現在２００５年１１月２０日１４時２８分である。
久しぶりの更新である。この１５日間というものは、リンクの張ってある、やっぱり物理が好きというブログのさとみ様に、上つきの添え字の書き方を教わったり、お気に入りブログにリンクが張ってある、学校では教えてくれない数学というブログのｃａｌｃさんのところにコメントを書いたりしていたが、私自身のブログは更新しなかった。会社から帰ってきて、とても疲れていて、１８時半頃から寝てしまう日も多く、ゆっくりブログを書く暇もなかった。
さて、それではいよいよ、第４章の積分にはいるのだが、その前に、第３章の演習問題の４番で、グラフの概形を描け、と書いてありながら、解答にグラフがないのを、不親切だよね、と書いたのを思い出した。
不親切だよね、といいながら、私も、描かなかったので、やはり私も不親切だ。そこで、４番の（ａ）と（ｂ）について私自身が、ｍａｔｈｅｍａｔｈｉｃａを用いてグラフを描いたので、載せておく。
これが、ｙ＝ｘ4＋４ｘ3のグラフ。大体の感じがつかめればいいでしょ。ほら、さとみ様に教わった、上つきの添え字が入っている。大分読みやすくなったでしょ。でも、これを入れるのは一苦労なんだよね。上つきの添え字を入れた後、その後の文字まで、上つきになってしまったりして、なかなか慣れるまで大変。
次が、（ｂ）のｙ＝ｘｅ－ｘのグラフ。背景にある、「・・・からの演習」というのは、私がｍａｔｈｅｍａｔｈｉｃａの使い方を勉強している、
「Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ基礎からの演習」というサイエンティスト社の本。まだ最初の方しかちゃんと読んでないので、せっかくの素晴らしい数学のツール、ｍａｔｈｅｍａｔｈｉｃａも宝の持ち腐れだね。
それでは、いよいよ、第４章に入ろう。
まず、８３ページ。積分とは、微分の操作の逆であると書いてある。このイメージ自体は正しい。ある関数を微分するのに対し、微分して、この関数になるのは、どんな関数なのか、と問うのが、積分の一つの位置づけ。高校でも、そう習ったように思う。
だが、積分とは、この本にあるように、定積分を、まず定義して、それが、微分の逆操作になることを、後から証明するのが、少し分かりにくいが、今後のためである。そういう定義を知っておかないと、この本では名前しか出てこないが、ルベーグ積分などを学ぶとき、なんでこんなものをやらなきゃならないのか分からなくなってしまう。
とはいうものの、積分の定義が分からなくて、悩むよりも、実際に、演習問題を解いて、なんだ、積分ってこんなに簡単なものだったのかと、納得してもらう方が、本当は重要である。
８４ページに進んで、リーマン和というものが出てくる。ξｋというものをちゃんと固定しないでおいて、そこでの関数値を使って、和を求めておいて、それに名前を付けちゃったりして良いのだろうかと、心配になるかも知れないが、これは大丈夫なのである。
私は大学１回生の時、解析入門Ⅰの２０７ページで、いきなり、一般のｎ次元の場合のリーマン積分の定義を読んで、非常に苦労したのを覚えている。皆さんは、１次元なのだから、少しは、イメージを持ちやすいと思われる。
８４ページの図４－１良く見ながら、８５ページのリーマン積分の定義を読んで欲しい。
８５ページの例１は、良く理解すること。ここで、Σ の計算が、かなりどんどん現れてくる。一言注意しておこう。
Σ（ｋ２－２ｋ＋１）
＝Σｋ２－２Σｋ＋Σ１
と、バラバラにして、定数を前に出せるのは、このΣ が有限和だからだ。有限個の数の足し算なので、順番を入れ替えたり、することが出来るのだ。これが、無限級数だと、いつも必ず、この様に自由に出来るとは限らないことを覚えていて欲しい。
実際に計算した人は分かったと思うが、８５ページの下から５行目のＲｎの計算で、
２＊ｎ（ｎ＋１）／２＋１｝→１／３
となっている、“｝”の最後の１はｎの誤植だ。
２＊ｎ（ｎ＋１）／２＋ｎ｝→１／３
が、正しい。
８６ページで、区分的に連続、という言葉が出てくる。あまり「区分的に」ということにこだわらない方が良い。どうせ、物理では、不連続点があるとしても、一カ所だけであることが多く、その場合を含めるために、こんな言葉が使われているのだ。
複素解析に進むと、区分的に微分可能な閉曲線などというものが出てきて、もっと一般化できないか、などと私などは考えて、そこで立ち止まってしまって、先へ進めなかったものだが、こういう数学の落とし穴は、至る所にある。
このブログの目的は、そういう落とし穴を、少しでもふさぐことにある。
８７ページの二つのグラフを見て、納得してもらえば、それでよい。
８８ページでディリクレ関数というものが出てくる。これがリーマン可積分でないというのは、数学の得意な人には、明らかなのだが、物理的センスだけでやってきた人は、こういうのがすぐにはピンと来なかったりする。例え分からなくても悲観しないように。
今日は、８８ページのルベーグ積分という言葉が出てきたところまでで、終わりとしよう。
現在２００５年１１月２０日１６時３４分である。おしまい。
