数学で、心を病んだら、この大樹に泊まれ - 相対性理論を学びたい人のために

　現在２０１９年１０月１０日１９時２０分である。

麻友「あれっ、これ、日付が変じゃない？」

私「前に、書きかけてた記事なんだ。改めて、始めるよ」

　現在２０１９年１０月３１日２時１７分である。

若菜「眠れなかったんですか？」

私「こういうこともある。いちいち、眠り薬飲んでいられない」

結弦「凄い題だけど」

私「これは、大学時代、数学の危機に直面して、何年もかけて、乗り越えた経験から、数学で心を病んだ人のための、心の支えとなる大樹を、育てておこうという話なんだ」

麻友「太郎さんの、数学の危機って、どこまで根深かったの？」

私「数学の教科書に書いてあることまで、信じられなかった」

若菜「それは、数学を目指す資格がないのでは？」

私「私は、教科書が駄目なら、自分で、数学全部、築き直そうと思った」

結弦「どういうふうに？」

私「私が、かなり大事にしている本に、次の本がある」

彌永昌吉（いやなが　しょうきち）彌永健一（いやなが　けんいち）『集合と位相』（岩波基礎数学選書）

集合と位相 (岩波基礎数学選書)

作者: 彌永昌吉,彌永健一
出版社/メーカー: 岩波書店
発売日: 2002/09/25
メディア: 単行本
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私「この本の第１章に、

　与えられた命題 ${P}$ に対して，その否定，すなわち“ ${P}$ ではない”という命題を記号的に ${\neg P}$ と書く．ここで，つぎの事柄を仮定する．

　排中律

　数学的命題 ${P}$ について， ${P}$ または ${\neg P}$ のどちらかが成り立ち，それらがともに成り立つことはない．────

と、書いてある。だが一方、排中律が成り立たない数学もあると、書いてある。

　こういうのを、読むと、私は、排中律が成り立たない数学って、どんなものだろう。それも加味しながら、数学を作ろうと、考え出す」

結弦「じゃあ、お父さん。『ウソをつかない数学』というゲームでも、それを、取り入れるつもり？」

私「一通り、排中律が成り立つ数学を、プレイした後、排中律が必ずしも成り立たない数学も、冒険できるようにするつもりだ」

若菜「排中律が、成り立たない数学って、どんなものなのですか？」

私「大学の２回生のとき、数学で何が正しくて、何が正しくないか、分からなくなったとき、排中律が成り立たない数学は、それはそれで正しい理論として築けるが、排中律が成り立つ数学も、きちんと築けるのだと、悟った。そして、今自分が、どの立場で、数学を語っているのかを明確にしないと、

『これは、正しいです』

とは、言えないことが、分かった」

麻友「じゃあ、数学って言っても、色々あるの？」

私「そういう色々のもの全部を合わせて、数学って、言うんだよ」

麻友「その排中律が、成り立たないって、否定の否定が肯定にならないという論理よね。でも、想像できないのよ、それって」

私「大学時代、私も、それで、かなり悩んだ。京都から帰ってきて、１９９９年１月７日、以前にも見せた、この本を見付けて買った」

直観主義的集合論 (紀伊國屋数学叢書 20)

作者: 竹内外史
出版社/メーカー: 紀伊國屋書店
発売日: 1980/01
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麻友「ああ、これね。私が、ブルバキとランダウのブログで、『他の論理学の本、見てみようかしら？』って言ったときの本ね」

若菜「直観主義的集合論って、どんなものなのですか？」

私「直観主義的集合論というのは、直観論理というものを用いて展開される、集合論なんだけど、この直観主義的集合論までは、私は理解してない。ただ、直観論理だけなら、ある程度分かっている」

結弦「その直観論理で、排中律を認めないんだろう。ちょっと、どうやって認めないのか、やって見せてよ」

私「この定理は、数学で正しいかどうか分からない。排中律を認めなかったら、これは、正しくないのだろうか？　などと悩んでる人のために、ちょっと紹介してみるか」

私「『現代論理学』のゼミでやったように、論理記号というものがある」

${\Rightarrow （ならば）;\vee （または）;\wedge （かつ）;\neg （否定）;\exists（存在する）;\forall （任意の）}$

