現在２００５年１０月１４日２１時２８分です。
前回微分積分が発見されたのは、１７世紀であることを書きましたが、その頃生まれた大作曲家アントニオ・ヴィヴァルディの協奏曲集「調和の幻想」作品３を聴きながら、これを書いています。
この協奏曲集の第６番の第１楽章は、鈴木方式でヴァイオリンを習っている人なら、アーモール、と言えば分かる、有名な曲です。４冊目の楽譜に出ていて、初等科卒業と言われる、３冊目のバッハのブーレが終わった後、挑戦できる曲です。
私は３冊目まで習ったところで、ヴァイオリンをやめてしまったので、この曲は弾けません。私と一緒に習っていた、妹が、私がやめた後も、ヴァイオリンを習い続け、とうとうこの曲を弾けるようになりました。
妹がこの曲を弾くのを聴くのは、私にとっては、とても嬉しいことでした。私がいつか弾きたいと思っていた曲だからです。
私の今日の話は、完全にフォローしようと思えば、大学２回生レヴェルの数学の知識を必要とします。でも、他の本には書かれていない話なので、証明が分からなくても、私の話に含まれている、美味しい部分だけつまみ食いするだけで、十分楽しめるはずです。
微分を習ったのだから、その食後のデザートだと思って、堪能してください。
さて、私達の読んでいる本の７１ページからは、テイラー展開の話です。高校で、なぜこの面白いものを教えないのか、私には納得がいきません。
７１ページから読んで行って、最初に分からなくなるのが、ｇ（ξ）を（３．４４）式で定義して、それについてｇ（０）＝ｇ（ｘ）を満たしている。と、書いてある部分だ。これは本の書き方が悪い。ｘとξの二つの変数の関数をｇ（ξ）と、書いているからだ。
ここは、
Ｇ（ξ，ｘ）＝ｆ（ｘ）−ｆ（ξ）−ｆ’（ξ）（ｘ−ξ）
−（１／２！）＊ｆ’’（ξ）（ｘ−ξ）＾２
−（１／３！）＊ｆ’’’（ξ）（ｘ−ξ）＾３
・・・
（ｎ）
−（１／ｎ！）ｆ （ξ）（ｘ−ξ）＾ｎ
−Ａ（ｘ）（ｘ−ξ）＾（ｎ＋１）
と、二つの変数の関数、Ｇ（ξ，ｘ）を定義し、ｘを固定したとき
ｇ（ξ）＝Ｇ（ξ，ｘ）
と、定めるのが、回り道だが分かりやすい。断りなく使ったが、第５章の多変数の関数の記号が、現れている。Ｇ（ξ，ｘ）というのは、ξとｘの二つを決めると、値が一つ対応する関数のことである。
またａ＾ｎというのは、ｎを指数とするという意味で、
ｎ
ａ
の意味である。
そうしたとき、
ｇ（０）＝Ｇ（０，ｘ）
＝ｆ（ｘ）−ｆ（０）−ｆ’（０）（ｘ−０）−・・・
−Ａ（ｘ）（ｘ−０）＾（ｎ＋１）
＝ｆ（ｘ）−ｆ（０）−ｆ’（０）ｘ−・・・
−Ａ（ｘ）ｘ＾（ｎ＋１）
となり、誤差の項Ａ（ｘ）の定義により、ｇ（０）＝０が分かる。
そして、
ｇ（ｘ）＝Ｇ（ｘ，ｘ）
＝ｆ（ｘ）−ｆ（ｘ）−ｆ’（ｘ）（ｘ−ｘ）−・・・
−Ａ（ｘ）（ｘ−ｘ）＾（ｎ＋１）
＝０
も分かるので、やっと、ｇ（０）＝ｇ（ｘ）＝０であることが分かるのだ。（３．４５）式の
ｇ’（ｃ）＝０
となるｃが存在するというのも、ｘを固定してξで微分するというわけであり、第５章の偏微分という考え方を先取りしている。
ｇ’（ξ）
∂
＝────Ｇ（ξ，ｘ）
∂ξ
と書く方法を知っていれば、意味が分かるであろう。
こうして、ラグランジュの剰余項というものが得られるが、この剰余項というものにこだわるのは、数学科の人だけである。多くの関数では、この剰余項というものがｎが大きくなるにつれて、限りなく０に近づき、無視できるようになる。
だから、これを無視して、ｎを無限大まで大きくするまで足し合わせた無限級数を、マクローリン展開という。そして、特に有限のｎまでで止めて、剰余項を書いた式を、マクローリンの定理と呼んで、展開と区別したりする。
例１も実際に計算して試してみるように。
さて、テイラー展開の話のはずだったのに、なぜマクローリン展開なのか。それは、７５ページまで読まないと分からない。テイラー展開の特別な場合をマクローリン展開と呼ぶのである。
