相対性理論を学びたい人のために

まだ一度も相対性理論を勉強したことのない人は、何か一冊相対性理論の本を読みかじってみて、なぜこんなことが?という、疑問を持ってからこのブログに来てください。

久しぶりの微分積分

 現在2005年12月17日22時14分である。

まだ0歳の姪 今月に入ってから、ブログを更新していなかった。かなり忙しかったのだ。明日が誕生日のまだ0歳の姪が、実家のパソコンの電源ボタンを何度も続けざまに押したために、パソコンが壊れてしまったのだ。

 私は、マザーボードがやられたのではないかと見ているのだが、父は電源が壊れたのだろうと言っている。もし電源なら、1万円もかからずに、治せるが、マザーボードならもっとかかる。とりあえず父がハードディスクの中味だけ取り出したいというので、実家へ帰り、ハードディスクを外付けに出来るセットを買ってきて、つないだら、ハードディスクは生きていた。良かった、良かった。

 そんなことをやっていたので、週末も忙しかったのだ。上の写真が、その悪戯をした張本人。1歳になる前から、公の場に写真が公開されている。もう有名人気取り?
DSP-AX4600 さて、以前エロイカの話を書いたとき、もう少ししたら、AVアンプを買おうと思っていると書いたが、誕生日に祖母からもらったお祝いも加えて、遂にそのアンプを買った。

 左の写真の金色をしているのがそのYAMAHAのアンプ。その上のが、SONYのCD-MDプレーヤー、さらに上がPIONEERのDVD-SACDプレーヤーである。下の黒いのは、DATデッキ。大学時代はこのDATデッキも随分活躍してくれたが、今ではほとんど使われていない。

 今回のアンプが来たお陰で、CDもMDもDVDもSACDもヴィデオテープもDATも、全部私の5.1chスピーカーで音を出せるようになった。

 私が現在買える、最高のアンプである。
 次には、スピーカーをもっと素晴らしいものにしたいと考えている。今のは、とりあえず5.1chになっているが、その中では最低レヴェルなので、もっと深みのある音のする、立派なスピーカーを欲しいと思っている。それで、イッセルシュテットエロイカを聴きたい。

 

 前置きはそのくらいにして、微分積分を進めよう。

 88ページからだった。定積分の性質。

 積分操作の線形性というものが出てきている。これは、例3のような計算が出来るということであり、実際に計算するときは、わざわざこれを定積分の性質として意識せずに、どんどん使って慣れていって欲しい。証明は、リーマン和の定義に戻って考えれば良いのだが、実際に計算になれてしまうと、改めて証明するのは、馬鹿らしくなる。

 また、その後の(2)~(4)も、意味を考えれば、わざわざ証明というものをしなくても良いことが分かる。例4など、具体的に考えて、身につけること。(4)については89ページの下の方に、3角不等式を用いることが書いてあるが、どう用いるかというと、

|f(ξ)Δx+f(ξ)Δx

|f(ξ)Δx|+|f(ξ)Δx

|f(ξ)|Δx+|f(ξ)|Δx

というようにnを2の場合にしてみると、分かりやすい。これを繰り返し用いて、一般のnの場合が示されるのである。

 (5)の積分に関する平均値の定理は、本文に証明が書いてあるので、良いだろう。

 (6)のシュワルツの不等式は、高校でも習うが、大学では知っていて当たり前なので、証明も理解しておこう。λの2次式が常に正。つまり、放物線のグラフが数直線よりも、上にあるということであり、これは、2次方程式の解の判別式D≦0ということである。

 この辺のことは、本当は、中学3年生でも分かることだよね。

ax+bx+c=0の判別式が、

D=b-4ac

となることは、もうほとんど常識。小学生は、ちょっと背伸びをして、2次方程式の解の公式というのを調べてみよう。

 ここで、まだ絶版になっていない新しい本で、小学生が中学での数学を予習することの出来る本を見つけたので紹介しておこう。

高橋 一雄(たかはし かずお)著

「語りかける中学数学」(ベレ出版)