結弦「それは、ブルバキでもやったなあ」

私「直観主義的集合論を始めた L.E.J. Brouwer （ブラウワー）は、何かが正しいというのは、本当は未定のこともあるのだから、今まで“ ${A}$ が正しい”と言っていたことを、“ ${A}$ を確認する方法をもっている”と言いかえるべきだと考えたんだ。そこで、論理記号の意味を、

${A \wedge B}$ 　　 ${A}$ を確認する方法と ${B}$ を確認する方法をもっている。

${A \vee B}$ 　　 ${A}$ を確認する方法をもっているか、 ${B}$ を確認する方法をもっているかどちらかである。

${\forall x A(x)}$ 　　すべての ${x}$ について ${A(x)}$ を確認する方法をもっている。

と、変えた。この３つは、“正しい”を単に“確認する方法をもっている”と言っただけで余り変わらない。だが、次はちょっと違う。

${\exists x A(x)}$ 　　 ${A(x)}$ が確認できるような ${x}$ を見つける（または作る）方法をもっている。

${A \Rightarrow B}$ 　　 ${A}$ を確認する方法が与えられたときに、その方法をもとにして ${B}$ を確認する方法を作る方法をもっている。

${\neg A}$ 　　 ${A \Rightarrow \perp}$ の略記号だと思う。ただし ${\perp}$ は矛盾を表すとする。すなわち ${\neg A}$ は“ ${A}$ を確認する方法が与えられればその方法をもとにして矛盾を導く方法をもっている”ということである。

　以上が、直観論理だ。矛盾というのは、命題 ${A}$ で、 ${A \wedge \neg A}$ となるものがあるということである。 ${A \vee \neg A}$ とは違うよ」

結弦「結構、複雑だな」

麻友「だから、つき合いきれない数学って、前、太郎さんが、言ってた」

若菜「それで、排中律云々は？」

私「排中律とは、すなわち、上の記号で、 ${P}$ かまたは ${\neg P}$ が成り立つのだから、 ${P \vee \neg P}$ だよね。これを、直観論理で解釈すると、どんな命題 ${P}$ であっても、

${P}$ を確認する方法をもっているか、 ${\neg P}$ を確認する方法をもっているかどちらかである

となる。これは、神様かなんかでなければ、無理だよな。

結弦「ああ、そういうことだったのか」

若菜「お父さんは、直観主義的集合論を、研究されるのですか？」

私「数学って、広いんだよ。そして、自由なんだ。私は、恐らく後２０年以上、直観主義的集合論を研究しないと思う。私の好きなのは、むしろ幾何学だ。微分幾何学、微分位相幾何学を研究したいんだけど、ベルナイス・ゲーデルの集合論を用いるのが、望ましいと、思っている。論理としては、直観論理でなく、古典論理を用いる。リンク集にある『ＮＫとＢＧの要約』にまとめた手法だよね」

麻友「数学で、心を病んだら、どうすればいいのかしら？」

私「何よりも、正常な数学の本で、内容的に易しすぎず、丁寧に書かれた本を、どれか１冊か２冊、読破するのが、良いのではないかと思う」

若菜「例えば、どんな本？」

私「それは、その人によって、病んでいる理由やレヴェルが違うから、紹介できない。自分で、『この本で立ち直ろう』と選ばなければ、本気にもなれない」

結弦「そっかー。お父さんは、どういう本だったの？」

私「『現代論理学』と『数学基礎概説』で、やっと立ち直ったけど、今でも『直観主義的集合論』見ているくらいだから、まだ病んでるかもな」

若菜「他にアドヴァイスは？」

私「数学だけでなく数学の歴史、つまり数学史を、調べてみると、『数学が好き』くらいだったのが、『数学が楽しい』くらいになる」

麻友「太郎さん、数学のために、色々やってるんだ。話が面白いわけよ」

私「じゃあ、直観主義的集合論の話、終わりにして、いいかな？」

麻友・若菜・結弦「いいともー」

　現在２０１９年１０月３１日８時１３分である。おしまい。