相対性理論を学びたい人のために

まだ一度も相対性理論を勉強したことのない人は、何か一冊相対性理論の本を読みかじってみて、なぜこんなことが?という、疑問を持ってからこのブログに来てください。ブログの先頭に戻るには表題のロゴをクリックしてください

『数学を悟ってみて』に対する補遺

 現在2021年1月8日21時35分である。(この投稿は、ほぼ3508文字)

麻友「今日は、時間があったのでは、ないの?」

私「今朝は、12時54分に起きた。マックへ行き、『集合と位相』を、進めた。家へ帰って、ダウンロードできていない、ブルバキの『代数10』の Kindle のことを、問い合わせた。しかし、向こうも困り果てて、調査して、後でメールで報告しますとのことだった」

麻友「まだ、ダウンロードできてないの?」

私「今までダウンロードしたもの、全部クリアして、改めて、ダウンロードすることまでしているのに、駄目なんだ。私が見たところ、フランス語の辞書がダウンロードされていないのが、原因のようなんだけどね」

若菜「返却するというのは?」

私「スマホには、ダウンロードできているから、クーリングオフは、できない」

結弦「困ったね」


麻友「この題は?」

私「去年最終回で、ブルバキの最後の論理の公理S4.を、{\mathbf{NK}} で、証明すると言いながら、証明しなかった。さらに、直観主義論理では、二重否定が、使えないから、証明できないと言ったのも、そのままにしてしまった。この積み残しをやろう」

若菜「本格的にやるのですか?」

私「うん。まず、排中律{A \vee \neg A} は、証明したな。


{

~~~[A]^{1)}\\
\rule{2cm}{0.3mm}\\
A \vee \neg A~~~~~~~~[\neg (A \vee \neg A)]^{2)}\\                  
\rule{4cm}{0.3mm}\\
~~~(A \vee \neg A) \wedge \neg (A \vee \neg A)\\
\rule{5cm}{0.3mm}~1\\
}
{
A \Rightarrow ((A \vee \neg A) \wedge \neg (A \vee \neg A))\\
\rule{5cm}{0.3mm}\\
~~~~~~~~~~~~~~~~\neg A\\
~~~~~~~~~\rule{2cm}{0.3mm}\\
~~~~~~~~~~~~A \vee \neg A~~~~~~~~~~~~[\neg (A \vee \neg A)]^{2)}\\
}
{~~~~\rule{6cm}{0.3mm}\\
~~~(A \vee \neg A) \wedge \neg (A \vee \neg A)\\
\rule{6cm}{0.3mm}~2\\
\neg (A \vee \neg A) \Rightarrow ((A \vee \neg A) \wedge \neg (A \vee \neg A))\\
\rule{6cm}{0.3mm}\\
~~~~~~~~~~~~~~\neg \neg (A \vee \neg A)\\
~~~~~~~~~~~~\rule{3cm}{0.3mm}\\
~~~~~~~~~~~~~~~~A \vee \neg A\\

}

これは、覚えておく。

 さて、

{~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~[C]^{1)}~~~~~~~~~~~~~~[A]^{2)}\\
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\rule{2cm}{0.3mm}~~~~~~\rule{2cm}{0.3mm}\\
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~A \vee C~~~~~~~~~A \vee C\\
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\rule{2cm}{0.3mm}1 ~~~~~\rule{2cm}{0.3mm}2\\
~~~~~~~~~~[C \vee A ]^{5)}~~~~C \Rightarrow A \vee C ~~~~A \Rightarrow A \vee C\\
~~~~~~~~~~~\rule{7cm}{0.3mm}\\ 
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~A \vee C ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~[ \neg C ]^{3)}\\
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\rule{8cm}{0.3mm}\\
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~A~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~[A \Rightarrow B]^{6)}\\
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\rule{8cm}{0.3mm}\\
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~[C]^{4)}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~B\\
~~~~~~~~~~~~~~\rule{2cm}{0.3mm}~~~~~~~~~~~~~~~~\rule{4cm}{0.3mm}}
{排中律~~~~~~~~~~~~C \vee B~~~~~~~~~~~~~~~~~~C \vee B\\
\rule{2cm}{0.3mm}~~~~~~\rule{2cm}{0.3mm}4~~~~~~~~\rule{2cm}{0.3mm}3\\
C \vee \neg C ~~~~~~~~~~~~~C \Rightarrow (C \vee B)~~~~~~~~\neg C \Rightarrow (C \vee B)\\
\rule{10cm}{0.3mm}\\
~~~~~~~~~~~~~~~~~~C \vee B\\
\rule{5cm}{0.3mm}5\\
(C \vee A) \Rightarrow (C \vee B)\\
\rule{7cm}{0.3mm}6\\
(A \Rightarrow B) \Rightarrow((C \vee A) \Rightarrow (C \vee B))\\

}

の演繹図で、最後の結論は、ブルバキのS4.そのものだ。そして、すべての仮定が落ちている」

若菜「排中律とあるところは?」

私「本来なら、全部の証明を書いて、完成した演繹図になるが、毎回分かりきったことを書くのは、スペースが無駄だ。だから、排中律の仮定が、全部落ちていることを確認した上で、他の証明に用いることを許すことで、無駄なスペースを減らすことにする」

麻友「ひとつ気になっているのよ。太郎さんは、仮定を置いて、推論を進めていって、先の方で、いくつもある仮定をどんどん落としていく。でも、ここでは、この仮定を落とすべきだ。というのは、どうして分かるの?」

私「それは、聞きたくてうずうずしていただろう。実は、これは、目標の定理を、証明しようと思っていると、結構分かるんだ。慣れることが、大切だけど、そのためには、正しい演繹図を、最低でも3回くらいは、写してみた方が、良い」

結弦「それで、二重否定は?」

私「S4.を証明するのに、排中律を使った。排中律の証明に、二重否定を使った。だから、S4.を証明するには、二重否定が、必要なんだ」

若菜「そうすると、直観主義論理では、ブルバキの論理の公理を、証明できませんね」

私「その通りだ。直観主義論理は、ブルバキより弱い。ブルバキより弱い、直観主義論理で、どこまで行かれるのか、興味もあったけど、もっと、たくさんの美しい花々を、愛でたいと、思う気持ちもある。数学基礎論で、後やり残しているのは、コーエンのフォーシング、ルベーグ可測関数について、ゲーデルの第2不完全性定理自然数論の無矛盾性、解析学の無矛盾性、BGとZFの集合に関しての同値性、などだが、いつまでも数学基礎論をやっていても、何も始まらないからね」

麻友「太郎さんは、これが難しいというのを、聞くと、知りたくなるのよね。でも、1番やりたいことを、やったらいいと、思うわ」

私「ありがとう。ガロア理論もやりたいことなんだ」

若菜「じゃあ、明日は、ガロア再開してください」

私「分かった」

若菜・結弦「おやすみなさーい」

麻友「おやすみ」

私「おやすみ」

 現在2021年1月9日0時38分である。おしまい。