1\mathrm{Mpc}}$ の距離の銀河が、 ${67.3\mathrm{km/s}}$ で、ここから遠ざかっているんでしょ。

　だったら、その距離 ${1\mathrm{Mpc}}$ を、速さで割れば、その銀河が、ここから今のところまで行ける時間が分かる。

　つまり、昔、ここで、宇宙が誕生したとしたら、今、計算した時間だけ経てば、今の場所まで、ちょうど行ける。

「ちょっと、待ちなさいよ。いつから、 ${1\mathrm{Mpc}}$ の距離の銀河だけ考えていて良くなったのよ。 ${2\mathrm{Mpc}}$ の銀河は、どうなるのよ。」

　だってさあ、ハッブルの法則って、 ${2\mathrm{Mpc}}$ の距離にある銀河は、 ${1\mathrm{Mpc}}$ の距離にある銀河の２倍の速さで遠ざかっているってことでしょ。

「それがどうしたのよ。」

　だからぁ。今、 ${2\mathrm{Mpc}}$ にある銀河は、最初から、２倍の速さで遠ざかってたんだよ。だから、２倍の距離になった。

「それで？」

　分かんないかなあ。昔、宇宙がここで誕生したとき、今、 ${1\mathrm{Mpc}}$ にある銀河も、 ${2\mathrm{Mpc}}$ にある銀河も、同時に、誕生した。ところで、今 ${2\mathrm{Mpc}}$ にある銀河は、今 ${1\mathrm{Mpc}}$ にある銀河の２倍の速さで、ビッグバンで飛び散った。そう考えると、今 ${2\mathrm{Mpc}}$ にある銀河が、なぜ ${2\mathrm{Mpc}}$ にあるのかの理由が分かるじゃない。

「でも、 ${2\mathrm{Mpc}}$ にある銀河が、 ${1\mathrm{Mpc}}$ にある銀河の２倍の速さだって、どうして分かるの？」

　うっ、それは、つまり、ハッブルの法則を、証明しろということか？

「なに、分かんないこと言ってんのよ。どうして、ここで宇宙が誕生した、なんていう発想が生まれるのか、知りたいのよ。」

　要するに、宇宙の最初は、１点だったのだから、それが、今の宇宙で、どの辺か、なんてことは、ほとんど意味のない質問なんだよ。

　つまり、初めの点が、ここになったんだ、と言っても、あそこになったんだ、と言っても、どっちの点も最初の点の子孫なのだから、同等なんだよ。

「えっ、そういうこと？　じゃあ、本当に、あの ${1\mathrm{Mpc}}$ の銀河は、ここでうまれて、１４５億年経って、今の位置に行ったのかしら？」

　おっ、久しぶりに、優等生の冴え！

「じゃあ、２回目の間違いって何よ。間違いだと思ったのが間違いだった、なんて言わせないわよ。」

　そんな、ずるいことはしません。

　私は、まゆゆに、今のような、基本的な間違いを、見抜ける人になって欲しかったのです。

「どこも、間違いのようには、思えないけど。ハッブルの法則は、正しそうだし。」

　まゆゆは、１９世紀の物理学しか知らない人に、なっちゃっている。

「ネアンデルタール人、扱いね。」

　１９０５年、アインシュタインは、３つの有名な論文を書きました。

・ブラウン運動に関する論文

・光電効果に関する論文

・特殊相対性理論に関する論文

　こういうものの、名前や、大体の年を覚えておくのも、実は重要です。

　そんな歴史なんていらないわ、と思うかも知れませんが、何年頃にはもうこれは分かっていたんだ、という知識は、研究していく上で、非常に重要です。ただ、小学生のように、単語カードみたいなものを作って、年を覚える必要はありません。何度もそれに関する文献を読んでいるうちに、論文に書いてあったかっこのなかの数字が、いつのまにか、頭に定着するのです。

