現在２００５年１０月３０日０時１６分です。
前回、ゼータ（３）、すなわちζ（３）が、簡単に求まるようなことを書いた。だが、これは問題が悪すぎた。難しすぎたのだ。
どういうことか説明しよう。まず、岩波の数学公式でも何でもいいから。
ｘ ｘ－１
ζ（ｘ）＝２ ＊π
πｘ
＊ｓｉｎ───＊Γ（１－ｘ）＊ζ（１－ｘ）
２
という関数等式が成り立つことを認めて欲しい。これで、ｘ＝３としても、Γ（１－３）＝（－３）！が求まらない。
そこで、ガンマ関数についての関数等式、
π
Γ（ｘ）Γ（１－ｘ）＝───────
ｓｉｎπｘ
も認めて変形しよう。ｓｉｎについての倍角の公式から、
ｓ－１ ｓ
ζ（ｓ）＝２ π
１
＊─────────ζ（１－ｓ）
πｓ
Γ（ｓ）ｃｏｓ──
２
となる。ここで、後のために、変数をｘからｓに変えた。
さてここで、ｓ＝３としても、私が前回説明した式、
ｂｎ＝（－ｎ）ζ（１－ｎ）
の式を用いて、ｂ３＝０と、ｃｏｓの０とで、０／０となって、値が求まらないのだ。
そこで一工夫する。
ｓ＝２ｎ＋１＋ｘ と少し、ｓを奇数からずらす。
前回解析入門ＩＩをみて欲しいといった式、
ｘ ∞ ｂｎ ｎ
───── ＝ Σ ──── ｘ
ｘ ｎ＝０ ｎ！
ｅ －１
の両辺にｘをかけて、
２
ｘ ∞ ｂｎ ｎ＋１
───── ＝ Σ ──── ｘ
ｘ ｎ＝０ ｎ！
ｅ －１
として、これを用いると、一つ上の式から、
４
ｄ ｘ
ｂ４＝─────（────────） ｜ｘ＝０
４ ｘ
ｄｘ ｅ －１
となる。これをもう少し丁寧にみると、
４ ２
ｄ １ ｘ
ｂ４＝─────（──＊────────）
４ ｘ
ｄｘ ｘ ｅ －１
とみることが出来る。そこでこれにライプニッツの公式を適用する。積の導関数だ。
そうすると、
４ ２
１ ｄ ｘ
ｂ４＝───＊─────（────────）
４ ｘ
ｘ ｄｘ ｅ －１
＋残りの項
となる。ここで注目して欲しい。
何と、この第一項は、
ｂ３
────
ｘ
で、ｘを０へ飛ばしたものになっているではないか。
だから、残りの項も有限の値にとどまれば、この極限が求まる。実際やってみると、
１
───
ｘ
の微分から現れた、ｘの負のベキの分子は、ｘの５次式で、４次以下の項が０となる。その計算のためには、私のベルヌーイ数 ｂｎ の実際の値を代入し、計算する。ｎ＝４まで必要になる。そして、注意しておくと、ｂ－１と置きたくなるところは、０となることだ。それは、解析入門ＩＩを見て欲しいといった式にｘをかけた式の、０次の項が０だからである。
さてその計算をして、
１
────
５
ｘ
の分子の５次以上の式とで、ｘを０へ持って行くと、２９＊ｂ４ となる。だから、求めたい極限は、－２８ｂ４ となる。
さて、
π（２ｎ＋１＋ｘ）
ｃｏｓ（──────────）
２
ｎ＋１ π
＝（－１） ｓｉｎ（───ｘ）
２
であるから、ｎ＝１ならζの関数等式は分母にこれが来ることになる。これがｘを０へ持って行く極限で、どうなるか。今、分母に一個余分にｘをかけたので分子にもｘをかけられる。そして、それをπ／２倍すると、ｘを０へ持って行ったとき、１になる。これは、この本を読み始めたばかりの頃に、確かめた。だから、
３ ２（－２８ｂ４）
ζ（３）＝４＊π ───────
π２！３！
となる。計算して、
２
ζ（３）＝π ＊１１２／１８０
となる。ここで、ｂ４＝（－１／３０）を使った。
これを計算すると、６．１４１０８７１８３・・・となる。ζの３の正しい値は、１．２０２０５６９０３２・・・である。
全然違う。やはり、ζ（３）を求めるのは難しいようである。
今日はまたアイディアを示しただけで終わった。
現在２００５年１０月３０日２時１１分である。おしまい。
