文字を含んでいないということ

　現在２０１３年９月６日２３時５９分である。

　今日は、昨晩寝てしまったので、昼間に昨日の分を投稿したのだが、今日の分を投稿してないので、始めることにした。

　ブルバキは、前回は、記号列の省略の部分だった。

　ここで私のノートでは、次のような読者注が付いている。




　読者注）

　Ｎ，Ｚなどの集合を表すには、束縛変数が必要なように思えるが、ブルバキは論理記号，を用いてこれらを置き換えるので、文字はまったく含んでいない、という状態になる。

　注終）



　Ｎは自然数全体の集合、Ｚは整数全体の集合を表していることは、既に知っているものとして、それらの定義に束縛変数が必要なのではないか、と、私は思ったので、これを書いたのである。

　実際、通常の集合論の本で、自然数全体の集合は、

Ｎ＝｛Ｘ│∀Ｙ（０∈Ｙ∧∀Ｚ（Ｚ∈Ｙ⇒Ｚ＋１∈Ｙ）⇒Ｘ∈Ｙ）｝

と定義される。ここで、記号　∀Ｙ　や、∀Ｚ　などのように、任意のという意味の∀が付いている変数が、束縛変数と呼ばれるものである。

　そして、この１行を解読すると、「０を含み、Ｚが入っていればＺ＋１も入っているというような集合Ｙならば、必ずＸが入っている、つまり、一つずつ次の数字が入っている集合の共通部分に含まれるＸだけの集合を自然数の集合Ｎと定義するのである。

　詳細を知りたい人は、例えば私の読んだ本では、


大芝　猛著『数学基礎概説』（共立出版）

数学基礎概説 (共立数学講座) [単行本]

の１２９ページなどを参照して欲しい。

　そして、このように、通常は、束縛変数と呼ばれる文字を含んだ形で定義が行われるのである。

　ところが、ブルバキでは、文字が含まれていないという。

　この謎は、私が、挫折するといけないから、ということで飛ばした、訳者による


第１章を読むための注意


というのを読んであると、ある程度、解決する。

　そこで、その部分をちょっと読んでみると、これは、ブルバキの本文のページ番号には含まれていない、その前文のページで６ページの所なのだが



　（∀ｘ）Ｒ　とか　（∃ｘ）Ｒ　という形の命題を考えるときのＲも命題ではあるけれども、一般には、それは変数ｘを含む命題でなければならぬ。変数ｘを含む命題とは、いわば一つの≪性質≫を表わしている。命題Ｒが成立しているというのはｘがその性質をもつことであり、命題Ｒが成立しないというのはｘがその性質をもっていないということである。Ｔというのが一つの対象を表わす式であるとき、そのようなＴをｘに代入してＲから得られる命題を（Ｔ│ｘ）Ｒと表わす。この表現法を用いれば、（Ｔ│ｘ）Ｒを≪ＴはＲという性質をもつ≫と読むこともできよう。Ｒという性質が任意に与えられた場合、Ｒという性質をもつｘがつねに存在するとは限らないが、もしそのようなｘが一つでもあったならば、そのようなｘの一つをｘＲという記号で表わす。Ｒという性質をもつｘが一つもない場合にもｘＲという記法は用いる。そのときは、ｘＲは何でもよい、何かある一つの対象を表わすということにしておく。要するに、ｘＲというのは任意のＲに対してつねに定義され、そして、もしＲという性質をもつｘが一つでもあれば、ｘＲはＲという性質をもつのである。すなわち、

　（Ｔ│ｘ）Ｒ　⇒　（ｘＲ│ｘ）Ｒ

はどんなＲに対しても、また、どんなＴに対してもつねに成立する。


　以上、日本語訳前文６ページの下から２行目まで引用。


　引用の途中であるが、夜が遅くなってしまったので、今晩はここまで。

　次回、続きから始めることにする。

　現在２０１３年９月７日３時１２分である。おしまい。