明確な区別があるのかというと、実はない。テイラー展開というものは、イングランドのＢｒｏｏｋ Ｔａｙｌｏｒ（１６８５〜１７３１）により、１７１５年に発見され、それが後にスコットランドのＣｏｌｉｎ Ｍａｃｌａｕｒｉｎ（１６９８〜１７４６）により、１７４５年に再発見されたものなのです。
ちょっととばして、７５ページを読み、そこで０の代わりにａ，ｘの代わりにｘ−ａとすればよい。と書いてあるのを読んで、そんなことして良いのかなあ？と思った人がいても不思議はない。
ｘ→ｘ−ａ ０→ａ
という置き換えをしたとき、（３．４３）の左辺のｆ（ｘ）が
ｆ（ｘ）＝ｆ（０＋ｘ）
と表されていたと思えばよいのだ。そうすると
ｆ（０＋ｘ）→ｆ（ａ＋ｘ−ａ）
と置き換えられ、左辺がｆ（ｘ）のままで良いことが分かり、（３．５３）の式が納得できるだろう。
この場合も、剰余項のある形の公式をテイラーの定理と呼び、無限級数にしたものを、テイラー展開と呼ぶ。
ａを０としたものを特別に、マクローリン展開と呼ぶ習慣になっているだけである。こういう習慣というものは、数学でも結構いろんなところで見られ、とまどわされる。例えば、まだ群（ぐん）については学んでないが、そこで、可換群というものが出てくるのだが、これを、場合によって、アーベル群と呼んだり加群と呼んだりする。特に、演算を＋で書くときに加群と呼ぶのだが、なんで演算記号を違えただけで名前が変わるのか分からない。
これは、和と積という二つの演算を考える環（かん）というものを考えるとき、名前を変えておかないと混乱するから、という理由によるのだが、初学者にはそんなこと分からない。数学というのは、こういう風に、結構あちこちに落とし穴があるものなのである。
少し行き過ぎたので、７４ページに戻り、例題３−３はきちんと計算すること。（３．４８）式は
α
（１＋ｘ） ≒１＋αｘ
という近似式が使えるもとになる式である。この近似式は、高校でも習うが、それは、テイラー展開によって証明されるものだったのである。ただし、≒というのは近似できるという意味で使うが、その正確な定義は、岩波の数学辞典にもない。この辞典でも、１４３５ページで使われているのだが。
≒を使うのは、大体等しい、というのを気持ちで表したいときだ、と思っていて良いと思う。＝では結べないが、大体等しいという場合である。
ｘ
ｅ
や、ｃｏｓｘ，ｓｉｎｘ，ｌｏｇ（１＋ｘ）の展開も、実際に手を動かして試してみること。そうすると、なぜｌｏｇｘでなくｌｏｇ（１＋ｘ）なのかも分かる。
ｌｏｇｘでは微分したとき、
１
───
ｘ
となり、ｘを０と出来ないのだ。
７５ページでランダウの記号というものが出てくるが、これを物理の好きな人は、物理学者のＬｅｖ Ｄａｖｉｄｏｖｉｃｈ Ｌａｎｄａｕ（１９０８〜１９６８）の記号だと思いやすいが、残念ながらそうではない。Ｅｄｍｕｎｄ Ｇｅｏｒｇ Ｈｅｒｍａｎ Ｌａｎｄａｕ（１８７７〜１９３８） という数学者が、１９０９年にＯｒｄｎｕｎｇ（ｏｒｄｅｒのドイツ語）にちなんでその論文で使って以来便利なので定着したらしい。物理学者のランダウは、かろうじて生まれていたが、１歳ではさすがに論文は書けない。
そういえば、ファインマンの話は私のブログで何度も登場したが、アメリカのファインマンに対し、旧ソビエトの天才物理学者ランダウの話は、今まで書かなかった。私の尊敬するランダウの名前がこれまででなかったなんて、ちょっと不思議なくらいだ。
ファインマンの言葉で私が、物理学者になるための３つの条件の一つとして心にとめているものとして、
「すぐれた物理学者といわれるほどの人は、全く同一の物理に対してつねに六つや七つの理論的表現を知っているものです。」
というのがあり、残りの２つの条件は、ランダウから学んだものです。
その一つは、ランダウがいつも、数学をしっかり勉強しておいて、物理をやるとき数学に振り回されないようにせよ。と言っていた。というものであり。
