相対性理論を学びたい人のために

まだ一度も相対性理論を勉強したことのない人は、何か一冊相対性理論の本を読みかじってみて、なぜこんなことが?という、疑問を持ってからこのブログに来てください。ブログの先頭に戻るには表題のロゴをクリックしてください

ありがとう。物理学者諸君。(その10)

 現在2021年5月28日19時38分である。(この投稿は、ほぼ5671文字)

麻友「太郎さんって、教科書とか、公式集、見なくても、計算できるんだ。電車の中ででも、計算してた」

私「大学の理学部で、1回生で、習う程度のことだからね」

真由「いきなり、始めていいでしょうか?」

私「どうぞ」


真由「前回の最後の、{\displaystyle \nabla \times E} の定義から、始めます」

若菜・結弦「はーい」

真由「こう定義するのです。

{\displaystyle \nabla \times E = \begin{pmatrix} \displaystyle \frac{\partial}{\partial x}, & \displaystyle \frac{\partial}{\partial y}, & \displaystyle \frac{\partial}{\partial z} \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} E_x \\ E_y \\ E_z \end{pmatrix}}


{\displaystyle =\begin{pmatrix} \displaystyle \begin{vmatrix} \displaystyle \frac{\partial}{\partial y} & \displaystyle \frac{\partial}{\partial z} \\ \displaystyle E_y & E_z \end{vmatrix},\displaystyle \begin{vmatrix} \displaystyle \frac{\partial}{\partial z} & \displaystyle \frac{\partial}{\partial x} \\ \displaystyle E_z & E_x \end{vmatrix},\displaystyle \begin{vmatrix} \displaystyle \frac{\partial}{\partial x} & \displaystyle \frac{\partial}{\partial y} \\ \displaystyle E_x & E_y \end{vmatrix} \end{pmatrix}}

ここで、直線で挟まれている式は、例えば、

{\displaystyle = \begin{vmatrix} \displaystyle \frac{\partial}{\partial y} & \displaystyle \frac{\partial}{\partial z} \\ E_y & E_z \end{vmatrix} =\frac{\partial E_z}{\partial y}- \displaystyle \frac{\partial E_y}{\partial z}}

というように、計算するのです。これを、行列式と言います」

若菜「あっ、『問題15,16』のときのじゃない?」

結弦「そうだ。


*******************************


{
\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} =ad-bc
}

{a} から、斜めに {d} を掛けて、次に、逆の斜めに、{c}{b} を掛けるんだ。この左辺を、行列式というんだ


*******************************
          (『問題15,16』という投稿より)


と、教わった。お父さんは、大学レヴェルだと言ってたけど、本当だった」

真由「あれっ、なんか、肩透かし食らった気分。大学1年生は、みんなここで、引っ掛かるのに」

私「いや、本当は、麻友さん、分かってないだろ」

麻友「これが、どういう規則で並んでいるのかなあって」

私「ほらね」

真由「そうなんです。一筋縄では行かないんです。実は、簡単に覚えられるんですけどね」

{\displaystyle \begin{pmatrix} \displaystyle \begin{vmatrix} \displaystyle \frac{\partial}{\partial y} & \displaystyle \frac{\partial}{\partial z} \\ \displaystyle E_y & E_z \end{vmatrix},\displaystyle \begin{vmatrix} \displaystyle \frac{\partial}{\partial z} & \displaystyle \frac{\partial}{\partial x} \\ \displaystyle E_z & E_x \end{vmatrix},\displaystyle \begin{vmatrix} \displaystyle \frac{\partial}{\partial x} & \displaystyle \frac{\partial}{\partial y} \\ \displaystyle E_x & E_y \end{vmatrix} \end{pmatrix}}

真由「これで、カッコの3番目から、埋めるのが、味噌なんです」

結弦「3番目?」

真由「こういうことです。

{\displaystyle \begin{pmatrix} \displaystyle ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~,~~~~~~~~~~~~~~~~~~~,\displaystyle \begin{vmatrix} \displaystyle \frac{\partial}{\partial x} & \displaystyle \frac{\partial}{\partial y} \\ \displaystyle E_x & E_y \end{vmatrix} \end{pmatrix}}

