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相対性理論を学びたい人のために

まだ一度も相対性理論を勉強したことのない人は、何か一冊相対性理論の本を読みかじってみて、なぜこんなことが?という、疑問を持ってからこのブログに来てください。

独立な超越数

 現在2015年7月21日20時06分である。

 昨日は、月曜だったので、物理学と数学のゼミをやっていた。

 そのときに、前回の投稿で触れた、超越数の話題になった。

 その数とは、

{\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}{10^{-n!}}=0.11000100000000000000000100...}

のことである。

 簡単に説明しておくと、有理数を係数とする有限次の方程式の根にならない数を、超越数という。

 さて、ゼミで、友人がこう言った。

「今、これが、超越数だと分かっていますよね。でも、この数を係数に加えても、パイを根にする方程式は、作れませんよね。だから、パイは、独立な超越数です。ところで、今の2つを係数に加えても、自然対数の底イーを根にする方程式は、作れません。だから、イーは、独立な3番目の超越数です。」

「そうだね。」

「じゃあ、こうやって、どんどん、無限に独立な超越数を、作り続けられますかね。」

「うーん。連続無限までいけるかも知れないけどなぁ。」

と、私が言うと、

「連続無限なんて無理ですよ。実数の可算モデルがあるんだから。無限に作れるかを、聞いてるんです。」

と言われた。



 この問題を家に帰ってから調べ始めた。

 きっかけは、単純なことだった。

 その人が、ゼミのとき、

「日本人は、何でも『超』って付けたがり過ぎますよね。ディストリビューションを『超関数』、スーパーストリングを『超弦理論』、ノン・スタンダード・アナリシスを『超準解析』、みたいに。」

と言ったのだ。

 家で、それを思い出した私は、

「じゃあ、『超越数』は、英語で何というのだろう?」

と思ったのだ。

 それで、フェラーリの親友と、ただ1人の女性の親友が、プレゼントしてくれた、『数学辞典 第4版』を引いた。

『transcendental number(超越した数)』

というそうである。

 さて、せっかく引いたのだから、読み始めた。

 すぐに、私は、2007年頃までの数学が、古いことに気付いた。

 この頃までの数学は、さっきの人が言ったような意味で、

『独立』

ということを定義しているのだ。

 だが、私に言わせると、パイとイーは、独立ではない。

 なぜかというと、次のオイラーの公式というものがあるからだ。

{e^{i\theta}=\cos{\theta}+i\sin{\theta}}

 この式にパイを代入すると、

{e^{i\pi}=-1}

となる。

 だから、イーという数を知っていれば、パイを定義できるのだ。右辺が『-1』になる数として。

 逆に、パイを先に定義して、それを使って、イーを定義することも出来る。

 とにかく、一方を見つければ、他方はイモヅル式に、見つかってしまう。

 独立な発見ではない。 

 まったく新しい概念に基づく超越数があったとき、それを、独立だというべきだ。

 それで、私は、さっきの人に、




超越数が、今までに得られている超越数から、代数的に独立』

という概念は、古いと思います。

『今までに得られている、超越数を求めるアルゴリズムを、どうやって工夫しても得られない数』

としなければ、なりません。


 でも、この定義は、矛盾を含んでいます。

 新しいアルゴリズムが見つかったなら、それは、以前のものを工夫して作ったと見なされるからです。


 でも、エフェクティブという概念があるようです。


 ところで、もう一つ矛盾があります。

 アルゴリズムの数は、可算個です(多分)。だって、有限の言葉で書かれているから。

 ところが、私は、独立な超越数は、連続無限個あると予想しています。


 またしても、決定不能命題?(つまり、可算個か連続無限個かは、ZFCと独立ということ)


 お陰で、渡辺麻友さんが、ほったらかしです。ありがとう。


 松田太郎

2015年7月20日21時30分




というメールを送った。


 そして、自分のノートには、

「ZFCから独立とは、可算モデルも作れるし、連続無限モデルも作れて、どちらも無矛盾ということ。 2015年7月21日1時19分」

と、書いて、フルニトラゼパムという強力な睡眠薬を飲んで、布団に入った。

 だが、頭が冴えていて、この2つの矛盾を考えていた。


 結局、このままでは眠れないことが分かり、こういうときのための、追加のフルニトラゼパムと、液体のリスパダールを、半月ぶりくらいで飲んで、死んだようになって寝た。


渡辺麻友さんが、ほったらかしです。ありがとう。」

というのは、

まゆゆ、に、ツイートするのを忘れるくらい、数学に没頭できて、幸せなひとときを過ごせました。この1時間ほどを、プレゼントしてくれて、ありがとう。」

という意味だった。

 これは、私が、数学に没頭している1時間くらいは、大好きな女の人の存在すら忘れるということであり、同時に、普段は、常に、まゆゆ、のことばかり考えている、ということなのだ。


 上の定義の矛盾が生まれるのは、私が、

『工夫』

という言葉をうまく数学の言葉に出来ていないからだ。

 これが、現代数学で、どう解決されているか、知ってる人いません?

 まゆゆ、今日は、難しい話だったけど、私の研究の最前線でした。

 じゃ、バイバイ。

 現在2015年7月21日21時56分である。おしまい。