数学を悟ってみて（その２６） - 相対性理論を学びたい人のために

　現在２０２０年１２月２３日１８時４８分である。（この投稿は、ほぼ３６８１文字）

麻友「太郎さん。大掃除なのに、数学もやってきたのね」

私「大掃除は、午前中で終わった。９時から開所してたんだけど、５時５３分に起きて、シャワーを浴びて、朝食を食べて、７時半頃出ていったから、９時４０分頃着いた。それでも、文句一つ言われないのが、ポートやトントンの良いところ」

若菜「午後は、何をしていたんですか？」

私「掃除が終わって、食事を食べたら、帰ってしまった人もいるけど、私は、数学をやることにした。ただ、リュックを開けてみたら、先日から読んでいる本のノートは、入っているのに、その本自体が、なかった」

結弦「忘れて行ったの？」

私「うん。仕方が無いので、昨日その本を読んだとき、問題をノートに写してあったので、それを解いたりした」

若菜「話しかけてくる人なんて、いないんですか？」

私「数学やってると、結構、どんなことやってるのかなあって、覗きに来る人、いるんだよね。昨日のポストカードの先生も、私のブログ見て、円周率求めたりしているから、面白そうと思ったのか、私の本を、見に来た」

麻友「でも、昨日じゃ、もう、 ${\pi}$ は、終わっちゃってたわね」

私「うん。『集合と位相』という本を、私は読んでいた」

結弦「どのくらいのレヴェルなの？」

私「『個数、位数、基数、濃度、 ${n}$ 個の元から成る集合』と、読もうとするけど、私が、『普通の人の理解を越えてますね』と言ったら、納得してた。真面目な集合論の本だから」

彌永昌吉・彌永健一『集合と位相』（岩波基礎数学選書）

集合と位相 (岩波基礎数学選書)

作者:彌永昌吉,彌永健一
発売日: 2002/09/25
メディア: 単行本

若菜「大学何年生くらい？」

私「この本が必要になるのは、大学の理学部でも、数学科だけ。物理学科だって、こんな難しい本、必要ない」

麻友「じゃあ、『直観主義的集合論』と、どっちが難しいの？」

私「それは、もちろん、『直観主義的集合論』の方が難しいけど、この本のレヴェルまで、厳密に数学をやるのは、数学科でも、一部の人だけだよ」

結弦「全員が同じことを、やるんじゃないの？」

私「大学では、研究を将来やるというのが、前提だから、例えば、この間の、『機械による数学』を書いていた、新井紀子さん、なんかは、もちろん数学者だけど、主に、コンピューターのことを、勉強したり、研究したり、しているんだよね。将来何をやるかによって、勉強することは、変わる」

麻友「太郎さんは、何をやりたいの？」

私「これは、難しい問題でね、私、ほとんどの数学が好きで、全部やりたい、みたいな気持ちで、それこそ、１０年以内に、ブルバキ全巻読んで、それで、ほぼ大学２年生までの数学が終わるから、その後、よりどりみどりで、『数学のたのしみ』っていう隔月刊で、数学のトピックを扱った雑誌を、全巻買ってあって、それも、読破しようと思っている」

結弦「すっげー、２０年分くらい、文献持ってる」

私「新しいこととしては、今までの数学では、代数幾何学というものが、中心にあったんだよね。ブルバキも、代数幾何学への入門のための本とも取れる。だけど、代数幾何学の代数というのは、ある意味、代数学の中の幾何学みたいなものだったけど、私としては、代数的数に対する、超越数みたいに、超越幾何学みたいな、もっと先のことを、やってみたいんだ」

若菜「なんか、ガロアの遺書で、読んだようなことを、言ってるみたいに、聞こえますが」

私「目指していることは、似ていると思う」

若菜「それで、今日は、数学を悟ったというのを、聞くはずでしたが」

私「推論のパターンを、書き上げて行っていて、『 ${\Rightarrow}$ 導入-仮定除去（ならば、どうにゅう、かてい、じょきょ）』の、仮定除去の説明から、脱線したんだったね」

結弦「そうだ。お父さんが、仮定除去を、気持ち悪くさせないために、『 ${(3.13 < \pi < 3.15) \Rightarrow (3 < \pi < 4 )}$ 』という例を作ってくれて、これで、 ${(3.13 < \pi < 3.15)}$ が、確認できていなくとも、『 ${(3.13 < \pi < 3.15) \Rightarrow (3 < \pi < 4 )}$ 』を、確認できるという説明をしてくれた」

麻友「説明を、してくれた、というより、これは、正しいわよ」

私「そうなんだ。数学も、実は、証明する、証明する、って言うんだけど、一番大切なところは、型どおりに証明しているところではなくて、『これは、もう、誰が何と言っても、正しいよね』と言って、認めるところなんだ。一階の述語論理の無矛盾性定理にしても、完全性定理にしても、第一及び、第二不完全性定理にしても、自然数論の無矛盾性定理にしても、ステートメントを、丁寧に書いていって、どこも非の打ち所がないほど、場合分けして、全部、コンプリートできたと思った瞬間、『あー、証明できた』という感慨が得られる」

麻友「なんか、泥臭いわね。数学ってエレガントなものなのじゃなかったの？」

私「いや、数学基礎論、或いは、ロジックというものでは、証明は、泥臭くて丁寧な方が、読む方には、読みやすくて、助かるんだ」

若菜「それも、数学なんですか？」

私「普通に見ているだけだと、つまらないものに、見えるけどね、その証明を、丁寧に書き写して、省略されているギャップを、自分の言葉で、きちんと補って、全部の場合をコンプリートしたとき、『この人は、このアイディアに導かれて、この証明に辿り着いたんだ』と、分かって、感動する。そのときの感動は、普通の数学の証明と、同じものだと、少なくとも私は、思う」

結弦「取り敢えず、推論のパターン、書き上げよう

まず、『 ${\wedge}$ 導入』