現在２０１５年８月１５日２１時２３分である。
正直言って、私の物理学の能力が、こんなに劇的にアップするとは、思っていなかった。
宇宙の年齢の計算法を、渡辺麻友さんに説明しようと思って、必死になって調べたお陰で、ものすごく一般相対性理論の理解が深まった。
まゆゆ、ありがとう。
きっかけは、７月３０日に上野の国立科学博物館へ行ったことだった。
はやぶさの持ち帰った、イトカワの微粒子を見に行ったのだが、帰りに、何か記念品でも買おうかと、お土産物コーナーに入った。
はやぶさの下敷きが、３２４円だったが、まゆゆの１，９８０円の下敷きを持っている私にとって、そんなもの必要ない。
イトカワの微粒子を売っているのなら、買いたかったが、１５００個しかないのでは、売られているはずはない。
「なーんにも、ないなあ。」
と思って、ぼんやり歩いて、本のコーナーに着いた。
子供向けの易しい本ばっかりで、全然、買う気がしない。
「１冊くらい、歯ごたえのある本はないかなあ。」
と思って見ていたら、
小玉英雄著『相対論的宇宙論』
という本があった。
「この著者で、この題名の本は、持っているけど、こんな小さな本じゃなかったな。子供向けに、書き直したのかな。」
と思って手に取った。
開いた瞬間、戦慄が走った。
「あの本だ。」
すぐ、奥付を見る。
平成２７年５月３０日 発行
「改訂されたんだ。しかも今年の５月に。」
最後の
補遺 １９９０年以降での宇宙論の進展
を開き、
『Ｐｌａｎｃｋ衛星』
という文字を探す。
「あった。」
これこそ、私が、去年から、公表されるのを待っていたデータだった。
この本にそのデータが、出ていたのである。
- 作者: 小玉英雄
- 出版社/メーカー: 丸善出版
- 発売日: 2015/05/27
- メディア: 単行本（ソフトカバー）
- この商品を含むブログを見る
なぜ、そのデータを欲しかったかというと、１回目の入院から退院した１５日後の２０１４年７月２９日に、泉区の立場の文教堂書店で、
Ｎｅｗｔｏｎ別冊『宇宙について知りたい６８項目』
宇宙について知りたい68項目―星空と宇宙が圧倒的に面白くなる! (ニュートンムック Newton別冊)
- 出版社/メーカー: ニュートンプレス
- 発売日: 2014/07/28
- メディア: ムック
- この商品を含むブログを見る
という本を見たとき、ＣＯＢＥ衛星の次のＷＭＡＰ衛星の写真を遙かに上回るものすごい細かさで、宇宙背景放射を写したＰｌａｎｃｋ衛星という衛星の画像が載っていたのだ。
「この画像を分析したデータを見たい。」
と、そのとき思った。
それが、まさに上の本に書かれていたのだ。
このデータは、２０１３年３月のものなので、私が持っている、どの宇宙論の本にも載っていようはずがなかった。
値段を調べた。２，７００円だった。
無理をすれば、買えない額ではなかった。
最近、ほとんど本を買っていないが、この本は、必要だと思った。
他のお土産なんて目もくれず、レジに向かった。
帰りの車中、新しいデータのところを読んでいた。
そのとき、ハッブル定数が、
くらいだ、というのが、最新の観測結果であることが分かった。
論文はこれ。
アブストラクトには、違う数値が書いてあるが、ＰＤＦをダウンロードしてみると、（２７）式に、この数値がある。
さて、まゆゆ。この結果から、宇宙の年齢が分かるんだよ。
私は、この値から、きちんとした計算結果を出せるまでに、３回、間違えた。
この間違いをたどることが、まゆゆの勉強になると思うので、全部、見せることにしよう。
まず、ハッブル定数というものが、観測された、と言った。
と書いてある。
この単位を見て、まゆゆ、何か感じない？
「割るが２回ある。」
そう。普通、速さだったら、この間の光の速さ、秒速３０万キロだったら、
のように、斜めの線は１つだ。
実は、ハッブル定数というものは、
『ハッブルの法則』
つまり、
『ここから２光年離れた銀河は、１光年離れた銀河の２倍の速さで、ここから遠ざかっている。同様に、光年離れた銀河は、１光年離れた銀河の
倍の速さでここから遠ざかっている。』
という法則で、
「じゃあそもそも基準になる１光年の銀河は、何で、遠ざかっているの？」
という速さなんだ。
「だとすると、というのが、『光年』という意味？」
と、まゆゆは聞くだろうが、実は、惜しいんだけど、ちょっと違う。
これは、メガパーセクという長さなのだ。
「私の携帯に入っている写真は、全部で６４メガバイトだ。」
なんて言葉をよく使うから、まゆゆも、メガパーセクというのは、パーセクという長さの１０の６乗倍、つまり、１０００，０００倍だろう、と想像が付くだろう。
