キラキラ星変奏曲（変奏２） - 相対性理論を学びたい人のために

　現在２０２０年８月１日１７時５６分である。

麻友「前回の続き？」

私「リーマン・ゼータ関数の３での値が、超越数だ、ということを、なぜ数学者が、そんなに証明したがるのか、良く分からなかっただろう」

麻友「それに、取り組んでいる太郎さんには、分かっても、素人には、分からないわね」

私「これを、読んでも、分からないかも知れないけど、なんか、面白そうなことがあるんだな、くらいは、思ってもらえるように、丁寧に書いてみよう」

麻友「面白いか、か」

結弦「僕たちにも、教えてよ」

私「ああ、昨日は、呼んであげなかったなあ」

若菜「Mathematica 買って良かったですね」

私「今日は、お前達にも加わってもらおう。まず、中学生のとき、小数で、表せる数を、実数という。と、習った。 ${2.5,0.8,77.77777777 \cdots ,-3.14,0.999 \cdots}$ など」

麻友「それは、良いでしょう」

私「次に、分数で、表せる数を、有理数という。と、習った。 $\frac{45}{21} ,-\frac{3}{5},4$ など」

若菜「そして、実数だけど、有理数でない数を、無理数というのよね」

私「そう。例えば、どんなの？」

結弦「 ${\sqrt{2},\sqrt{3}}$ なんて言うのだけでは、お父さんは、許してくれないだろうな。他に、 ${\sqrt[3]{2}}$ （ ${3}$ 乗して初めて ${2}$ になる実数）。つまり ${2}$ の ${3}$ 乗根とか」

私「後、忘れてならないのが、 ${\pi}$ だよな」

麻友「私達は、『『数学』というゲーム（その５）』で、一応、 ${\pi}$ が無理数であるという、ランベルトの証明を、見せてもらった。分かってなくても、証明を、一度は見てあるって、不思議な感覚ね」

結弦「積分とか、全然分からなかったけど、あそこに、証明がある、みたいにね」

私「それが、数学の入り口なんだよ」

若菜「それで、実数を、有理数と無理数に分けて、どうするんですか？」

私「はるか昔、若菜や結弦という概念もなかった、麻友さんと私の恋の初め、出会って１月くらいで、『『解析入門Ⅰ』§３問題５）』という投稿をした。このときの連載は、まだ本当は、終わっていない。だけど、終わっていないことは、今関係ない。その投稿で書いたように、有理数というものを、定義し、有理数でないものを無理数というのだから、論理学で習った、否定の記号『 ${\neg}$ 』を使って、

${\neg}$ 『 ${a}$ は、有理数』 ${=}$ 『 ${a}$ は、無理数』

と、書ける」

麻友「それが、重要？」

私「有理数というものの定義が、まずあって、それ以外を、無理数とした。だから、先に無理数を定義することは、できない」

麻友「あっ、超越数も、同じなんだ。超越数は、えっとなんだっけ、そのナントカでない数なんだ」

私「若菜、結弦、今見たか、この特待生の理解。そうなんだよ。ナントカは、代数的数（だいすうてきすう）なんだ」

若菜「じゃあ、私も。さっきの場合の実数にあたるのは、何になるんですか？」

私「複素数全体の集まり、複素数体 ${\mathbb{C}}$ （ふくそすうたい、しー）だよ」

結弦「だとしたら、普通の方程式の解は、全部、複素数体 ${\mathbb{C}}$ の中に、答えがあるということ？」

私「なんだ、お前たち、冴えまくりじゃないか。複素数を係数とする、 ${n}$ 次方程式、これを、代数方程式と呼ぶが、この代数方程式の解は、すべて、複素数なんだ。これは、先日、数学の王様ガウスが１７９９年に、学位論文で証明したと言った、『代数学の基本定理』そのものなんだよ」

麻友「整理すると、複素数、つまり、虚数よね、を係数とする、代数方程式、

${a_nz^n+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots+a_1z+a_0=0 ~~(a_i \in \mathbb{C})}$

の解は、複素数。任意の複素数 ${b}$ を選んだとき、代数方程式

${z-b=0}$

の、解は、

${z=b}$

だから、解は、複素数体すべてに行き渡る。つまり、代数方程式の根全体は、複素数体全体 ${\mathbb{C}}$ に、一致する。だから、これが、今の場合、実数の有理数、無理数と、言ってたときの、実数に相当するものになる。ふう、疲れた」

若菜「代数的数は、整数を係数とする代数方程式の根だから、当然、 ${\mathbb{C}}$ の部分集合。そうすると、その集合の ${\mathbb{C}}$ についての補集合が、超越数ですね」

私「一気に、大学生の語彙で、しゃべってる。麻友さん、分かってるのかな？」

麻友「♪ガラスの階段降りるガラスの靴シンデレラさ。もう、薬の時間ね。引きだしてあげる。太郎さんは、昨日の予想を、越えられないかと、考えている。 ${\zeta(3)}$ は、超越数だけど現代の数学で、厳密値を求められない数だというのが、昨日の予想だった。だけど、太郎さんは、『レオナルド・ダ・ビンチを真似てはいけない』という投稿で、予想を書いている。

『 ${e}$ の ${\pi}$ 乗を底にした対数で、 ${\zeta(3)}$ を評価したものが、１０進数以外の何かの進数にしたとき、綺麗な数字の並びになって、求まるのではないか』

と。そして、太郎さんは、分かっている。それは、１６進数だろうと。なぜ、今までできなかったかというと、Mathematica で、何進数というのを、変える方法が、分からなかったから。

太郎さんに取って、先を競って論文を書く気は、なかった。フェルマー予想だって、ポアンカレ予想だって、高校や大学の頃から、解きたかった。でも、太郎さんは、他の人が解いてしまっても、ほとんどがっかりしない。誰かが解いたら、それを応用して、もっと何かできないか？　と、新たなスタートを切る。そういうことなのよね」

私「ふたりだけの答え合わせ、バッチリだよ」

麻友「さあ、薬の写真撮って、飲んで寝なきゃ」

私「分かった。じゃあ、解散」

私「よく、ここまで、勉強してきたね」

麻友「ブレインが、いるのよ」

私「そうか。じゃあ、おやすみ」

麻友「おやすみ」

${\mathrm{H_2O}}$ 『想い出がいっぱい』（この中に、ガラスの階段降りるの歌が入っている）