 2940円

である。

語りかける中学数学
語りかける中学数学
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 小学生には厚ぼったくてちょっと高いかな? でもこの一冊で、中学で習う数学が一通り概観できる。中学の先生が教えてくれることは大抵書いてある。その反面、教えてくれないこと、例えば、円錐や角錐の体積がなぜ3分の1になるかということの証明が載っていなかったりするが、それは後から補うことも出来る。この本で、一通り中学の数学を知った後、よりレヴェルの高い本へ進めばよいと思う。

 話がそれたが、シュワルツの不等式は、判別式を4で割って、移項したものなんだね。

 90ページの下から、不定積分の話が始まる。原始関数という言葉や、不定積分という言葉は、本によって定義が異なる。数学のこういうところは、完璧主義の初学者を悩ませる。不定積分の具体的な計算をいくつもやって、不定積分ってこんなものかというイメージをつかんで欲しい。それがつかめれば、どんな本を読んでも、文脈から、著者がどういう意味でその言葉を使っているか分かるようになる。

 積分定数というものも、高校ではうるさいことを色々いわれるが、大学へ行くと、その扱いは随分といい加減になる。

 91ページの下から92ページにかけてある、不定積分の例は、全部覚えようなどと無理することはない。私自身、tan x の積分なんて覚えていない。必要になったとき、本のどこを見れば良いのかが分かっていればよい。

 反対に、93ページに書いてある、部分積分の公式というものは、重要なので覚える必要がある。例2や例3のような具体的な計算も、出来るようにならなければならないし、抽象的な式の取り扱いも出来るようにならねばならない。

 なぜ今回だけ、具体的な計算だけでなく、抽象的な式も覚えなければならないのかというと、解析力学を学ぶとき、変分法というものが出てくるのだが、そこでこの公式が、威力を発揮するからである。相対性理論のカテゴリーでいずれ現れるだろう。かなり先になると思うが・・・

 94ページでは置換積分というものが登場する。(4.34)式を覚えるのは無理だろう。そんなことより、具体例を通して、次のような技法を身につけることが重要である。

 例5で説明すると、x=φ(t)=tan t とおいたとき、直ちに、

     1

dx=─────dt

   cos

と計算できるように、慣れることである。

 初めのうちは、

dx dφ    1

──=──=─────

dt dt cos

と計算してから、両辺にdtをかけるというようなことをしていても良いが、慣れてきたら、直ちに、

     1

dx=─────dt

   cos

と書けるようになるのが望ましい。これは、x=φ(t)から

dx=φ’(t)dt

とするということであり、覚え方は、

   dx

dx=──・dt

   dt

というように分数を連想すると良い。この技法は、便利なのであるが、分数だからといって、

      dx

dx=dt・──

      dt

として良いかと言われると困ってしまう。例5の計算で、

   1

∫─────dx

 1+x

 

     1        1

=∫───────dt・─────

  1+tant   cos

 

とするのは、誤りだからである。

 便利な技法というものは、どういう使い方をすると失敗するかということまで把握して初めて、使えるようになったと言えるのである。

 94ページの下から95ページにかけて、微積分学の基本定理というものが書いてある。これにより、定積分の計算が、リーマン積分の定義の、微小な区間に分けてたし合わせるというものから解放される。原始関数を求めることに注力されるようになるのである。

 

 今日はここまでにしよう。今日の投稿は、新しいアンプを通して、ロドリーゴのアランフェス協奏曲、ヴィヴァルディの和声と創意への試み、ベートーヴェンブラームスのヴァイオリン協奏曲、ベートーヴェンの大公トリオ、シューベルトのピアノ3重奏曲第1番などの5枚ほどのMDを聴きながら書いた。

 実は、投稿は2時頃には出来上がったのに、操作を誤って、文章を消してしまった。それで3回も同じものを書いていて、こんなに遅くなってしまった。今日が日曜日で良かった。

 いたずらっ子の姪にお誕生日プレゼントとして、今日の投稿を献じよう。

 2005年12月18日05時07分。おしまい。