３つめの条件は、ランダウが、量子論で数々の業績を残せたのは、古典論をしっかり学んであったからだ。という記述を読んだことがあることです。
・同一の物理に対し六つや七つの表現を持つこと。
・数学を大事にすること。
・古典論を大事にすること。
これが私の物理に対する姿勢です。このブログはそれを表現したものだと言うことに、皆さんは気付かれたでしょう。一般相対性理論という古典論を学んでいること。数学を学んでいること。私が回り道をいとわないこと。これらは皆新しい物理のためなのです。
話がそれましたが、ランダウの記号というものは便利なものなので、結構いろんな本に出てきます。二人のランダウがいたということと共に、覚えておきましょう。
７６ページまで読むと、私がテイラー展開と呼んだものを、この本では、テイラー級数と書いていることが分かります。同じものです。
７７ページにテイラー展開が必ず出来るとは限らないということについて書いてあります。
無限級数が収束しない場合があるのです。物理屋さんはこういうことをいい加減にしているので、何でもテイラー展開できるように扱ってしまいますが、数学科ではここにあるように、収束半径というものをきちんと学びます。
ここでは触れられていませんが、もう一つ重要な概念があって、
ｅ＾（−１／ｘ） （ｘ＞０）
ｆ（ｘ）＝｛
０ （Ｘ≦０）
と定義するとｆはｘ＝０において何回微分しても０となります。従って、テイラー展開を無理にするとそれは０となりますが、ｘ＞０でｆは０ではないのでｆにテイラーの定理を適用したときの剰余項が効いてきていることが分かります。従って、ｆは０の周りでテイラー展開出来ないということが分かります。
志賀浩二さんは数学の３０講シリーズの中でこの関数ｆのことをどんな多項式よりもゆっくりと０から上昇していく関数なのだ、と表現していますが、まことに適切な表現だと言えます。
こういう経緯から、無限回微分可能な関数を
∞
Ｃ
（シーインフィニティ）と表し、これは各点でテイラー展開出来る関数である実解析的関数
ω
Ｃ
（シーオメガ）よりも緩やかな条件であると、数学科では習います。
テイラー展開出来ないという意味が、収束半径を超えているという意味と、全く収束しないという意味と二つあることを、覚えておいてください。上のｆの例は、いつもの解析入門Ｉの９７ページの例３から取りました。
さて今日進むのは、７８ページのオイラーの公式の再登場までです。オイラーの公式についてはこれまでも何度も私の考えを述べてきたので、今日は触れません。
ところで、７７ページのテイラー展開の式を見て、ｓｉｎやｃｏｓの式があるのに、なぜｔａｎの式はないのだろう。と思った人はいませんか。これに気付いた人こそ、今日のデザートを最後まで味わえる人です。
そうなんです。ｓｉｎｘやｃｏｓｘは容易にテイラー展開でき、オイラーの公式まで導けて良いこといっぱい、ほくほくとデザートを味わっている人には悪いですが、数学の恐いところはここからなのです。やってみれば分かりますが、
ｘ＾３ ２ｘ＾５
ｔａｎｘ＝ｘ＋───＋────
３ １５
１７ｘ＾７ ６２ｘ＾９
＋──―――＋――――――─＋・・・
３１５ ２８３５
となってｔａｎｘについては規則性が見えてこないのです。ではテイラー展開できないのか？いや、｜ｘ｜＜π／２で実はｔａｎｘもテイラー展開出来るのです。
焦らさないで答えを書きましょう。
２ｎ ２ｎ
∞ ２ （２ −１）Ｂｎ ２ｎ−１
ｔａｎｘ＝Σ ─―――――――――――ｘ
ｎ＝１ （２ｎ！）
となるのです。Ｂｎって何だ？ 良い質問です。これこそ数学の中に現れる謎の数列の一つベルヌーイ数というものです。なぜベルヌーイだけ名前を付けてもらって、他の人の名前ではないのかというと、ベルヌーイが最初に
ｎ ｒ
Σ ｋ
ｋ＝１
の公式を発見した人だからです。厳密に言うと、日本の関孝和（せき たかかず）（１６４２？〜１７０８）の方が、先に見つけていたそうですが、出版されたのが１７１２年で、Ｊａｋｏｂ Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ（１６５４〜１７０５）の業績が出版された１７１３年よりも１年前であるということです。