とりあえず、は、長さの単位だ。
そして、その長さで、を、割っているんだ。
つまり、
「光年離れた銀河は、・・・」
という代わりに、
「離れた銀河は、
離れた銀河の
倍の速さで、ここから遠ざかっている。」
と言い換えるんだ。
なぜ言い換えるのかというと、このくらい遠い銀河を基準にしないと、スピードが十分速くなってくれないんだ。
「これくらい遠くって、どれくらい遠いの？」
と、まゆゆは聞くだろうから、答えよう。
１パーセクは、大体３光年なんだ。
だから、は、大体３００万光年という長い距離なんだ。
「なぜ、『パーセク』と『光年』という、ちょっとしか違わない単位を両方使うの？」
と、まゆゆは、聞くだろうけど、これは、我々が、どうやって星までの距離を測るか、ということに関係しているんだ。
『光の速さで行って、１年の距離。」
を、
『１光年』
とした気持ちは、分かるでしょ。
これは、昔からあった単位だ。
それに対し、星までの距離を実際に測ることを考える。
まゆゆ、星までの距離って、どうやって測る？
いくつもの方法があるのだけど、絶対に正しいことが分かっている方法があるんだ。
それは、地球が太陽の周りを周っているとき、地球からその星に引いた線が、円錐のようなものを描くんだけど、その円錐の頂点のところが、何度に開いているか、というのを測る。
これは、展開図を開いて測る、という意味ではなく、もっとも端と端に来たとき、その二等辺三角形の上の角度を測るということ。
実際にどうやって測るかというと、地球から天体望遠鏡を向けて、例えば４月と１０月が真反対なら、そのときの角度の違いを測って、８８度と９２度だったら、４度開きがある、と分かる。
実際は、４度も違いの生じる星なんてない。角度の１度を６０等分したものを１分（３割４分「さんわりよんぶ」のときの『ぶ』と違い、いっぷんと読む）と呼び、角度の１分（いっぷん）を６０等分したものを１秒（いちびょう）と呼ぶ。そして、一番近い星でも、角度で２秒しか違いが出ない。
ところで、角度の違いが、２秒だったとしよう。
これはどういうことか。
太陽と地球の距離を１天文単位（てんもんたんい）というんだけど、例えにしている、地球が４月と１０月の時の２つの地球の距離は、直径になっているから、２天文単位だ。
まゆゆの、数学の学歴を調べたのは、実はここで使うため。
太陽と地球の距離は、分かっている。
１天文単位＝約１．５億
取りあえずこれは認めよう。
その場合、違いが、２秒だとして、星までの距離が求められるか？
まゆゆの数学力が、試されている。
まゆゆが、得意の絵を描けば、すぐに分かる。
星までの距離×＝１天文単位
という式で、
と、置けば良い。
「えっ、分からない。タンジェントは、知ってるけど、その中に、なぜがあるの？」
という段階だと、さらに説明しなければならないけど、ラジアンという角度の測り方を、まゆゆは、知っているだろうか。
忘れてるといけないから、一応、説明しておくか。
半径１の円の円周の長さは、直径かける３．１４で、
となるのは、いいだろう。
例えば、６０度という角度を説明するとき、半径１の円の中心から６０度の角度を持った二つの線を出す。それが、切り取る円弧の長さは、６０度が３６０度の６分の１だから、
という長さになる。
この長さで、角度を伝えることにするんだ。
これが、ラジアンという測り方で、弧度法（こどほう）ともいう。弧の長さだからね。
ところで、
「そもそも、なんで、一回転を３６０度に決めたの？」
と、まゆゆは、素朴な質問をしてくるかも知れない。
実は、私が、これに答えられるのは、ブルバキというペンネームで、フランスの数学者集団が書いた、
- 作者: ブルバキ
- 出版社/メーカー: 東京図書
- 発売日: 1984
- メディア: 単行本
- この商品を含むブログを見る
という本を持っているからなのだ。
角度をどう測るかは、昔から人間を、悩ませた。
太陽の周りを周る地球を考え、１日に動く角度を、１度としようとした。
でもこれだと、一周が３６５度になる。
四季というものがあり、４つに分けたいのに、３６５は、４で割れない。
「じゃあ、３６５にこだわらず、直角を１００度として、一周を４００度としてしまおう。」
実は、フランスでは、本当にこうやって角度を測っていた。
上のブルバキの本の９９ページを見ると、そう書いてある。
直角が１００度だから、すごく計算しやすい。
だけど、他の国の多くは、別な道を選んだ。
「なんとか、４で割れるように、３６５からほんのちょっと、つまり５だけ引いてしまおう。」
そういうわけで、一周は、３６０度となった。