ほらっ」

若菜「ああ、{x} と、{y} だけ」

真由「後は、ここから、{x} と、{y} と、{z} を、グルグル回すだけで、いいんです。やってみませんか?」

麻友「やってみる。最初のカッコが、{x} を、{y} にして、{y} を、{z} にして、

{\displaystyle \begin{pmatrix} \displaystyle \begin{vmatrix} \displaystyle \frac{\partial}{\partial y} & \displaystyle \frac{\partial}{\partial z} \\ \displaystyle E_y & E_z \end{vmatrix},~~~~~~~~~~~~~~~~~~~,\displaystyle \begin{vmatrix} \displaystyle \frac{\partial}{\partial x} & \displaystyle \frac{\partial}{\partial y} \\ \displaystyle E_x & E_y \end{vmatrix} \end{pmatrix}}

合ってます?」

真由「大丈夫です」

結弦「僕もやる。2番目のカッコも、そうやって、あっ、{z} は、{x} に、戻るんですね」

{\displaystyle \begin{pmatrix} \displaystyle \begin{vmatrix} \displaystyle \frac{\partial}{\partial y} & \displaystyle \frac{\partial}{\partial z} \\ \displaystyle E_y & E_z \end{vmatrix},\displaystyle \begin{vmatrix} \displaystyle \frac{\partial}{\partial z} & \displaystyle \frac{\partial}{\partial x} \\ \displaystyle E_z & E_x \end{vmatrix},\displaystyle \begin{vmatrix} \displaystyle \frac{\partial}{\partial x} & \displaystyle \frac{\partial}{\partial y} \\ \displaystyle E_x & E_y \end{vmatrix} \end{pmatrix}}

真由「良くできました。コツをつかめば、何でもないんです」


若菜「なんか、お父さん、不満そう。お父さんは、別な方法なの? 『麻友74』のノート見てみましょう。あっ、4430ページ、

{\mathrm{rot} ~\mathrm{rot} E=\nabla \times ( \nabla \times E )}

{=\nabla \times \begin{vmatrix} \displaystyle \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \displaystyle \frac{\partial}{\partial x} & \displaystyle \frac{\partial}{\partial y} & \displaystyle \frac{\partial}{\partial z} \\ \displaystyle E_x & E_y & E_z \end{vmatrix}}

これ、どういうことか、分かります?」

真由「3行3列の行列式で、定義を書いているんですね。松田さんは、ここから始めるのですか。つまり、

{\displaystyle \nabla \times E =\displaystyle \begin{vmatrix} \displaystyle \frac{\partial}{\partial y} & \displaystyle \frac{\partial}{\partial z} \\ \displaystyle E_y & E_z \end{vmatrix} \mathbf{i}+\displaystyle \begin{vmatrix} \displaystyle \frac{\partial}{\partial z} & \displaystyle \frac{\partial}{\partial x} \\ \displaystyle E_z & E_x \end{vmatrix} \mathbf{j}+\displaystyle \begin{vmatrix} \displaystyle \frac{\partial}{\partial x} & \displaystyle \frac{\partial}{\partial y} \\ \displaystyle E_x & E_y \end{vmatrix} \mathbf{k}}

と、計算するのですね。{\mathbf{i,j,k}} で、カッコの1番目、カッコの2番目、カッコの3番目、というように、表しているんだ」

私「そうです。鶏が先か、卵が先か、というつまらない議論になってしまいますが、私は、一発で計算法が分かる、この定義で、覚えているんです」

真由「数学で、こんなに議論できるのは、久し振りです」

f:id:PASTORALE:20210523225211j:plain

麻友「太郎さんのノートは、この後、4437ページまで、8ページにわたってあるけど、もう5000文字を越えた。続きは、明日にしない?」

真由「あっ、大切なこと。松田さんのノートにありますけど、{\mathrm{rot}} って、{\nabla \times} のことなんです。ナブラクロスですが、{\mathrm{rot}} と書いたときは、ローテーションと読むんです。この場合、ローテーションには、回転という意味もありますが、数学では、この微分作用素(または、微分演算子)のことを、指すのです」

結弦「微分作用素と、微分演算子は、同じもの?」

真由「主に、数学者は、作用素と、言いたがる傾向があり、物理学者は、演算子と、言いたがるようですね。でも、英語ではどちらも、operator なんですけどね」

私「この土日で、秒の定義を論じ始めた、この連載を、終えよう。月曜からは、『フーリエの冒険』も、再開したい」

麻友「あらっ、『量子力学の冒険』で、spdfのオービタルの説明も残っているし、映画『アラジン』の感想も聞く約束だし、『駆け落ちのシミュレート』も、放り出したままよ」

私「じゃあ、今晩は、ナブラクロスイー、すなわち、ローテーションイーが、計算できるようになったところで、お開き」

若菜・結弦「おやすみなさーい」

真由「おやすみなさい」

麻友「おやすみ」

私「おやすみ」

 現在2021年5月28日22時12分である。おしまい。