キラキラ星変奏曲 - 相対性理論を学びたい人のために

　現在２０２０年７月３１日１８時１２分である。

麻友「なんか、苦労してるみたいね」

モーツァルトキラキラ星変奏曲
モーツァルト：きらきら星変奏曲ピアニスト近藤由貴/Mozart: Variations on "Ah, vous dirai-je, Maman" K.265, Yuki Kondo

私「私、Y!mobile の LTE フラットというプランで、追加料金、発生しないはずなのに、速度制限かかっちゃったみたいで、You-tube の動画が、止まって止まって、しょうがないんだ」

麻友「なんか、動画か何か、ダウンロードしたの？」

私「そんなはず、、、あっ、Mathematica だ！」

麻友「どれくらいのファイル容量だったの？」

私「インストールするとき、１８Gbyte 必要って、言われた」

麻友「そりゃー、速度制限かかるわよ」

私「原因が分かれば、明日になれば８月だから、それまで、待てばいい訳だね」

麻友「確かに、カメさんだわ。それで、１８Gbyte も使って、ダウンロードした、Mathematica 使ってみた？」

私「説明すると、『ハチミツとクローバー（その３）』の投稿で書いたように、開発元から、メールが来れば、良いということだった。７月２７日に、開発元から、メールがあって、もう少し、待って下さい、とのことだった。麻友さんに話したように、最後のバグ取りをしてくれているのだと、期待していた。それに、この日はポートへ、行った日だから、Mathematica に、焦る必要が、なかった」

麻友「じゃあ、まだ来てないの？」

私「流石に、そんなことは、ない。７月２８日に、ちゃんと開発元から、メールが来て、ダウンロードできるように、してくれた。それで、インストールした。午前中に、『ポート』の投稿して、夜、『コンタクトレンズって、痛いんでしょ』の投稿した日だよ。Mathematica が来た嬉しさもあって、はしゃぎにはしゃいだ、投稿になった」

麻友「それで、ブリング／ジラードの標準形、計算した？」

私「そもそも、使い方が書いてある本は、放送大学にいたときの、２００２年１１月２７日に、池袋リブロで買った、

Mathematica基礎からの演習

作者:清雄, 渋谷,俊弘, 谷沢,幸一, 藤井
サイエンティスト社

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のみ。これは、Mathematica 4.2 のための本だから、勝手が違う」

麻友「新しい本が、必要？」

私「もう、本で勉強する時代じゃない。オンラインで、学ぼうと、思ってる」

麻友「それで、どんなこと、計算させた？」

私「まず、日本語が使えるというので、『８番目の素数は？』って入れて、計算させようとしたけど、エラーが出た。グーグルの方が、頭いい」

麻友「アッハッハ、グーグル凄いものね」

私「取り敢えず、その日は、それだけで、寝た」

麻友「２９日は？」

私「覚えているかな？　若菜が、つまり姪が、ペンタブレット持ってて、カルチャーショック受けて、私のペンタブレット買った投稿？」

麻友「覚えてる。自撮りした写真も、あったわね」

私「あの、ペンタブレットが、使えるんだよ。要するに、数式を、手書きできるんだよ」

麻友「太郎さん。それは、今の時代では、常識なのよ」

私「あっ、そうなんだ。とにかく２９日は、それで、終わった」

麻友「３０日は？」

私「２度目の、ポートに行ったんだ」

麻友「ってことは・・・」

私「『心のプラカード』とか、『３６５日の紙飛行機』とか、『へたっぴウィンク』とか、見放題」

麻友「恥ずかしーっ、もう、やめてよ」

私「そして、３０日の夜。『花奈澪さんのキラキラ』が、現れる。あの数式、サラサラッと書いたようだけど、

$\zeta(2)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} =1+\frac{1}{2^2} +\frac{1}{3^2} +\frac{1}{4^2} \cdots$

だって、ひとつでも指数を間違えると、素人は、躓くから、もの凄く、気を遣って、書いているんだよ」

麻友「あの『キラキラ』と、今日の題の『キラキラ星変奏曲』って、関係あるの？」

私「花奈澪さんの１００日に、変奏を付けたんだよ」

麻友「どういうふうに？」

私「以前、『ブルバキとランダウ』のブログで、

『今回、お父さん、すっごく格好悪いですね』

と、若菜に言われたことがあったね。『数学原論（その１３）』の投稿だ」

麻友「ああ、中島さち子さん。それまで、持ち出すの？」

私「雑誌『数学のたのしみ』創刊号に、当時高校２年生の中島さち子さんが、

『ゼータの世界を眺めて』

という８ページの寄稿を、している。数学セミナーに寄稿したのを、再掲されたんだったと思う」

数学のたのしみ　フォーラム：現代数学の風景　ζの世界〈1997年6月〉Ｎｏ．１創刊号）

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麻友「それで？」

私「その文章中に、

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} x \log( \sin x ) dx =-\frac{\pi^2}{8} \log 2 +\frac{7}{16} \zeta (3)$

