キラキラ星変奏曲（変奏３） - 相対性理論を学びたい人のために

　現在２０２０年８月２日２０時３４分である。

麻友「１６進数で、求まったの？」

私「駄目だった」

結弦「駄目って、 ${\zeta (3)}$ の厳密値を、求められなかったということ？」

私「うん」

若菜「あれっ、でもそれって、お父さんの『キラキラ星変奏曲』という投稿での、

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私「だけど、私は、『 ${\zeta(3)}$ が、超越数でない』としても、無矛盾の数学が作れるだろうと、言っている。つまり、現在の数学では、『 ${\zeta(3)}$ が、超越数だ』としても『 ${\zeta(3)}$ が、超越数でない』としても、両方認められると、言ってるんだ」

麻友「それ、矛盾してない？」

私「実は、ひとつだけ、矛盾しないようにする、方法が、あるんだ」

麻友「どんなの？」

私「 ${\zeta(3)}$ の、厳密な値が、現在の数学で、どうしても求められない場合」

麻友「求められないって、数学が進歩すれば・・・。あっ、その計算は、Mathematica 4.2 でやった。太郎さんは、今、Mathematica 12.1 J を、持ってる」

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（『キラキラ星変奏曲』より）

の部分の、

『現在の数学では、『 ${\zeta(3)}$ が、超越数だ』としても『 ${\zeta(3)}$ が、超越数でない』としても、両方認められる。そして、その理由は、 ${\zeta(3)}$ の、厳密な値が、現在の数学で、どうしても求められないから』

という予想が、正しいからなんじゃ、ないですか？」

私「あっ、そうかも知れないな。予想を、証明したことには、ならないけど、傍証のひとつには、なるな」

麻友「そもそも、 ${\zeta(2)}$ が、なんとか、とか、 ${\zeta(4)}$ が、なんとか、とか、どうやって求めてるの？」

若菜「私、中学２年生で、『数学ガール』読んでましたよね。あの本は、 ${\zeta(2)}$ を、求める冒険なんです」

結城浩『数学ガール』（ソフトバンククリエイティブ）

数学ガール (数学ガールシリーズ 1)

作者:結城浩
Softbank Creative/Tsai Fong Books

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麻友「えっ、やられた。ゼータ４、とか、ゼータ６、とか、偶数は、全部オイラーが、求めたって言ってたけど、どうなるの？」

私「岩波の数学公式Ⅱで、

級数・フーリエ解析 (岩波数学公式 2)

作者:繁一, 森口,信, 一松,〓久, 宇田川
岩波書店

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３９ページに、数値のテーブルがある。

　まず、リーマン・ゼータ関数の定義。

$\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s} =1+\frac{1}{2^s} +\frac{1}{3^s} +\frac{1}{4^s} \cdots$

${s=2}$ として、

$\zeta(2)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} =1+\frac{1}{2^2} +\frac{1}{3^2} +\frac{1}{4^2} \cdots =\frac{\pi^2}{6}$

${s=3}$ として、

$\zeta(3)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3} =1+\frac{1}{2^3} +\frac{1}{3^3} +\frac{1}{4^3} \cdots =\frac{\pi^3}{25.79436 \cdots}$

${s=4}$ として、

$\zeta(4)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^4} =1+\frac{1}{2^4} +\frac{1}{3^4} +\frac{1}{4^4} \cdots =\frac{\pi^4}{90}$

${s=5}$ として、

$\zeta(5)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^5} =1+\frac{1}{2^5} +\frac{1}{3^5} +\frac{1}{4^5} \cdots =\frac{\pi^5}{295.1215 \cdots}$

${s=6}$ として、

$\zeta(6)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^6} =1+\frac{1}{2^6} +\frac{1}{3^6} +\frac{1}{4^6} \cdots =\frac{\pi^6}{945}$

${s=7}$ として、

$\zeta(7)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^7} =1+\frac{1}{2^7} +\frac{1}{3^7} +\frac{1}{4^7} \cdots =\frac{\pi^7}{2995.286 \cdots}$

${s=8}$ として、

$\zeta(8)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^8} =1+\frac{1}{2^8} +\frac{1}{3^8} +\frac{1}{4^8} \cdots =\frac{\pi^8}{9450}$

などとなる」

麻友「 ${\zeta (3)}$ 求まっているじゃない」

私「良く、分母を見てよ」

結弦「 $\zeta(3)=\frac{\pi^3}{25.79436 \cdots}$ で、 ${25.79436 \cdots}$ となってて、完全には、求まってない」

麻友「そういうことか」

若菜「でも、 ${\pi^3}$ が、必ず掛かるという保証は、あるんですかね？」

私「それは、分からない。ああ、もっと説明してあげたいけど、もう２１時４５分なんだ」

麻友「ああ、シンデレラね」

私「明日は、通院なんだ。このまま、頭、高速回転中だと、医療保護入院に、なってしまうかも、知れない。寝ることにするよ」

麻友「太郎さん。真理を追っているのね。でも、『現在の数学で、厳密値が求められない』ってことを、証明するって、そのこと自体、『分からないってことを、証明するってことで、初めから、無理なんじゃない？」

私「そうかもしれない。とにかく、今晩は、寝るよ。解散」

麻友「入院するように、ならないでね。おやすみ」

私「おやすみ」

　現在２０２０年８月２日２２時００分である。おしまい。