　まゆゆにも、これをやります。

　重要なことは、何度も書いて、まゆゆの視界に入るようにします。

　そのうち、まゆゆは、数学と物理学の専門家並の知識を持つようになるでしょう。

　そうなれば、まゆゆは、本当の物理学者を、演じられるように、なります。

　もう、演じているのではない、本当の物理学者にもなれます。

　そこまで、案内するつもりです。

　さて、アインシュタインの３本の論文はどうなったでしょう。

・ブラウン運動に関する論文

は、アインシュタインに、博士号をもたらしました。

　そんなに素晴らしい論文だったのです。

　これに関しては、小学生向けに次の本が書かれています。

だれが原子をみたか (岩波現代文庫)

作者:江沢洋
発売日: 2013/01/17
メディア: 文庫

　小学生向けだから、易しいかと思ったらとんでもない。

　京都大学で３年半勉強したあとで、私はこの本を読みましたが、通読するのに、半年かかりました。

　日本語が難しいのではなく、読んでいてものすごく頭を使わなければ、ならないのです。だから、時間がかかるのです。

　まゆゆ、頭の訓練のために、これを読んでみる？

「遠慮しておきます。」

　さて、３本の論文の２番目、

・光電効果に関する論文

は、アインシュタインに、ノーベル物理学賞をもたらしました。

「えっ、アインシュタインって、相対性理論で、ノーベル賞もらってるんじゃないの？」

　そうなんです。実は、ノーベル賞委員会は、相対性理論で、ノーベル賞をあげるつもりだったのです。だってこれが、アインシュタインの最大の業績だもの。

　ところが、アインシュタインの相対性理論を理解できない一般の人達が、

「得体の知れない業績に、ノーベル賞をあげるな。」

と、反対のデモを起こしたりしたので、委員会は安全をみて、もっと一般の人に理解されている、量子力学に関わる、

・光電効果に関する論文

で、ノーベル賞をあげることに決定したのです。

　だから、今でも、理科年表などのノーベル賞の受賞理由を見ると、

１９２１　Ａ．アインシュタイン（スイス，独）［翌年決定］理論物理学への貢献，特に光電効果の法則の発見

となっています。

　教養のために、日本人を見てみましょう。

１９４９　湯川秀樹（ゆかわ　ひでき）　核力の理論研究に基づく中間子の存在の予言

１９６５　朝永振一郎（ともなが　しんいちろう），
　　　　　Ｊ．シュウィンガー（米），
　　　　　Ｒ．Ｐ．ファインマン（米）　　　　　　　　量子電気力学の基礎研究

　絶対に、「あさなが　しんいちろう」なんて、読んではいけませんよ。

　湯川さんは有名ですが、湯川さんの教科書は、急いで書いたために、あまり良い出来ではありません。戦後の日本を立ち直らせようと、慌てていたのです。

　一方、朝永さんの、量子力学の教科書は、素晴らしいものです。ニュートリノの小柴昌俊（こしば　まさとし）さんが、英訳したので、英語圏でも

「トモナガの量子力学」

は、有名です。

　さて、アインシュタインは、相対性理論ではノーベル賞をもらえなかった。

　じゃあ、アインシュタインは、

・特殊相対性理論に関する論文

で、なにをもらったのでしょう。

『物理学者としての信用』

だと思います。

　あるいは、

『一般からの名声』

かも知れません。

　いずれにせよ、相対性理論が、アインシュタインを有名にしたのは、確かです。

「でも、待って、どうして、『特殊』って付いているの。普通、一般的な話をした後、特殊な場合を話すでしょ。アインシュタインは、１９０５年よりも前に、一般相対性理論に関する論文を書いていたの？」

　こういうときに、教養が役に立つのです。

　実は、アインシュタインは、

・一般相対性理論に関する論文

を書いています。

　でも、１回目は、間違いがあった。１９１５年のことです。

　こういう式を、提案しました。

$R_{\mu\nu}=\frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}$

　世の中にはすごい人がいます。

　アインシュタインのこの間違えた式を元に計算して、現在でもその人の名前を冠して呼ばれている正しい答え、シュワルツシルド解、というものを導いた、カール・シュワルツシルドという人がいるのです。

　その答えというのも、式に慣れるために、見せます。

$\mathrm{g}=-(1-\frac{2m}{r})c^2 dt \otimes dt + \frac{1}{\displaystyle 1-\frac{2m}{r}} dr \otimes dr + r^2d\theta \otimes d\theta + r^2\sin^2\theta d\phi \otimes d\phi$