いずれにせよ、どちらも生前には発表されなかったようで、この栄誉を生前に得られた人は誰もいなかったと言うことです。
なぜいきなりこの公式の話をこじつけたのかって？ まあ焦らないで。
この本を読み始めたばかりの頃に、
ｎ ｎ（ｎ＋１）
Σ ｋ ＝――――――
ｋ＝１ ２
の公式と、
ｎ ２ ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）
Σ ｋ ＝―――――――――――――
ｋ＝１ ６
の公式は覚えておくように言いました。これからちょっと手品をします。
ｎ ３ ｎ（ｎ＋１） ２
Σ ｋ ＝｛――――――――｝
ｋ＝１ ２
という公式をとりあえず認めてください。認めたくない人は数学の公式集ででも確認するか、
４ ４ ３ ２
（ｋ＋１） −ｋ ＝４ｋ ＋６ｋ ＋４ｋ＋１
をｋが１からｎまで書き並べて足し合わせて証明してください。
４ ３ ２
（ｎ＋１） −１＝４Σｋ ＋６Σｋ ＋４Σｋ＋Σ１
ですから、
４ ３
（ｎ＋１） −１＝４Σｋ ＋
ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）＋２ｎ（ｎ＋１）＋ｎ
となりますね。整理すると
ｎ ３ ４ ３ ２
４Σ ｋ ＝ｎ ＋２ｎ ＋ｎ
ｋ＝１
です。さあ皆さんせっかく微分を習ったのですから、これを自然数ｎの関数と見ず、実数ｎの関数と見てｎで微分してみてください。
３ ２
４ｎ ＋６ｎ ＋２ｎ
ですね。高校生くらいになると、こういうのを見ると因数分解したくなるものです。
２
２ｎ（２ｎ ＋３ｎ＋１）
＝２ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）
良くできました。
これを見て何も思わない人はいないでしょう。そうです。１２で割れば、
ｎ ２ ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）
Σ ｋ ＝―――――――――――――
ｋ＝１ ６
と同じ式になるではないですか。ｋの３乗の公式を微分したら、ｋの２乗の式が得られた。
これが私の手品です。面白くなかった？ もちろんこれで終わりではありません。
なんだそれだけのことか。と、がっかりするのは早い。じゃあｋの２乗の式を微分したら、１乗の式が得られるのか？
やってみてください。
ｎ ２ １ ３ １ ２ １
Σ ｋ ＝―――ｎ ＋ ――ｎ ＋ ――ｎ
ｋ＝１ ３ ２ ６
の右辺を微分する。
２ １
ｎ ＋ｎ＋―――
６
なんだ。２で割っても
２
ｎ（ｎ＋１） ｎ ＋ｎ
――――――＝――――――
２ ２
と違うじゃないか。１／６だけ多い。失敗だ。失敗だ。手品は大失敗だ。
と、あなたは思いますか。数学の世界を探検するのに、そんなにあきらめが早くては大魚を取り逃がします。
そういえば、ｔａｎｘを展開したとき最初の項はｘだった。それなのに、私が書いた答えの式は、ｎ＝１の項が
２ ２
２ （２ −１）Ｂ１
―――――――――― ｘ
２！
４＊３＊Ｂ１
＝――――――― ｘ
２
＝６Ｂ１ ｘ
となる。そうすると、謎の数列と言っていたベルヌーイ数の最初の項
１
Ｂ１＝―――
６
だったんだな。あれっ？ これって偶然？
いや、偶然ではないのです。Σｋの２乗の式を微分したときに邪魔になった、１／６ こそベルヌーイ数の最初の項だったのです。
これで手品は種明かしです。
Σｋの奇数乗の式を微分して割り算をするとΣｋの偶数乗の式が得られます。そして、Σｋの偶数乗の式を微分して、定数項に現れる数を（本当は２回に１回マイナスの数になるのだが、そのマイナスをとって）下から順にＢ１，Ｂ２，・・・としていくとベルヌーイ数となる。
