問題１９，２０解答 - 相対性理論を学びたい人のために

　現在２０２４年１０月２２日１８時３９分である。（この投稿は、ほぼ４４１７文字）

麻友「前回の問題は、誘導付きだったわね」

私「大学の入学試験でも、誘導のある問題の方が、部分点をもらえる可能性があるから、お勧めである」

結弦「前回の問題で、 $\varphi(t)=t^6+e^{t^2}+\frac{1}{t}-\log{t}$ というのを、出したから、お父さん気になってたんだな」

私「解けないだろうから、それに挑戦するのも、修行の内って考えてね」

麻友「太郎さんが、解けない問題を出すのは、珍しい」

若菜「問題自体は？」

私「 $\frac{dT}{dt}=\frac{\partial T}{\partial X}\frac{d X(t)}{dt}+\frac{\partial T}{\partial Y}\frac{d Y(t)}{dt}+\frac{\partial T}{\partial Z}\frac{d Z(t)}{dt}$ という連鎖律の式の具体例を、導くこと」

結弦「お父さんが、出した例で、十分なんだよね」

若菜「計算してみると、

$\varphi(t)=t^6+e^{t^2}+\frac{1}{t}-\log{t}$ で、 $\frac{dT}{dt}=\frac{d}{dt}\varphi(t)=\frac{d}{dt}t^6+\frac{d}{dt}e^{t^2}+\frac{d}{dt}\frac{1}{t}-\frac{d}{dt}\log{t}$

だけど、

$\frac{d}{dt}t^6=6 t^5$

以外分からない」

私「段々微分も、難しくなり、技が必要になってくる」

若菜「合成関数の微分法が、必要とか、言ってた」

麻友「 $W(t)=t^2$ と、置くのよ。きっと」

若菜「そうすると、

$\frac{d}{dt}e^{t^2}=\frac{d}{dW}e^{W(t)}\frac{d}{dt}W(t)=e^{W(t)} \times 2t=e^{t^2} \times 2t$

となる。確かにお父さんの書いていた式だ」

結弦「もうちょっと頑張って、

$\frac{d}{dt}\frac{1}{t}=\frac{d}{dt}t^{-1}=-1 \times t^{-2}=-\frac{1}{t^2}$

も、計算できる」

若菜「最後のは、

$-\frac{d}{dt}\log{t}=-\frac{1}{t}$

だと、お父さんが示してくれた。以下の投稿で」

mayuandtaro.hatenablog.com

私「そうだったな。ただ、１箇所説明が不十分だったかも知れない」

麻友「あの証明は、いつもの太郎さんのご多分に漏れず、難しかったわよ」

私「

$=\lim_{h \to 0}\frac{1}{x}\frac{1}{h}\log_e (1+h)=\lim_{h \to 0}\frac{1}{x}\log_e (1+h)^{\frac{1}{h}}$

の部分、 $a\log_e x=\log_e x^a$ を、説明する必要があった」

麻友「どう説明するの？」

私「まあ、公式集を、見てもらっても良いのだけど、 $y=x^a$ などとして、対数の定義から、

$a=\log_x y$ であって、底を移す公式で、 $\log_b c=\frac{\log_d c}{\log_d b}$ というのが、あっただろう。だから、 $y=x^a$ を使って、

$a=\log_x y=\frac{\log_e y}{\log_e x}=\frac{\log_e x^a}{\log_e x}$

となって、両辺に、 ${\log_e x}$ を掛けて、 $a\log_e x=\log_e x^a$ と、求まる」

麻友「ここまで、書くのに、どれくらい時間かかった？」

私「２時間くらい」

麻友「証明で、行き詰まると、時間かかるわよね」

私「それは、そうだ。普段、対数を使っていなかったりすると、公式の証明の１つでも、時間がかかる」

結弦「問題の答えを、出そう。まず、

$\varphi(t)=t^6+e^{t^2}+\frac{1}{t}-\log{t}$

$X(t)=t^6+e^{t^2}$ ， $Y(t)=\frac{1}{t}$ ， $Z(t)=-\log{t}$

から、

$\frac{d}{dt}\varphi(t)=\frac{d}{dt} \biggl ( t^6+e^{t^2}+\frac{1}{t}-\log{t} \biggr)=6t^5+e^{t^2}\times 2t-\frac{1}{t^2}-\frac{1}{t}$

となる。これが、目指すべき式だ」

若菜「 $\frac{dT}{dt}=\frac{\partial T}{\partial X}\frac{d X(t)}{dt}+\frac{\partial T}{\partial Y}\frac{d Y(t)}{dt}+\frac{\partial T}{\partial Z}\frac{d Z(t)}{dt}$ の右辺が、目指す式になることを、計算する」

麻友「 ${T=\varphi(t)=X(t)+Y(t)+Z(t)}$ だった」

結弦「思ったほど、難しくない。

$\frac{\partial T}{\partial X}=\frac{\partial X(t)}{\partial X}=1$

$\frac{d}{dt}X(t)=\frac{d}{dt} t^6+e^{t^2} =6t^5+e^{t^2}\times 2t$

あ、分かった！」

若菜「何が？」

結弦「これ、そのまま、 $\frac{\partial T}{\partial Y}=\frac{\partial Y(t)}{\partial Y}=1$ 、 $\frac{\partial T}{\partial Z}=\frac{\partial Z(t)}{\partial Z}=1$

と、全部 ${1}$ になって、 $\frac{d}{dt}Y(t)$ 、 $\frac{d}{dt}Z(t)$ の部分が、 $-\frac{1}{t^2}$ と、 $-\frac{1}{t}$ になるんだ」

若菜「あっ、お父さん、手抜きの問題だったのね。何にも面白くない」

麻友「どういうつもりで、この問題作ったの？」

私「いや、私にとっても、これは、再発見だったんだ。連鎖律は、証明してあったから、正しいことは、知ってたけど、具体例で、こういう風に現れるというのは、知らなかったんだ」

若菜「これは、お父さん、大ボケ。ペナルティとして、３人それぞれに、スリーベースヒット分、褒美を奢らなければならないでしょう」

麻友・結弦「さんせーい」

私「９００円か。再発見出来たのなら、高くはない」

結弦「そうすると、問題１９は、手抜きの問題だった。問題２０は、『こちらは、軽い問題とする』と、言っているくらいだから、簡単なのだろう。『有理整数』でないもの？」

若菜「ネットを検索しても良いと、言ってるんだから、検索してみますか、カチャカチャ『有理整数』、あー、代数的整数というのも、あるんですね。お父さん、こういう題の本、２冊持ってた。

代数的整数論第2版

作者:高木貞治
岩波書店

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代数的整数論 POD版 (数学全書)

作者:石田信
森北出版

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ただし、POD版ではない。

後者は、吉冨さんと、ゼミの後半使ったテキストのようですね」

麻友「答えは、『代数的整数』だったのね？」

私「その通りだ。代数的整数論の本では、代数的整数を、整数と呼ぶ。実は、 $\frac{1}{2}$ なども、代数的整数なので、代数的整数論の本で、整数と、書いてあった場合、 $\frac{1}{2}$ などのこともあるので、何か間違えていないかと、困ることがある。こういう可能性があることを、心の隅に留めておいて欲しい」