数学で、心を病んだら、この大樹に泊まれ（その２）

　現在２０１９年１１月２日１４時０３分である。

若菜「この話は、終わったのでは？」

私「前回の私の投稿を見て、数学で心を病んでいる人が、あの『直観主義的集合論』の本に挑もうとした場合、ちょっと躓きやすいところがあるんだ。私自身、分かってなくて、今、やっと分かった」

麻友「どういうことが、分かったの？」

私「これは、著者の竹内外史さんが、意地悪なんだけど、私達が、いつも、『 ${A}$ ならば ${B}$ 』というとき使っている記号『 ${\Rightarrow}$ 』を、竹内さんは、『 ${\rightarrow}$ 』と、細い矢印で書いている」

結弦「そんなの、読み替えるだけで、いいじゃん」

私「ところが、こんなことも書いている」

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　これから“ ${A}$ がいえれば ${B}$ がいえる”ということを ${\Longrightarrow}$ と表わすことにします。 ${\Longrightarrow}$ は ${\rightarrow}$ と同じ意味ですが、 ${A \Longrightarrow B}$ はこの事がらが正しいという主張にだけ用いられ、 ${\rightarrow}$ はいろいろの論理的概念を構成する要素としても用いられます。したがって ${\rightarrow}$ と ${\Longrightarrow}$ とが全く同じ意味になることもあります。

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竹内外史『直観主義的集合論』（紀伊國屋書店）viページから引用

直観主義的集合論 (紀伊國屋数学叢書 20)

作者: 竹内外史
出版社/メーカー: 紀伊國屋書店
発売日: 1980/01
メディア: 単行本
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麻友「正直言って、何言ってるか、さっぱり分からない。 ${\Longrightarrow}$ と、 ${\rightarrow}$ は、何が違うの？」

私「実は、私も、長いこと分かってなかった。だけど、今日１３時５０分頃、フッと分かったんだ。実は、 ${\Longrightarrow}$ と ${\rightarrow}$ には、致命的な違いがあったんだ」

若菜「どんな違いですか？」

私「『論理学をつくる』の本のレビューで、

欲を言えば非古典論理を扱うよりはチューリング機械についての話題が欲しいし、シークエント計算も扱って欲しい。また、自然演繹が標準的なGentzenの形ではないのがとてもとても残念。

と書いてあって、シークエント計算は、私、分かってるよ。と話した。シークエント計算のシークエント(sequent)というのは、『数学基礎概説』では、

${A,B,C \rightarrow D,E,F}$

などと書かれた矢印１個を含む、式(sequent)で、これで、 ${A,B,C}$ のすべてが成り立てば、 ${D,E,F}$ のいずれかは成り立つことが、証明された。ということを、表しているんだ。竹内さんの ${\Longrightarrow}$ は、この ${\rightarrow}$ だったんだ」