逆に言うと、ベルヌーイ数というものを先に求めることが出来たら、微分と逆のことをすることにより、どんどんとΣｋのｒ乗の式が作れることになる。ベルヌーイ数の一般項をｎで表す式はないの？
残念ながら私には出来ませんでした。ここまでのところは、私は本当は微分して見つけたのではなく、積分して見つけたということを除けば、私が高校２年生の時にやったことでした。
最後に言うのも気が引けるけど、清少納言の枕草子じゃないけど、今日の話は、私の数学における最高の自慢話。
そう、私は高校２年生の時に、Ｔｎと書いて私の数列をレポートにした。でもそれは２００年以上前に分かっていたことで、私はそこから先、ＴｎではなくＢｎをさらに解き明かすということは出来なかった。
ｔａｎｘのテイラー展開に現れるということを知ったのも、大学に入って、解析入門Ⅱ の３３６ページで読むまで知らなかった。
だからこの自慢話を完結させるのは、最初にあげておいた写真。２００年以上たって同じことを発見した私が、唯一付け加えたのは、２項係数と呼ばれる数を
１
１ １
１ ２ １
１ ３ ３ １
１ ４ ６ ４ １
１ ５ １０ １０ ５ １
と順々に右上と左上の数を足し算するだけで求めていく表にヒントを得て、Σｋのｒ乗の式の係数をどんどん求めていく表を作ろうとしたこと。
それがあの写真に載っている表で、私の数学の先生が、これは面白いということで、私には出来なかったなぜその表が正しいのか、という証明を付けて、広島県高等学校教育研究会（数学部会）の会誌第２５号に投稿してくれたものです。
やり方は簡単。左上から右と下に向かって、１，２，３，４・・・と数字を並べる。まずΣ（ｋの０乗）はΣ１だから、答えはｎであることを知っている。だから係数は１だ。二項係数を１から始めるように、左の１番上は１から始める。
そこから、表の１番上に並べた数で割り、１番左に並べた数をかけてそれぞれの数の右下に書くということを繰り返す。
まず１を
１ ２ ３ ４ ５ ６
１
２
３
４
５
６
と並べた表の左上に書くので
１ ２ ３ ４ ５ ６
１
１
２
３
４
５
６
だ。本当のことを言うとΣ１がｎなので、ｎの０乗の項はないために定数項のところは空欄にしておくのがミソだ。
今思えば０から始めれば良かった。大学では自然数は０から始めるが、この本の著者のように当時の私は自然数は１から始まるものと思っていた。
次にこれを２で割り１をかけて
０ １ ２ ３ ４
０ １
１ １／２
２
３
４
とする。さてここで、数学でも実験というものが必要だと分かる。Σ（ｋの１乗）の式で実験する。ｎの１次の項には何を置いたらいいか。その答えは、Σｋの式で、ｎ＝１とした時、
１ ｒ
Σｋ ＝１
ｋ＝１
がｒがなんであっても成り立つということだ。
だから、１次の項を埋めるには、その行の分数を全部足して、１になるように係数を定めればよいのだ。従って、
０ １ ２ ３ ４
０ １
１ １／２ １／２
２
３
４
となる。後はこの繰り返し。
０ １ ２ ３ ４ ５
０ １
１ １／２ １／２
２ １／２ １／３
３
４
までかけ算割り算した後、足して１になるように１／６を一次の項の係数とする。
０ １ ２ ３ ４ ５
０ １
１ １／２ １／２
２ １／６ １／２ １／３
３
４
参考のためにもう少し書くと、
０ １ ２ ３ ４ ５
０ １
１ １／２ １／２
２ １／６ １／２ １／３
３ １／４ １／２ １／４
４
まで、３をかけて２や３や４で割った数を書く。そして、分数の足し算。この場合、ちょうど１になるので、１次の項は０。
０ １ ２ ３ ４
０ １
１ １／２ １／２
２ １／６ １／２ １／３
３ ０ １／４ １／２ １／４
４
次は、
０ １ ２ ３ ４ ５
０ １
１ １／２ １／２
２ １／６ １／２ １／３
３ ０ １／４ １／２ １／４
４ ０ １／３ １／２ １／５
まで４をかけて上に並んでいる数で割り、最後に足し算。
３１／３０となるので、一次の項の係数は、
