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相対性理論を学びたい人のために

まだ一度も相対性理論を勉強したことのない人は、何か一冊相対性理論の本を読みかじってみて、なぜこんなことが?という、疑問を持ってからこのブログに来てください。

文字を含んでいないということ

 現在2013年9月6日23時59分である。

 今日は、昨晩寝てしまったので、昼間に昨日の分を投稿したのだが、今日の分を投稿してないので、始めることにした。

 ブルバキは、前回は、記号列の省略の部分だった。

 ここで私のノートでは、次のような読者注が付いている。




 読者注)

 などの集合を表すには、束縛変数が必要なように思えるが、ブルバキは論理記号を用いてこれらを置き換えるので、文字はまったく含んでいない、という状態になる。

 注終)



 自然数全体の集合、は整数全体の集合を表していることは、既に知っているものとして、それらの定義に束縛変数が必要なのではないか、と、私は思ったので、これを書いたのである。

 実際、通常の集合論の本で、自然数全体の集合は、

={X│∀Y(0∈Y∧∀Z(Z∈Y⇒Z+1∈Y)⇒X∈Y)}

と定義される。ここで、記号 ∀Y や、∀Z などのように、任意のという意味の∀が付いている変数が、束縛変数と呼ばれるものである。

 そして、この1行を解読すると、「0を含み、Zが入っていればZ+1も入っているというような集合Yならば、必ずXが入っている、つまり、一つずつ次の数字が入っている集合の共通部分に含まれるXだけの集合を自然数の集合と定義するのである。

 詳細を知りたい人は、例えば私の読んだ本では、


大芝 猛著『数学基礎概説』(共立出版



の129ページなどを参照して欲しい。

 そして、このように、通常は、束縛変数と呼ばれる文字を含んだ形で定義が行われるのである。

 ところが、ブルバキでは、文字が含まれていないという。

 この謎は、私が、挫折するといけないから、ということで飛ばした、訳者による


第1章を読むための注意


というのを読んであると、ある程度、解決する。

 そこで、その部分をちょっと読んでみると、これは、ブルバキの本文のページ番号には含まれていない、その前文のページで6ページの所なのだが



 (∀x)R とか (∃x)R という形の命題を考えるときのRも命題ではあるけれども、一般には、それは変数xを含む命題でなければならぬ。変数xを含む命題とは、いわば一つの≪性質≫を表わしている。命題Rが成立しているというのはxがその性質をもつことであり、命題Rが成立しないというのはxがその性質をもっていないということである。Tというのが一つの対象を表わす式であるとき、そのようなTをxに代入してRから得られる命題を(T│x)Rと表わす。この表現法を用いれば、(T│x)Rを≪TはRという性質をもつ≫と読むこともできよう。Rという性質が任意に与えられた場合、Rという性質をもつxがつねに存在するとは限らないが、もしそのようなxが一つでもあったならば、そのようなxの一つをxRという記号で表わす。Rという性質をもつxが一つもない場合にもxRという記法は用いる。そのときは、xRは何でもよい、何かある一つの対象を表わすということにしておく。要するに、xRというのは任意のRに対してつねに定義され、そして、もしRという性質をもつxが一つでもあれば、xRはRという性質をもつのである。すなわち、

 (T│x)R ⇒ (xR│x)R

はどんなRに対しても、また、どんなTに対してもつねに成立する。


 以上、日本語訳前文6ページの下から2行目まで引用。


 引用の途中であるが、夜が遅くなってしまったので、今晩はここまで。

 次回、続きから始めることにする。

 現在2013年9月7日3時12分である。おしまい。