という式がある。７９ページだ」

麻友「何年前の雑誌？」

私「１９９７年だから、２３年前」

麻友「それで、この式で、何が、分かるの？」

私「よく右辺を見てよ」

麻友「あっ、 ${\zeta (3)}$ が、ある」

私「と、いうことは？」

麻友「他の項が、計算できれば、それに、 $\frac{16}{7}$ をかけて、 ${\zeta (3)}$ が、求まる。太郎さん、やってみた？」

私「つまりこういうことだろ。

$\frac{7}{16} \zeta (3) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} x \log( \sin x ) dx +\frac{\pi^2}{8} \log 2$

として、

$\zeta (3) =\frac{16}{7} \biggl( \int_0^{\frac{\pi}{2}} x \log( \sin x ) dx +\frac{\pi^2}{8} \log 2 \biggr)$

とすれば、 ${\zeta (3)}$ が、求まるだろうと」

麻友「どうなったのよ」

私「まだ、放送大学に、いた頃、メビウスに積んである Mathematica 4.2 で、これやったんだ。どうなったと思う？」

麻友「失敗だったの？」

私「Mathematica が、

$\frac{16}{7} \biggl( \int_0^{\frac{\pi}{2}} x \log( \sin x ) dx +\frac{\pi^2}{8} \log 2 \biggr) =\mathrm{Zeta[3]}$

って、答えてきたんだ。これどういうことか、分かる？」

麻友「分からない。どういうことなの？」

私「Mathematica が、上の式の左辺が、 ${\zeta (3)}$ だと、もう知ってたんだよ」

麻友「知ってるって？」

私「つまり、Mathematica の、そのプログラムを組むとき、『これを、聞かれたら、ゼータ３と、答えておけよ』と、プログラミングされてたんだ」

麻友「じゃあ、本当の値は？」

私「この問題に関し、麻友さんに捧げるようになる前の、『レオナルド・ダ・ビンチを真似てはいけない』という２０１５年３月２７日の投稿で、２０１４年１１月１１日の入院についての記述で、以下のように書いている」

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　次々に新しいことが浮かんでは消え、自分の才能が開花しているんだ、と感じ、自分は今後この才能を生かして生きていくんだ、と思った私は、自分のアイディアを発表しなければ、と思った。

　そして、夜の間中、頭を働かせていたとき、朝５時頃、スパムメールが来た。

　妄想が支配していた私の頭は、このメールが、私の数学の恩師、すなわち上野健爾先生が、私の様子を知ろうとして、送ってきたもののように思った。

　それで、その時の私の数学のアイディアの最先端を、次のように書いて送り返した。

「ゼータ３は、超越数だと思うけど、新しい超越数だと認めると新しい数学が出来るし、認めなくても新しい数学が出来るんじゃないかとわたくしは思います。どちらの数学も、無矛盾だろうと思います。」

　この文章の意味が分かるだろうか。もちろん、上野健爾さんは全部分かるのだが、普通の人には分からないと思うので、説明しておく。

　まず、ゼータ３というのは、リーマンゼータ関数と呼ばれる関数の３での値のことを言っている。

　これは、無理数であることが証明されているが、厳密な値は、求められていない。私も努力したし、あのレオンハルト・オイラーでさえ求められなかったので、私は、とうとうこれは求められないのだ、と思いだした。だから、このゼータ３、ζ(3)は、超越数e（イー），π（パイ）　に続く、新しい数学の定数だと捉えるべきなのではないか、と思ったのである。

　今まで、イーやパイを使ってなんとかして表そうとしてきたけど、イーがパイで表せないのと同様に、ゼータ３は、まったく新しいものだったという結論でもおかしくない。ところで、私は、それだけを書いているのではない。

　新しい超越数だと認めなくても新しい数学が出来るんじゃないか、と書いている。これはどういうことかというと、ゲーデルの第一不完全性定理の言っている、決定不能命題だ、と言っているのだ。

　つまり、ゼータ３を求めることは、永遠に出来ないけれど、それが、新しい超越数だ、ということも証明できない、というのだ。

　そういうことがありうることを、ゲーデルは１９３１年に、第一不完全性定理で証明している。既に、選択公理、連続体仮説、など、数学での通常の公理系ＺＦ（ツェルメロ・フレンケル）から独立なことが証明されている命題があるが、今新たに、ゼータ３は新しい超越数だ、という命題が、加わるのではないか。

　これが、その時、感じていたことだった。

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麻友「このとき、分かってたの？」

私「いや、分かってない」

麻友「だって、説明してる」

私「私は、予想を、書いているだけで、何も証明してない」

麻友「あっ、予想か。証明したんじゃ、ないんだ。どうなったら、いいの？」

私「私は、 ${\zeta(3)}$ が、超越数だろうと、予想している」