こういうわけなんだよ、まゆゆ。
いずれにせよ、タンジェントで方が付くんだ。
そして、直径が、２秒に相当するのだから、半径は、１秒に相当し、１天文単位を１秒にする距離が、一番近くにある星になる。
そして、この星の距離を、１パーセクと定めたのだ。
だから計算法を書くと、
となる。なぜ、１秒が、
なのかは、良いよね。
３６０度一周が、円の円周だからで、１度がその３６０分の１、１分がその６０分の１、１秒はさらにその６０分の１だからだね。しっかりして、まゆゆ。
タンジェントのが、
に極めて近い場合、
となる。
「でも待って、『極めて近い』ってどれくらい近いときなの？『』ってどういう記号？」
と中学時代に感じた疑問を、まゆゆは私にぶつけてくるかも知れない。
この疑問にも、私は、完璧に答えられる。
今回、私は、まゆゆに、最新の研究成果を話すのだから、使う数学も最新の研究成果を使うことにする。
数学の最新の研究成果というのは、超準解析というものだ。
「無限大とか無限小というものを、普通の数のように、足したりかけたりしてはいけません。」
と習ったのでは、ないだろうか。
例えば、
というものは、や、
が、無限小の量なので、
「でぃーえっくす、ぶんの、でぃーわい」
とは、読んではいけなくて、
「でぃーわい、でぃーえっくす」
と読みなさい。
というように教わったのではないだろうか。
違うかな。
意外と最近の高校では、新しい数学が導入されて、
「でぃーえっくす、ぶんの、でぃーわい」
と呼ばせているかも知れないけど、まゆゆもそうだった？
もしそうなら、次の質問に答えられるだろうか。
「その無限小の数を、小数で表すには、どうしたらいい？」
これは、意地悪な質問で、例えば、
と小数で表せたのなら、もうある大きさを持っているから、無限小の数じゃない。
だから、無限小の数というのは、小数で表せないんだ。
この前から、実数というものが、小数で表される数というのは、何度もやっているから分かるように、小数で表せない無限小の数というものは、実数じゃないんだ。
だとすると、無限小の数を扱うためには、新しい数の表し方を発明しなきゃならない。
「えっ、数学では、発見は、あっても、発明は、ないんじゃない。」
と、まゆゆは、いぶかしむかも知れない。
実は、数学というのは、自分で作っちゃうこともできるんだ。
１９６０年頃、エイブラハム・ロビンソンという人が、無限小を扱う数学を発明した。
英語では、ｎｏｎ－ｓｔａｎｄａｒｄ ａｎａｌｙｓｉｓ（非標準解析）というんだけど、それを日本に輸入した、齋藤正彦さんが、『超準解析（ちょうじゅんかいせき）』と、意訳した。
これについても、１回分の投稿の量だけ、話すことがあるんだけど、今日は、とりあえず、どんな自然数を持ってきても、
となるが、少なくとも一つ存在し、実数全体と、足し算かけ算が自由にでき、
自体も、
などのように、自由に計算できるものと仮定しよう。
このことが、本当にきちんと定義できていること。
つまり、こんな無茶苦茶なことをやっても、矛盾が生じないことは、いずれ必ず証明する。
そのときまで、楽しみに待っててね。
さて、とりあえず、無限小の数があるんだけど、それでどうするかというと、二つの数
と
があったとき、
のように、差が無限小となるなら、
と
は無限に近いといい、
と、書くことにする。
これが、『』という記号の意味だ。
つまり、
というのは、と、
が、無限に近いという意味だったんだ。
でも、条件があったね。
「タンジェントのが、
に極めて近い場合。」
この条件が、分からないのだった。
もう分かるよ。
「が、
に無限に近い場合。」
だと表現できる。
つまり、
の場合だ。
これは、が、無限小の数の場合のことだった。
ここで、は、
であることより、
自身が、無限小の数の場合なんだ。
結論をまとめると、
定理 （の近似）
が、
に無限に近い数。すなわち、
自身が、無限小数の場合、
となる。
と、言える。
定理のステートメントをきちんと書くと、証明は易しいものである。
とは言ったものの、この証明を書いていたら、夜が明けてしまい、翌日の１２時３０分になってしまった。
こんな長い投稿は、まゆゆが読んでいて、疲れすぎる。
だから、１度ここで、投稿を打ち切る。
まだ、宇宙の年齢を計算出来ていないけど、後のお楽しみとしよう。
保留になっているのは、
・なぜ、『光年』と『パーセク』という２つの単位があるの？
・上の定理は証明は正しいの？
・無限小や無限大を扱っても、矛盾は生じないの？
・宇宙の年齢は？
という４つのことである。
覚えておいてね。
現在２０１５年８月１６日２３時３７分である。おしまい。