１
− ―――
３０
となる。前にベルヌーイ数を定めるとき、２回に１回マイナスになるのでそのマイナスをとったものをベルヌーイ数とすると言ったが、ここで現れるのがそのマイナス。表に書き込んで
０ １ ２ ３ ４ ５
０ １
１ １
１ ― ―
２ ２
１ １ １
２ ― ― ―
６ ２ ３
１ １ １
３ ０ ― ― ―
４ ２ ４
１ １ １ １
４ − ―― ０ ― ― ―
３０ ３ ２ ５
５
ここまで来れば、誰でも後を続けられるだろう。私の写真をうつすと。
０ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７
０ １
１ １
１ ― ―
２ ２
１ １ １
２ ― ― ―
６ ２ ３
１ １ １
３ ０ ― ― ―
４ ２ ４
１ １ １ １
４ −―― ０ ― ― ―
３０ ３ ２ ５
１ ５ １ １
５ ０ −―― ０ ―― ― ―
１２ １２ ２ ６
１ １ １ １ １
６ ―― ０ −― ０ ― ― ―
４２ ６ ２ ２ ７
となっている。従って、ベルヌーイ数は、
１ １ １
Ｂ１＝― ，Ｂ２＝――― ，Ｂ３＝―――
６ ３０ ４２
である。解析入門Ⅱを持っている人は、３３６ページで確かめてみて欲しい。ここで、そちらを見た人は分かったと思うが、分子が１であるのはＢ４までだということだ。このベルヌーイ数の分子というのは、今はワイルズによって完全に解かれてしまったが、つい何年か前まで未解決だった、フェルマーの大定理の証明にも関係するホットな話題だったようだが、それについては私の発見ではないので、この自慢話の最後には持って来たくない。
これは私の、数学における最高の自慢話だと書いた。物理における自慢話は、静電磁気学が話題に上ったときに話すことにしよう。
今日は、「香炉峰の雪やいかならん」というのにすだれを掲げて見せた。という清少納言のように博識ぶりを見せびらかさんとしたのだが、最後までおつきあいくださり、ありがとうございました。
ヴィヴァルディなんてとっくに終わってしまって。その後やっぱりバロックで、と思ってパッヘルベルのカノンやジーグをかけたがそれも終わってしまって、もう何もかけてない。
今晩は完全に徹夜になってしまい、現在２００５年１０月１５日６時３３分。
デザートは堪能できただろうか。
私はこのブログを書いてみて初めて、ではｋのｒ乗のｒが自然数ではなく複素数を動いたら、公式はどうなるのだろうかと、思いをはせた。ｎを∞まで足し合わせる場合、それはリーマンのゼータ関数となる。だが、ｎを途中で止めたら・・・
それはまだ私の調べていないことである。そして、知っているのは、∞まで足し合わせると言うことは、このように整数を足していく場合、ｒが自然数なら、級数は無限大に発散する。例えば、
３ ３ ３ ３
１ ＋２ ＋３ ＋４ ・・・＝＋∞
としたくなる。だが、このシリーズの５巻を読む時、これが
Ｂ２
ζ（−３）＝―――
４
という有限の数値を持つとした方が、数学的には美しい。そして、量子力学をきわめて、繰り込み理論というものを制覇するには、無限大に発散するこれらをこのように有限の数値で置き換えたみたいなことを自然がやっているということを認める必要がある。
これはまだ以前の大学にいた頃、「弦理論への道」という本で読んで驚かされたことである。自然は本当にこの様な置き換えのようなことをやっているのか。複素関数論というものは、そこまで自然の摂理をえぐり出しているものなのか。
それはまだ、私のこれから調べていくことである。
繰り込み理論について。そして、有限のｎまでの場合の複素数指数の和の公式。これらについて、もっと新しい情報を知っている人は、出来れば教えて欲しい。私に理解できるかどうかは兎も角、そこに新しい科学の開ける先があると思うから。
２００５年１０月１５日７時１０分、これで今回の大冒険を終わりとする。
２０１２年０４月０６日０７時２１分復活させた。
